نسخة الفيديو النصية
إذا كان مقياس ﻉ يساوي ثلاثة، فأوجد قيمة ﻉ في مرافق ﻉ.
في هذا السؤال، لدينا العدد المركب ﻉ، ونعلم أن مقياس هذا العدد المركب ﻉ يساوي ثلاثة. وعلينا إيجاد قيمة ﻉ مضروبًا في مرافقه. قبل الإجابة على هذا السؤال، تجدر الإشارة إلى أن هناك عدة رموز مختلفة لمرافق العدد المركب لـ ﻉ. على سبيل المثال، ربما تكون قد رأيته مكتوبًا باستخدام رمز النجمة بدلًا من الشرطة العلوية. وكلاهما يشير إلى الشيء نفسه. مرافق العدد المركب يعني ببساطة تغيير إشارة الجزء التخيلي من هذا العدد المركب. فإذا كان ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ؛ حيث ﺃ وﺏ عددان حقيقيان، فإن مرافق العدد المركب لـ ﻉ يساوي ﺃ ناقص ﺏﺕ.
ثمة طرق مختلفة للإجابة على هذا السؤال. يمكننا فعل ذلك مباشرة باستخدام الخاصية التالية: ﻉ مضروبًا في مرافقه يساوي مقياس ﻉ تربيع. وينطبق هذا على أي عدد مركب. في هذه الحالة، نعوض بمقياس ﻉ يساوي ثلاثة في هذه المعادلة؛ ليصبح لدينا ﻉ مضروبًا في مرافقه يساوي ثلاثة تربيع، وهو ما يساوي تسعة. يعطينا هذا إجابة السؤال. ولكن من الجيد أن نتذكر تفسير هذه الخاصية.
من إحدى طرق معرفة ذلك استخدام الصورة الجبرية للعدد المركب. نفترض أن ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ؛ حيث ﺃ وﺏ عددان حقيقيان. إذن، مرافق العدد المركب ﻉ هو ﺃ ناقص ﺏﺕ. يمكننا استخدام هذين المقدارين لإيجاد مقدار لـ ﻉ مضروبًا في مرافق ﻉ. وهذا يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ مضروبًا في ﺃ ناقص ﺏﺕ. يمكننا حساب حاصل الضرب هذا عن طريق توزيع الأقواس. وسنستخدم طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. نضرب أول حدين معًا. أي ﺃ في ﺃ، وهو ما يساوي ﺃ تربيع. نضرب بعد ذلك الحدين الخارجيين معًا، وهو ما يعطينا سالب ﺃﺏﺕ. ثم نجمع حاصل ضرب الحدين الداخليين؛ فنحصل على ﺃﺏﺕ. وأخيرًا، نجمع حاصل ضرب الحدين الأخيرين، وهو ما يساوي سالب ﺏ تربيع في ﺕ تربيع.
يمكننا بعد ذلك تبسيط هذا المقدار. أولًا: سالب ﺃﺏﺕ زائد ﺃﺏﺕ يساوي صفرًا. بعد ذلك، نعلم أن ﺕ هو الجذر التربيعي لسالب واحد؛ إذن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. يعطينا هذا ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع مضروبًا في سالب واحد، وهو ما يمكننا إعادة كتابته على الصورة ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. تذكر أننا نريد توضيح أن هذا الناتج يساوي مقياس ﻉ تربيع. لذا، دعونا نتذكر ما نعنيه بمقياس ﻉ.
مقياس العدد المركب هو المسافة التي يبعدها عن نقطة الأصل على مخطط أرجاند. بالنسبة إلى العدد المركب المكتوب على الصورة الجبرية تحديدًا، فإن مقياس ﺃ زائد ﺏﺕ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. ويمكننا تبسيط هذه المعادلة بتربيع كلا الطرفين. فنحصل على مقياس ﻉ تربيع يساوي ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. بعبارة أخرى، مقياس أي عدد مركب تربيع يساوي مجموع مربعي الجزء الحقيقي والجزء التخيلي له. وعلى وجه التحديد، نلاحظ أن هذا المقدار هو المقدار نفسه الذي حصلنا عليه من ﻉ مضروبًا في مرافق ﻉ. وبهذا نكون أوضحنا أن ﻉ مضروبًا في مرافقه يساوي مقياس ﻉ تربيع. نحن نعلم أن مقياس ﻉ يساوي ثلاثة، إذن ثلاثة تربيع يساوي تسعة.
وبهذا نكون أوضحنا أنه إذا كان مقياس العدد المركب ﻉ يساوي ثلاثة، فإن قيمة ﻉ مضروبًا في مرافقه تساوي تسعة.
