نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺱ زائد ﺹﻝ أربعة يساوي ٣٦٠، ومضروب اثنين ﺱ زائد ﺹ يساوي ٥٠٤٠، فأوجد ﺹﻝﺱ.
الترميز ﺹﻝﺱ يعني عدد التباديل المكونة من ﺱ من العناصر المختلفة المأخوذة من مجموعة مكونة من ﺹ من العناصر المختلفة. باستخدام المضروبات، يمكننا حساب ﻥﻝر، حيث ﻥ ور كلاهما عددان صحيحان غير سالبين، وﻥ أكبر من صفر، على صورة مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ر. مضروب أي عدد صحيح موجب ﻥ يعرف على الصورة ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد. وبفك ذلك، نجد أن مضروب ﻥ هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة بين واحد وﻥ، بما في ذلك كلا العددين. بالإضافة إلى ذلك، فإننا نعرف مضروب صفر بأنه يساوي واحدًا.
بالرجوع إلى المسألة، نجد أن مضروب اثنين ﺱ زائد ﺹ يساوي ٥٠٤٠. لذا، يجب أن تحدد هذه المعادلة التعبير اثنان ﺱ زائد ﺹ تحديدًا فريدًا. وتحديدًا، واحد في اثنين في ثلاثة في أربعة، وهكذا حتى نضرب في اثنين ﺱ زائد ﺹ، يساوي ٥٠٤٠. بدلًا من حل هذه المعادلة جبريًّا، دعونا نكتب أول عدة مضروبات للأعداد لنخمن القيمة التقريبية لاثنين ﺱ زائد ﺹ على نحو مدروس.
مضروب واحد يساوي واحدًا. مضروب اثنين يساوي اثنين. مضروب ثلاثة يساوي ستة. مضروب أربعة يساوي ٢٤. ومضروب خمسة يساوي ١٢٠. وفي الواقع، تتكرر هذه المضروبات الخمسة الأولى للأعداد كثيرًا، مما يجعلها جديرة بأن نحفظها. على أي حال، يمكننا أن نلاحظ أنه عند الوصول إلى خمسة، كان العدد ١٢٠ بالفعل. ومعدل النمو يزداد فقط لأننا في كل مرة نضرب في أعداد أكبر وأكبر. الفرق بين ١٢٠ و٥٠٤٠ هو فقط ضرب ١٢٠ في عامل يساوي تقريبًا ٥٠. وتذكر أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد. هذا يعني أن مضروب ستة يساوي ستة في ١٢٠، ومضروب سبعة يساوي سبعة في ستة في ١٢٠، وهكذا.
لكن سبعة في ثمانية يساوي ٥٦. لذا عند الوصول إلى مضروب ثمانية، سنضرب ١٢٠ في عامل أكبر من ٥٠. إذن، مضروب ثمانية أكبر من العدد المستهدف، ما يعني أن اثنين ﺱ زائد ﺹ إما أن يساوي ستة وإما أن يساوي سبعة. بإجراء العمليات الحسابية، ستة في ١٢٠ يساوي ٧٢٠، وسبعة في ٧٢٠ يساوي ٥٠٤٠، وهو بالضبط العدد الذي نبحث عنه. وبما أن مضروب اثنين ﺱ زائد ﺹ يساوي ٥٠٤٠، وهو ما يساوي مضروب سبعة، فهذا يعني أن اثنين ﺱ زائد ﺹ يساوي سبعة.
هذا النوع من الحسابات المعتمد على التجربة والخطأ شائع جدًّا مع المضروبات. لكن جدير بالذكر هنا أننا عرفنا من البداية أننا لن نضطر إلى المضي كثيرًا في قائمة المضروبات التي لدينا حتى نجد ما نبحث عنه. وهذا لأن مضروبات الأعداد تزداد بسرعة مذهلة. لاحظ أننا بدأنا بمضروب واحد يساوي واحدًا، وعندما وصلنا إلى سبعة، صار العدد أكبر من خمسة آلاف. وفقط بعد ثلاثة أعداد تالية، نصل إلى مضروب ١٠، وهو أكبر من ٣٫٥ ملايين. وتحديدًا لأن مضروبات الأعداد تزداد بسرعة كبيرة، فقد عرفنا أنه يمكننا إيجاد ٥٠٤٠ سريعًا بالبحث المباشر.
حسنًا، إذن نعرف الآن أن اثنين ﺱ زائد ﺹ يساوي سبعة. لكننا نحتاج إلى معرفة قيمة كل من ﺱ وﺹ إذا كنا سنحسب ﺹﻝﺱ. لذا، نحتاج إلى معادلة أخرى لإيجاد قيمة كل من هذين المجهولين. ويمكننا إيجاد هذه المعادلة باستخدام المعادلة الأخرى المعطاة لنا، وهي ﺱ زائد ﺹﻝ أربعة يساوي ٣٦٠. لنمسح قائمة المضروبات لإفراغ مساحة لإجراء العمليات الحسابية.
باستخدام تعريف ﻥﻝر، نحصل على ٣٦٠ يساوي مضروب ﺱ زائد ﺹ على مضروب ﺱ زائد ﺹ ناقص أربعة. والآن سنعيد كتابة البسط. وتحديدًا، بما أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد، فإن مضروب ﻥ أيضًا يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد في مضروب ﻥ ناقص اثنين، وهكذا. وسنفعل ذلك أربع مرات بحيث سيكون لدينا مضروب ﺱ زائد ﺹ ناقص أربعة في كل من البسط والمقام. وبذلك، نحصل على ﺱ زائد ﺹ في ﺱ زائد ﺹ ناقص واحد في ﺱ زائد ﺹ ناقص اثنين في ﺱ زائد ﺹ ناقص ثلاثة في مضروب ﺱ زائد ﺹ ناقص أربعة، الكل مقسوم على مضروب ﺱ زائد ﺹ ناقص أربعة.
للتحقق من صحة ذلك، لاحظ أنه بناء على تعريفنا، فإن حاصل الضرب هذا يساوي مضروب ﺱ زائد ﺹ ناقص ثلاثة. وعليه، فإن حاصل الضرب هذا يساوي مضروب ﺱ زائد ﺹ ناقص اثنين. ومن ثم، فإن حاصل الضرب هذا يساوي مضروب ﺱ زائد ﺹ ناقص واحد. وأخيرًا، حاصل الضرب هذا يساوي مضروب ﺱ زائد ﺹ، وهو ما ينبغي أن يكون عليه بالضبط. إذن مضروب ﺱ زائد ﺹ ناقص أربعة في البسط مقسومًا على مضروب ﺱ زائد ﺹ ناقص أربعة في المقام يساوي واحدًا. إذن ٣٦٠ يساوي ﺱ زائد ﺹ في ﺱ زائد ﺹ ناقص واحد في ﺱ زائد ﺹ ناقص اثنين في ﺱ زائد ﺹ ناقص ثلاثة.
وكما هو الحال في المعادلة السابقة، سيكون حل هذه المعادلة جبريًّا صعبًا للغاية. ولحسن الحظ، توجد حيلة رائعة يمكننا استخدامها لنقترب من الإجابة الصحيحة التي تعتمد على حقيقة أن ﺱ زائد ﺹ هو عدد صحيح، وعليه فإن هذه العوامل الأربعة تمثل أعدادًا صحيحة متتالية. ها هي الأعداد الصحيحة الأربعة المتتالية مرسومة على خط الأعداد. وإذا افترضنا أن ﻙ يساوي ﺱ زائد ﺹ، فإن هذه العوامل هي العوامل الأربعة التي حاصل ضربها يساوي ٣٦٠. تشير الملاحظة إلى أنه ما دامت هذه الأعداد الصحيحة أكبر من واحد، فإذا أخذنا الجذر الرابع لحاصل ضربها، فسيكون هذا العدد على خط الأعداد بين العددين الصحيحين الأوسطين.
في الواقع، بصفة عامة، الجذر النوني لحاصل ضرب ﻥ من الأعداد الصحيحة المتتالية التي كلها أكبر من واحد سيكون قريبًا جدًّا من متوسط قيمة هذه الأعداد الصحيحة. إذن، إذا حسبنا الجذر الرابع لـ ٣٦٠، فمن المفترض أن نحصل على عدد ما بين ﺱ زائد ﺹ ناقص واحد وﺱ زائد ﺹ ناقص اثنين. لكن يمكننا بعد ذلك استخدام هذه الحقيقة للتوصل إلى قيمة تقريبية لـ ﺱ زائد ﺹ، ثم المتابعة اعتمادًا على التجربة والخطأ. إذا استخدمنا الآلة الحاسبة، فسنجد أن الجذر الرابع لـ ٣٦٠ يساوي ٤٫٤ تقريبًا. العدد بالضبط ليس مهمًّا، لكن المهم هو أن يقع هذا العدد بين أربعة وخمسة.
إذن، بما أن ٤٫٤ يقع بين أربعة وخمسة، نتوقع أن ﺱ زائد ﺹ ناقص اثنين سيساوي أربعة، وﺱ زائد ﺹ ناقص واحد سيساوي خمسة، وهو ما يعني أن ﺱ زائد ﺹ يجب أن يساوي ستة. وبالفعل، ستة في خمسة في أربعة في ثلاثة يساوي ٣٦٠ بالضبط. إذن، ﺱ زائد ﺹ يساوي ستة. أصبح لدينا الآن معادلتان ومجهولان، لذا دعونا نفرغ بعض المساحة لإيجاد قيمة كل من ﺱ وﺹ.
إذا طرحنا ﺱ زائد ﺹ يساوي ستة من اثنين ﺱ زائد ﺹ يساوي سبعة، يصبح لدينا في الطرف الأيمن اثنان ﺱ ناقص ﺱ يساوي ﺱ، وﺹ ناقص ﺹ يساوي صفرًا، وفي الطرف الأيسر سبعة ناقص ستة يساوي واحدًا. إذن ﺱ يساوي واحدًا. إذا كان ﺱ يساوي واحدًا وﺱ زائد ﺹ يساوي ستة، فإن ﺹ يساوي ستة ناقص واحد، وهو ما يساوي خمسة. وأخيرًا، لحساب قيمة ﺹﻝﺱ، علينا ببساطة إيجاد قيمة خمسة ﻝ واحد.
توجد طريقتان لحساب ذلك. أولًا، يمكننا التعويض بخمسة عن ﻥ، وبواحد عن ر في الصيغة ﻥﻝر. أو يمكننا معرفة المتطابقة التالية المفيدة للغاية. لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة ﻥ، فإن ﻥﻝ واحد يساوي ﻥ. وهذا يأتي مباشرة من تعريف ﻥﻝر وتعريف مضروب ﻥ بأنه ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد. لذا، دون إجراء أي عملية حسابية، نعلم بالفعل أن خمسة ﻝ واحد يساوي خمسة. وهذه هي الإجابة التي نبحث عنها.
