نسخة الفيديو النصية
يوضح التمثيل البياني الدالة ﺩ(ﺱ) بالخط الأحمر المتقطع في الشكل الآتي. موضح أيضًا التمثيلات البيانية للدوال ﺩﺱ على اثنين، وﺩ لاثنين ﺱ، واثنين ﺩﺱ. صل هذه الدوال بتمثيلاتها البيانية.
لنتمكن من حل هذه المسألة، سنلقي نظرة على بعض قواعد التحويلات الهندسية. وسنبدأ بقواعد الانتقال. قاعدة الانتقال الأولى هي: الدالة ﺩﺱ زائد ﺃ. ولدينا ﺃ هنا خارج القوسين بالفعل. وهذا يعطينا المتجه صفر ﺃ. وهذا يعني أننا ننتقل بمقدار ﺃ من الوحدات في اتجاه المحور ﺹ. وثاني قواعد الانتقال هي ﺩﺱ زائد ﺃ. تجدر الإشارة هنا إلى أن ﺃ يقع داخل القوسين هذه المرة. وهذا يعطينا المتجه سالب ﺃ، صفر. وهذا يعبر، في الواقع، عن انتقال مقداره سالب ﺃ في اتجاه المحور ﺱ.
والآن، لنلق نظرة على حالات التمدد لدينا. التمدد الأول هو ﺃﺩﺱ. وهذا هو التمدد الموازي للمحور ﺹ، إذا كان معامل القياس يساوي ﺃ. ومرة أخرى، كما نلاحظ هنا، يقع ﺃ خارج الدالة نفسها. والتمدد الثاني هو ﺩﺃ في ﺱ. نجد هذه المرة أيضًا أن ﺃ يوجد داخل القوسين. وهذا هو التمدد الموازي للمحور ﺱ، ومعامل قياسه يساوي واحدًا على ﺃ. رائع. لدينا الآن قواعد التحويلات الهندسية. لنر إذا ما كان يمكننا استخدامها لحل المسألة.
في الحقيقة سنبدأ بالدالة الأولى. وهي الدالة ﺩﺱ على اثنين. وحتى يتسنى لنا تحديد قاعدة التحويل الهندسي التي سنستخدمها، يمكننا التفكير في هذه الدالة باعتبارها ﺩ لنصف ﺱ. ومن ثم، سنلاحظ بوضوح أن علينا استخدام قاعدة التمدد الثانية للتحويلات الهندسية. وبناء عليه، إذا استطعنا تطبيق ما تنص عليه قاعدة التمدد الثانية، فسنلاحظ أنه إذا كان لدينا الدالة ﺃﺱ، وهي في هذه الحالة نصف ﺱ، فسيكون ذلك تمددًا موازيًا للمحور ﺱ بمعامل قياس يساوي واحدًا على ﺃ. وفي هذه الحالة، سيكون معامل القياس واحدًا على نصف، وهذا يكافئ الضرب في اثنين. إذن، يمكننا القول إن الإحداثيات ﺱ ستضرب في اثنين.
ومن ثم، إذا حددنا نقطة في الدالة الأصلية — سنحدد مثلًا هذه النقطة هنا — فسنلاحظ أن هذه النقطة ستكون ثلاثة، واحد، في الدالة الأصلية. لذا، إذا نظرنا إلى الدالة لدينا عند تحويلها، وهي ﺩﺱ على اثنين، فسنجد أن الإحداثيات نفسها يجب أن تكون ستة، واحد. وذلك لأن الإحداثيات ﺱ مضروبة في اثنين. حسنًا، يمكننا الآن استخدام ذلك لتحديد أي من التمثيلات البيانية سيكون هو التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ على اثنين. إذا نظرنا إلى التمثيل البياني، فسنلاحظ النقطة ستة، واحد. وسنلاحظ أيضًا أنها تقع على التمثيل البياني ﺟ. وهذه هي النقطة المناظرة. إذن، يمكننا القول إن الدالة ﺱ على اثنين تساوي ﺟ.
ممتاز، يمكننا الآن الانتقال إلى التمثيلين البيانيين الآخرين. إذا انتقلنا إلى التحويل الهندسي التالي، فسنجد الدالة ﺩ لاثنين ﺱ. ومرة أخرى، يمكننا استخدام قاعدة التمدد الثانية لمساعدتنا في حل هذا الجزء. بالنسبة إلى هذه الدالة، يمكننا ملاحظة أن الإحداثيات ﺱ مضروبة في واحد على اثنين، أي في نصف. ومن ثم، إذا اخترنا نفس نقطة البداية التي اخترناها في الجزء السابق، التي كانت إحداثياتها ثلاثة، واحد؛ ثم ضربنا الإحداثي ﺱ ثلاثة في نصف، فسنحصل على ثلاثة على اثنين. بينما يبقى الإحداثي ﺹ كما هو. هذا يعني أن النقطة المناظرة ستكون ثلاثة على اثنين، واحد. إذن، يمكننا القول إن الدالة اثنين ﺱ تساوي ﺃ، أي التمثيل البياني ﺃ.
رائع، بذلك نكون قد تناولنا اثنين من التمثيلات البيانية، أي اثنين من التحويلات الهندسية. يمكننا الآن الانتقال إلى التحويل الهندسي الأخير. حسنًا، التحويل الهندسي الأخير لدينا هو اثنان ﺩﺱ. ويمكننا هذه المرة ملاحظة أن اثنين أو ﺃ يقع خارج القوسين أو خارج الدالة نفسها. لذلك، نستنتج أن هذا يمثل قاعدة التمدد الأولى. والتي توضح أن التمدد سيكون موازيًا للمحور ﺹ بمعامل قياس يساوي اثنين. ويعني ذلك في الواقع أن الإحداثيات ﺹ ستضرب في اثنين. وبما أن التمثيل البياني ﺏ هو التمثيل البياني الوحيد المتبقي لدينا، فإننا سنفترض أن التمثيل البياني ﺏ هو التمثيل البياني الصحيح لاثنين ﺩﺱ. لكننا سنتحقق من ذلك الآن باتباع الخطوات السابقة نفسها. سنختار نقطة البداية نفسها التي اخترناها من قبل. إذن لدينا النقطة ثلاثة، واحد في الدالة الأصلية. ومن ثم، فإن النقطة المناظرة في الدالة الجديدة، أي الدالة المحولة، ستكون ثلاثة، اثنين. وهذا لأننا ضربنا الإحداثي ﺹ، الذي يساوي واحدًا، في اثنين، وهو ما يساوي اثنين.
لذا، عند التحقق من التمثيل البياني، نجد أن افتراضنا صحيح؛ لأن النقطة المناظرة التي حددناها للتو في التمثيل البياني ﺏ هي ثلاثة، اثنان. ومن ثم، يمكننا القول إن الدالة اثنين ﺩﺱ تساوي ﺏ. رائع، لقد نجحنا في مطابقة جميع الدوال بتمثيلاتها البيانية. لذا، يمكننا القول إننا قد حللنا المسألة. هيا نلخص الآن الخطوات التي اتبعناها في الحل. الدالة ﺩﺱ على اثنين تطابق التمثيل البياني ﺟ. وذلك لأننا ضربنا كل حد من حدود ﺱ بالدالة الأصلية في معامل قياس يساوي اثنين. والدالة ﺩ لاثنين ﺱ تطابق التمثيل البياني ﺃ. استخدمنا هذه المرة أيضًا قاعدة التمدد نفسها. لكننا ضربنا الإحداثيات ﺱ في معامل قياس يساوي واحدًا على اثنين، أي نصفًا. وأخيرًا، الدالة اثنان ﺩﺱ تطابق التمثيل البياني ﺏ. وذلك لأننا استخدمنا قاعدة التمدد الأولى. وضربنا الإحداثيات ﺹ في معامل قياس يساوي اثنين.
