فيديو السؤال: تحديد المتتابعات الحسابية بمعلومية حدها النوني الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي من هذه الخيارات يمثل متتابعة حسابية؟ هل هو الخيار أ: ﺃﻥ يساوي سالب ثمانية الكل أس ﻥ؟ أم الخيار ب: ﺃﻥ يساوي سالب تسعة ﻥ تربيع ناقص ثمانية ﻥ زائد واحد؟ أم الخيار ج: ﺃﻥ يساوي ﻥ تربيع ناقص واحد؟ أم الخيار د: ﺃﻥ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻥ ناقص سبعة؟ أم أنه الخيار هـ: ﺃﻥ يساوي سالب تسعة ﻥ زائد واحد؟

في هذا السؤال لدينا خمس متتابعات محتملة، وعلينا تحديد أي من هذه المتتابعات يعد متتابعة حسابية. للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نسترجع أولًا ما المقصود بالمتتابعة الحسابية. المتتابعة الحسابية هي متتابعة يكون الفرق بين أي حدين متتاليين فيها ثابتًا. وهذا يعني أنه علينا تحديد أي من المتتابعات الخمس المعطاة له هذه الخاصية. لكن، قبل أن نفعل ذلك، سنذكر أنفسنا بما نعنيه بالترميز ﺃﻥ. في هذا الترميز، تمثل قيمة ﻥ رقم الحد في المتتابعة. ومن ثم، إذا عوضنا بـ ﻥ يساوي واحدًا في هذا التعبير، فسنحصل على الحد الأول في المتتابعة. لدينا في الخيار الأول، ﺃ واحد يساوي سالب ثمانية أس واحد، وهو ما يمكن تبسيطه ليعطينا سالب ثمانية. إذن، سالب ثمانية هو الحد الأول في المتتابعة.

يمكننا تكرار الأمر نفسه لإيجاد الحد الثاني في المتتابعة. سنعوض بـ ﻥ يساوي اثنين في هذا التعبير ثم نبسط. وبهذا نجد أن الحد الثاني في المتتابعة يساوي ٦٤. والآن، نكرر الخطوة نفسها لإيجاد الحد الثالث في المتتابعة. نعوض بـ ﻥ يساوي ثلاثة في هذا التعبير لنحصل على ﺃ ثلاثة يساوي سالب ثمانية تكعيب. وثمانية تكعيب يساوي ٥١٢. إذن، الحد الثالث في المتتابعة هو سالب ٥١٢. تذكر أنه في أي متتابعة حسابية، يكون الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا. ومن ثم، لكي تكون هذه المتتابعة متتابعة حسابية، لا بد أن يكون الفرق بين الحد الأول والحد الثاني مساويًا للفرق بين الحد الثاني والحد الثالث فيها.

دعونا نحسب هاتين القيمتين. أولًا: الفرق بين الحد الثالث والحد الثاني في المتتابعة يساوي سالب ٥١٢ ناقص ٦٤، وبحساب ذلك نجد أنه يساوي سالب ٥٧٦. بعد ذلك سنحسب الفرق بين الحد الثاني والحد الأول في المتتابعة. وهو ما يساوي ٦٤ ناقص سالب ثمانية، وبحساب ذلك نجد أنه يساوي ٧٢. هاتان القيمتان غير متساويتين، وهو ما يعني أن الفرق بين الحدود المتتالية ليس ثابتًا. ومن ثم، فإن الخيار أ لا يمثل متتابعة حسابية.

دعونا نفرغ بعض المساحة ونتناول الخيار ب بنفس الطريقة. سنوجد الحد الأول في المتتابعة بالتعويض بواحد في التعبير. ‏ﺃ واحد يساوي سالب تسعة في واحد تربيع ناقص ثمانية في واحد زائد واحد، وهو ما يمكن تبسيطه وحسابه لنجد أنه يساوي سالب ١٦. ‏ﺃ اثنان يساوي سالب تسعة في اثنين تربيع ناقص ثمانية في اثنين زائد واحد، وبحساب ذلك نجد أن ﺃ اثنين يساوي سالب ٥١. بعد ذلك سنكرر الأمر نفسه مع الحد الثالث في المتتابعة. وعليه، نجد أن الحد الثالث في المتتابعة يساوي سالب ١٠٤.

يمكننا الآن التحقق مما إذا كان الفرق بين الحد الثالث والحد الثاني، والفرق بين الحد الثاني والحد الأول في المتتابعة ثابتًا. أولًا: الفرق بين الحد الثالث والحد الثاني في المتتابعة يساوي سالب ١٠٤ ناقص سالب ٥١ وهو ما يعطينا سالب ٥٣. بعد ذلك، سنوجد الفرق بين الحد الثاني والحد الأول. وهو يساوي سالب ٥١ ناقص سالب ١٦، ما يساوي سالب ٣٥. يمكننا ملاحظة أن الفرق بين هذه الحدود المتتالية غير متساو. وبما أن الفرق بين الحدود المتتالية في المتتابعة ليس ثابتًا، فإن هذه المتتابعة ليست متتابعة حسابية.

سنكرر الخطوات نفسها مع الخيار ج. الحد الأول في المتتابعة يساوي واحد تربيع ناقص واحد، ما يساوي صفرًا. والحد الثاني في المتتابعة يساوي اثنين تربيع ناقص واحد، ما يساوي ثلاثة. أما الحد الثالث في المتتابعة فهو يساوي ثلاثة تربيع ناقص واحد، ما يساوي ثمانية. مرة أخرى، سنتحقق مما إذا كان الفرق بين الحدود المتتالية ثابتًا. أولًا: الفرق بين الحد الثالث والحد الثاني يساوي ثمانية ناقص ثلاثة، وبحساب ذلك نجد أنه يساوي خمسة. والفرق بين الحد الثاني والحد الأول في المتتابعة يساوي ثلاثة ناقص صفر، ما يساوي ثلاثة. إذن الفرق بين الحد الثاني والحد الأول والفرق بين الحد الثالث والحد الثاني في المتتابعة غير متساو. الفرق بين الحدود المتتالية ليس ثابتًا، ومن ثم فإن الخيار ج لا يمثل متتابعة حسابية.

سنفرغ الآن بعض المساحة ثم ننتقل إلى الخيار د. يمكننا إيجاد الحد الأول في الخيار د بالتعويض بـ ﻥ يساوي واحدًا. وهذا يعطينا الجذر التربيعي لواحد ناقص سبعة، أو الجذر التربيعي لسالب ستة. باستخدام قوانين الأسس والاستعانة بما نعرفه عن الأعداد التخيلية، يمكن تبسيط ذلك ليصبح لدينا جذر ستة في ﺕ، وهو عدد تخيلي. وهنا علينا أن نتساءل: هل يسمح السؤال بأن تحتوي المتتابعات الحسابية على أعداد تخيلية؟ والإجابة هي أن هذا أمر وارد. بعض الأسئلة تشترط أن تتضمن المتتابعات أعدادًا حقيقية فقط. وإذا كان هذا هو الحال لدينا، فيمكننا استنتاج أن الخيار د غير صحيح؛ لأن جذر ستة i ليس عددًا حقيقيًّا.

ومع ذلك، من الممكن تحديد المتتابعة الحسابية باستخدام الأعداد المركبة بالطريقة نفسها. من ثم، سنتحقق مما إذا كانت هذه المتتابعة متتابعة حسابية أم لا بتكرار العملية السابقة نفسها. سنوجد الحد الثاني والحد الثالث في هذه المتتابعة بالتعويض بـ ﻥ يساوي اثنين وﻥ يساوي ثلاثة في هذا التعبير على الترتيب.

الحد الثاني في المتتابعة هو جذر خمسة ﺕ والحد الثالث هو اثنان ﺕ. بعد ذلك، نتحقق مما إذا كانت هذه المتتابعة متتابعة حسابية من خلال اتباع الطريقة نفسها. علينا أن نتأكد من أن الفرق بين الحدود المتتالية يظل ثابتًا. الفرق بين الحدين الثالث والثاني يساوي اثنين ﺕ ناقص جذر خمسة ﺕ وهو ما يمكننا تبسيطه إلى اثنين ناقص جذر خمسة الكل مضروب في ﺕ. بعد ذلك، سنحسب الفرق بين الحدين الثاني والأول. نجد أنه يساوي جذر خمسة ﺕ ناقص جذر ستة ﺕ الذي يمكن تبسيطه ليصبح لدينا جذر خمسة ناقص جذر ستة الكل مضروب في ﺕ.

يمكننا ملاحظة أن هاتين القيمتين غير متساويتين؛ لأن معاملي ﺕ في هذين العددين غير متماثلين. ما يعني أن الجزأين التخيليين في العددين مختلفان. إذن، الفرق بين الحدود المتتالية في هذه المتتابعة لا يظل ثابتًا. وعليه، فإن الخيار د لا يمثل متتابعة حسابية.

وأخيرًا، دعونا نتناول الخيار هـ. سنوجد الحد الأول في المتتابعة بالتعويض بـ ﻥ يساوي واحدًا. ونجد أن الحد الأول في المتتابعة يساوي سالب ثمانية. بعد ذلك نعوض بـ ﻥ يساوي اثنين لنجد أن الحد الثاني في المتتابعة هو سالب ١٧. وبالطريقة نفسها، نجد أن الحد الثالث في المتتابعة يساوي سالب ٢٦. والآن علينا التحقق مما إذا كان الفرق بين هذه الحدود المتتالية يظل ثابتًا. الفرق بين الحدين الثالث والثاني يساوي سالب ٢٦ ناقص سالب ١٧، وبحساب ذلك نجد أنه يساوي سالب تسعة. وبالمثل، الفرق بين الحدين الثاني والأول يساوي سالب ١٧ ناقص سالب ثمانية، وهو ما يساوي أيضًا سالب تسعة.

ومن ثم، يمكننا استنتاج أن الخيار هـ يمثل متتابعة حسابية. لكن علينا الانتباه جيدًا لأنه علينا التحقق من أن الفرق بين أي حدين متتاليين يظل ثابتًا. وهناك بضع طرق مختلفة يمكننا استخدامها لفعل ذلك. إحدى هذه الطرق هي إيجاد الفرق بين الحد ﺃﻥ زائد واحد والحد ﺃﻥ. لإيجاد التعبير الدال على ﺃﻥ زائد واحد، يمكننا التعويض بـ ﻥ زائد واحد في التعبير لدينا. ونحصل على سالب تسعة في ﻥ زائد واحد زائد واحد. ثم بتوزيع هذا التعبير وتبسيطه، نحصل على سالب تسعة ﻥ ناقص ثمانية.

نحن نعلم بالفعل أن ﺃﻥ يساوي سالب تسعة زائد واحد. لذا، يمكننا الآن إيجاد الفرق بين الحد رقم ﻥ زائد واحد والحد النوني في المتتابعة. الفرق بين هذين الحدين يساوي سالب تسعة ﻥ ناقص ثمانية ناقص سالب تسعة ﻥ زائد واحد. وبتوزيع الإشارة السالبة على القوسين، نحصل على سالب تسعة ﻥ ناقص ثمانية زائد تسعة ﻥ ناقص واحد. وإذا بسطنا هذا التعبير، فسيتبقى لدينا سالب تسعة، الذي يعد قيمة ثابتة. إذن، يمكننا الاستنتاج أنه لأي قيمة صحيحة موجبة نختارها لـ ﻥ، يظل الفرق بين الحدود المتتالية عند القيمة الثابتة سالب تسعة. ومن ثم، فإن المتتابعة في الخيار هـ تمثل متتابعة حسابية.