فيديو الدرس: حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية: حل المثلث لإيجاد قياس زاوية مجهولة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قياس زاوية مجهولة في مثلث قائم الزاوية باستخدام الدالة المثلثية العكسية المناسبة بمعلومية طولي ضلعين.

دعونا نبدأ بتذكر بعض المصطلحات المتعلقة بالمثلثات القائمة الزاوية. لنفترض أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية، مع الإشارة إلى إحدى الزاويتين غير القائمتين بـ 𝜃. تحمل أضلاع المثلث أسماء محددة لها صلة بهذه الزاوية. يسمى ضلع المثلث، المقابل للزاوية القائمة مباشرة والذي دائمًا ما يكون الضلع الأطول في المثلث، بالوتر. بالنسبة إلى الزاوية 𝜃، يسمى الضلع الذي يقابل هذه الزاوية مباشرة بالضلع المقابل. ويسمى الضلع الأخير في المثلث، الذي يقع بين الزاوية 𝜃 والزاوية القائمة، بالضلع المجاور. وبالتالي أسماء هذه الأضلاع الثلاثة هي: المقابل، المجاور، والوتر.

تعبر النسب المثلثية الثلاث؛ وهي: الجيب، وجيب التمام، والظل، عن النسب بين أزواج مختلفة من أطوال الأضلاع في المثلث القائم الزاوية. لأي قيمة ثابتة لقياس الزاوية 𝜃، دائمًا ما تكون النسبة بين طولي كل ضلعين ثابتة، مهما كبرت قياسات المثلث. يمكننا استخدام النسب المثلثية فسنحتاج إلى تذكر تعريفات النسب المثلثية الثلاث. وهي إما الجيب، أو جيب التمام، أو الظل؛ وهذا سيساعدنا على تحديد أي النسب المثلثية الثلاث علينا استخدامها لإيجاد طول الضلع. لكن علينا أولًا تسمية أضلاع المثلث القائم الزاوية حسب مواضعها بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها 𝜃 ؛ أي يكون طول الضلع في البسط أولًا، يليه طول الضلع في المقام. إذن، جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. ‏جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر. وظل الزاوية أو ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور.

يجب أن نكون بالفعل على دراية باستخدام هذه النسب المثلثية الثلاث لحساب طول أي ضلع في المثلث القائم الزاوية، بمعلومية طول أحد الضلعين الآخرين وقياس إحدى الزاويتين غير القائمتين. في هذا الفيديو، سنركز على إيجاد قياس زاوية بمعلومية طولي ضلعين في المثلث. لنفعل هذا، سيكون علينا أن نستخدم الدوال المثلثية العكسية. هذه الدوال هي في الأساس الدوال التي تعكس ما تفعله دوال الجيب وجيب التمام والظل. نشير إلى هذه الدوال بالرمز سالب واحد أعلى كل دالة مثلثية، ونقرؤها هكذا: معكوس دالة الجيب، ومعكوس دالة جيب التمام، ومعكوس دالة الظل. تعرف هذه الدوال أيضًا بـالدالة العكسية للجيب والدالة العكسية لجيب التمام والدالة العكسية للظل.

من المهم أن ندرك أن الرمز سالب واحد لا يعني المقلوب. الدالة العكسية لـ جا ﺱ لا تساوي واحدًا على جا ﺱ. هذه الدوال المثلثية العكسية هي طريقة أخرى لوصف العلاقة بين زاوية وقيم نسبها المثلثية الثلاث. ويكون تفسير العلاقة بينها كما يأتي. إذا كانت قيمة ﺱ موجودة، بحيث ﺱ يساوي جا 𝜃، فإنه يمكننا كتابة هذا على نحو مكافئ على صورة: 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جا ﺱ. وبالطريقة نفسها، إذا كانت قيمة ﺹ موجودة، بحيث ﺹ يساوي جتا 𝜃، فإن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جتا ﺹ. وإذا كانت قيمة ﻉ موجودة، بحيث ﻉ يساوي ظا 𝜃، فإن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ ظا ﻉ.

إذا عرفنا قيمة إحدى النسب المثلثية الثلاث؛ أي قيمة ﺱ أو ﺹ أو ﻉ، فإنه يمكننا إيجاد الزاوية المرتبطة بهذه النسبة بطريقة عكسية باستخدام دالة مثلثية عكسية. لإيجاد هذه الدوال على الآلة الحاسبة، علينا عادة الضغط على زر ‪shift‬‏‬‏، ثم الضغط على الزر ‪sin‬‏ أو ‪cos‬‏ أو ‪tan‬‏ لإيجاد الدالة العكسية لكل دالة. سنبدأ بتناول مثال على كيفية استخدام هذه الدوال لإيجاد قياس زاوية بمعلومية طولي ضلعين في المثلث القائم الزاوية.

في الشكل الموضح، أوجد قياس الزاوية ﺏﺃﺟ بالدرجات لأقرب منزلتين عشريتين.

دعونا نبدأ بتحديد الزاوية ﺏﺃﺟ على الشكل. إنها الزاوية التي تتكون عند الانتقال من ﺏ إلى ﺃ إلى ﺟ؛ أي هذه الزاوية هنا. يمكننا الإشارة إلى هذا باستخدام الحرف اليوناني 𝜃 إذا أردنا. نلاحظ أن المثلث المعطى لنا هو مثلث قائم الزاوية معلوم فيه طولا ضلعين من أضلاعه، ونريد حساب قياس زاوية واحدة. إذن، يمكننا حل هذه المسألة باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية.

سنبدأ بتسمية أضلاع المثلث الثلاثة بالنسبة إلى هذه الزاوية 𝜃. أطول ضلع في المثلث، أي الضلع المقابل للزاوية القائمة مباشرة، هو الوتر. الضلع الذي يقابل الزاوية 𝜃، أي الضلع ﺏﺟ، هو الضلع المقابل. والضلع الواقع بين الزاوية 𝜃 والزاوية القائمة، أي الضلع ﺃﺏ، هو الضلع المجاور. لمساعدتنا في تحديد أي النسب المثلثية الثلاث نحتاج إليها في هذا السؤال، يمكننا تذكر تعريفات النسب المثلثية الثلاث. طولا الضلعين المعلومان في هذا المثلث هما طول الضلع المقابل وطول الضلع المجاور. هذا يعني أن علينا استخدام نسبة ظل الزاوية.

لأي زاوية 𝜃 في مثلث قائم الزاوية، فإن ظا الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور. إذن في هذا المثلث، لدينا ظا الزاوية 𝜃 يساوي سبعة على خمسة. لإيجاد قيمة 𝜃، علينا تطبيق الدالة العكسية للظل. وهكذا، نجد أن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ ظا سبعة على خمسة. يمكننا حساب هذا على الآلة الحاسبة. عادة ما نحتاج إلى الضغط على زر shift، ثم على زر دالة الظل للحصول على الدالة العكسية للظل.

مطلوب منا إعطاء الإجابة بالدرجات، لذا علينا أيضًا التأكد من أن الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات. بإيجاد قيمة الدالة العكسية لـ ظا سبعة على خمسة، نحصل على ٥٤٫٤٦٢٣ وهكذا مع توالي الأرقام. يحدد السؤال أنه يتعين علينا تقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين. وبما أن الرقم الموجود في المنزلة العشرية الثالثة هو اثنان، فسنقرب للأدنى إلى ٥٤٫٤٦. إذن، باستخدام الدالة العكسية للظل، وجدنا أن قياس الزاوية ﺏﺃﺟ بالدرجات لأقرب منزلتين عشريتين يساوي ٥٤٫٤٦ درجة.

في المثال التالي، سنوجد قياسي الزاويتين المجهولتين في مثلث قائم الزاوية باستخدام دالتين مثلثيتين عكسيتين مختلفتين.

في الشكل الموضح، أوجد قياس كل من الزاوية ﺃﺏﺟ والزاوية ﺃﺟﺏ بالدرجات، لأقرب منزلتين عشريتين.

بالنظر إلى الشكل، نلاحظ أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية معلومًا فيه طولا ضلعين من أضلاعه. يمكننا إذن حل هذه المسألة باستخدام حساب المثلثات للمثلثات القائمة الزاوية. خطوتنا الأولى في مسألة كهذه هي تسمية أضلاع المثلث. لكن لفعل ذلك، علينا تحديد الزاوية التي نسمي الأضلاع بالنسبة إليها. دعونا نحسب قياس الزاوية ﺃﺏﺟ أولًا، ويمكننا أن نسمي هذه الزاوية 𝜃. الضلع الذي يقابل هذه الزاوية مباشرة هو الضلع المقابل. الضلع الواقع بين هذه الزاوية والزاوية القائمة هو الضلع المجاور. والضلع الأخير، الذي يكون دائمًا مقابلًا للزاوية القائمة مباشرة، هو الوتر.

لتحديد أي من النسب المثلثية الثلاث علينا استخدامه، يمكننا تذكر تعريفات النسب المثلثية الثلاث. بالنسبة إلى الزاوية ﺃﺏﺟ أو الزاوية 𝜃، فإن الضلعين المعطى طولاهما هما الضلع المجاور والوتر. لذا، علينا استخدام نسبة جيب التمام. بالنسبة إلى زاوية 𝜃 في المثلث القائم الزاوية، فإن جتا الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر. إذن، بالتعويض بالطولين المعلومين، نجد أن جتا 𝜃 يساوي أربعة أتساع. لإيجاد قيمة 𝜃، علينا تطبيق الدالة العكسية لجيب التمام. هذه هي الدالة التي توضح أنه إذا كان جتا 𝜃 يساوي أربعة أتساع، فما قيمة 𝜃؟

يمكننا حساب هذا على الآلة الحاسبة، بالضغط على زر ‪shift‬‏، ثم على زر ‪cos‬‏ للحصول على الدالة العكسية لجيب التمام. وهذا يعطينا ٦٣٫٦١٢٢ وهكذا مع توالي الأرقام. يحدد السؤال أنه يتعين علينا تقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين، لذا سنقربه إلى ٦٣٫٦١ درجة. بعد ذلك، علينا حساب قياس الزاوية ﺃﺟﺏ، التي يمكننا أن نسميها على الشكل بالزاوية 𝛼. الآن، يمكننا حساب قياس هذه الزاوية باستخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. بدلًا من ذلك، سنحسب قياس هذه الزاوية باستخدام حساب المثلثات ثم نتحقق من إجابتنا عن طريق جمع قياسات الزوايا الثلاث.

لأننا نوجد قياس زاوية مختلفة، أصبح من المهم الآن إعادة تسمية أطوال الأضلاع في المثلث. وتر المثلث القائم الزاوية هو دائمًا نفس الضلع. إنه الضلع المقابل للزاوية القائمة مباشرة. لكن يسمى كل من الضلع المجاور والضلع المقابل بالنسبة إلى الزاوية التي نوجد قياسها. الضلع المقابل هو الضلع الذي يقابل هذه الزاوية مباشرة. إذن، بالنسبة إلى الزاوية 𝛼، الضلع ﺃﺏ هو الضلع المقابل. وبالنسبة إلى الزاوية 𝛼، الضلع ﺃﺟ هو الضلع المجاور.

نلاحظ الآن أنه بالنسبة إلى الزاوية 𝛼، يكون طول كل من الضلع المقابل والوتر معلومًا. هذه المرة، علينا استخدام نسبة الجيب. لأي زاوية 𝛼 في مثلث قائم الزاوية، جا 𝛼 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. هذه المرة لدينا جا 𝛼 يساوي أربعة أتساع. لإيجاد قيمة 𝛼، علينا تطبيق الدالة العكسية للجيب، وهو ما يعطينا أن 𝛼 يساوي الدالة العكسية لـ جا أربعة أتساع. بحساب قيمة هذا باستخدام الآلة الحاسبة، التي يجب أن تكون مضبوطة على وضع الدرجات، نحصل على ٢٦٫٣٨٧٧، ثم نقرب هذا إلى ٢٦٫٣٩ لأقرب منزلتين عشريتين.

يمكننا التحقق من إجابتنا بجمع قياسات الزوايا الثلاث في المثلث والتأكد من أنها تساوي بالفعل ١٨٠ درجة. إذن، بتطبيق نسبتين مثلثيتين مختلفتين ثم إيجاد الدالة المثلثية العكسية لكل منهما، نجد أن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي ٦٣٫٦١ درجة، وقياس الزاوية ﺃﺟﺏ يساوي ٢٦٫٣٩ درجة، وكل منهما لأقرب منزلتين عشريتين.

في الأمثلة التي رأيناها حتى الآن، أوجدنا قياس زاوية واحدة أو زاويتين مجهولتين في المثلث القائم الزاوية باستخدام الدوال المثلثية العكسية. قد يطلب منا في بعض الأحيان إجراء ما هو أكثر من ذلك وإيجاد جميع قياسات الزوايا المجهولة وجميع أطوال الأضلاع المجهولة في المثلث القائم الزاوية. يسمى هذا حل المثلث. وسنتدرب على هذا في المثال التالي.

‏ﺃﺏﺟ مثلث قائم الزاوية في ﺏ؛ حيث ﺏﺟ يساوي ١٠ سنتيمترات، وﺃﺟ يساوي ١٨ سنتيمترًا. أوجد طول ﺃﺏ، لأقرب سنتيمتر، وقياسي الزاويتين ﺃ وﺟ، لأقرب درجة.

دعونا نبدأ برسم هذا المثلث، الذي نعرف من المعطيات أنه مثلث قائم الزاوية في ﺏ. طول ﺏﺟ يساوي ١٠ سنتيمترات، وطول ﺃﺟ يساوي ١٨ سنتيمترًا. علينا إيجاد قياس كل من الزاويتين المجهولتين وطول الضلع الثالث ﺃﺏ. لنبدأ بحساب قياس الزاوية ﺃ، التي يمكننا أن نسميها 𝜃 على الشكل. بما أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية معلومًا فيه طولا ضلعين من أضلاعه، فإنه يمكننا حساب قياس هذه الزاوية باستخدام حساب المثلثات للمثلثات القائمة الزاوية. نبدأ بتسمية أضلاع المثلث الثلاثة بالنسبة إلى هذه الزاوية. ‏ﺏﺟ هو الضلع المقابل، وﺃﺏ هو الضلع المجاور، وﺃﺟ هو الوتر.

بتذكر تعريفات النسب المثلثية الثلاث ، نلاحظ أننا علينا استخدام نسبة الجيب لأن طولي الضلعين المعلومين هما طول الضلع المقابل وطول الوتر. من خلال الزاوية 𝜃 في المثلث القائم الزاوية، يعرف جا الزاوية 𝜃 بأنه يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. إذن لدينا في هذا المثلث جا 𝜃 يساوي ١٠ على ١٨. لإيجاد قيمة 𝜃، علينا تطبيق الدالة العكسية للجيب. إذن لدينا هنا 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جا ١٠ على ١٨. بحساب قيمة هذا باستخدام الآلة الحاسبة، التي يجب أن تكون مضبوطة على وضع الدرجات، نحصل على ٣٣٫٧٤٨٩ وهكذا مع توالي الأرقام. وعند التقريب لأقرب درجة، نحصل على ٣٤ درجة.

وبهذا نكون قد أوجدنا قياس الزاوية ﺃ. الآن دعونا نر كيف يمكننا إيجاد قياس الزاوية ﺟ. إذا أردنا، يمكننا إعادة تسمية ضلعي المثلث بالنسبة إلى هذه الزاوية. إذن، يصبح ﺃﺏ هو الضلع المقابل، ويصبح ﺏﺟ هو الضلع المجاور. يمكننا بعد ذلك حساب قياس الزاوية ﺟ باستخدام نسبة جيب التمام. لكن، من الأفضل تذكر أن مجموع قياسات زوايا أي مثلث يساوي ١٨٠ درجة. لذا، لكي نحسب قياس الزاوية الثالثة في المثلث، يمكننا طرح قياسي الزاويتين الأخريين من ١٨٠ درجة. وهذا يخبرنا أن قياس الزاوية 𝛼 أو الزاوية ﺟ لأقرب درجة يساوي ٥٦ درجة.

وأخيرًا، علينا حساب طول الضلع ﺃﺏ، وهو ما يمكننا فعله باستخدام نسبة مثلثية أخرى. بالنسبة إلى الزاوية 𝜃 أو الزاوية ﺃ التي نعرف قياسها، يكون الضلع ﺃﺏ هو الضلع المجاور. وباستخدام نسبة جيب التمام، نجد أن جتا ٣٣٫٧٤٨٩ درجة وهكذا مع توالي الأرقام يساوي ﺃﺏ على ١٨. بضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ١٨، نحصل على: ﺃﺏ يساوي ١٨ جتا ٣٣٫٧٤٨٩ درجة. وسنستخدم القيمة غير المقربة هنا لدواعي الدقة. بحساب قيمة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على ١٤٫٩٦٦٦ وهكذا مع توالي الأرقام، وبتقريب هذا الناتج لأقرب عدد صحيح فإنه يعطينا ١٥. نعلم أن طول الضلع ﺃﺏ لأقرب سنتيمتر، يساوي ١٥ سنتيمترًا. وقياسا الزاويتين ﺃ وﺟ، كلاهما لأقرب درجة، يساوي ٣٤ درجة و ٥٦ درجة.

يمكننا التحقق من طول الضلع ﺃﺏ باستخدام نظرية فيثاغورس. في المثلث القائم الزاوية، يكون مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين مساويًا دائمًا لمربع طول الوتر. إذا أخذنا القيمة غير المقربة لـ ﺃﺏ وقمنا بتربيعها ثم أضفنا ١٠ تربيع لإيجاد قيمة ﺏﺟ تربيع، فسنحصل على ٣٢٤. ومربع طول الوتر، أي ١٨ تربيع، يساوي أيضًا ٣٢٤. وبما أن هاتين القيمتين متساويتان، فهذا يؤكد أن الإجابة التي تحدد طول ﺃﺏ صحيحة. كان بإمكاننا أيضًا حساب طول ﺃﺏ باستخدام نظرية فيثاغورس ثم التحقق من إجابتنا باستخدام حساب المثلثات.

دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. عند التعامل مع المثلثات القائمة الزاوية، نستخدم المصطلحات: الضلع المقابل، والضلع المجاور، والوتر للإشارة إلى أضلاع المثلث. يكون الوتر دائمًا مقابلًا للزاوية القائمة، وهو الضلع الأطول. ويسمى كل من الضلع المقابل والضلع المجاور بالنسبة إلى زاوية معينة، وغالبًا ما يشار إليها بالرمز 𝜃. الضلع المقابل هو الضلع الذي يقابل هذه الزاوية، والضلع المجاور هو الضلع الواقع بين هذه الزاوية والزاوية القائمة.

يمكننا استخدام النسب المثلثية فسنحتاج إلى تذكر تعريفات النسب المثلثية الثلاث. ‏جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وجتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، وظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. يمكننا إيجاد قياس زاوية ما في المثلث القائم الزاوية بمعلومية طولي ضلعين باستخدام الدوال المثلثية العكسية. إذا كانت قيمة ﺱ موجودة، بحيث ﺱ يساوي جا 𝜃، فإن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جا ﺱ. إذا كان ﺹ يساوي جتا 𝜃، فإن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جتا ﺹ. وإذا كان ﻉ يساوي ظا 𝜃، فإن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ ظا ﻉ.

رأينا أنه يمكننا استخدام الدوال المثلثية الثلاث ومعكوسها لحل المثلثات، وهو ما يعني إيجاد أطوال جميع الأضلاع المجهولة وقياسات جميع الزوايا المجهولة. عندما نفعل هذا، فإنه يمكننا أيضًا استخدام نظرية فيثاغورس أو مجموع قياسات زوايا المثلث، إما باعتبارها طريقة بديلة أو للتحقق من صحة إجابتنا.