تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: المقارنة بين النهاية عند نقطة ما وقيمة الدالة عند هذه النقطة الرياضيات

إذا كانت ﺩ(٦) = −٦، فماذا يمكننا أن نقول حول نها_(ﺱ ⟵ ٦) ﺩ(ﺱ)؟

٠٧:١٣

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت قيمة ﺩ عند ستة تساوي سالب ستة، فماذا يمكننا أن نقول حول النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة لـ ﺩﺱ؟ الخيار (أ) النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة لـ ﺩﺱ تساوي سالب ستة. الخيار (ب) النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة لـ ﺩﺱ لا تساوي سالب ستة. الخيار (ج) النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة لـ ﺩﺱ تساوي صفرًا. الخيار (د) لا يمكننا استخلاص استنتاج حول النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة لـ ﺩﺱ. أم الخيار (هـ) النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة لـ ﺩﺱ تساوي سالب واحد.

في هذا السؤال، لدينا الدالة ﺩﺱ. كما أن لدينا معلومة واحدة فقط عن هذه الدالة؛ وهي أن قيمة ﺩ عند ستة تساوي سالب ستة. علينا تحديد إذا ما كان بإمكاننا استخدام هذه المعلومة لتحديد أي شيء عن النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة لـ ﺩﺱ. لدينا خمسة خيارات ممكنة.

للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر المقصود من نهاية دالة عند نقطة. نتذكر أنه إذا كانت قيم الدالة ﺩﺱ تقترب من قيمة محددة ﻝ عندما تقترب قيم ﺱ من ﺃ من الجهتين، ولكن ليس بالضرورة عندما يكون ﺱ يساوي ﺃ، فإننا نقول إن النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ تساوي ﻝ. في هذه الحالة، ما يعنينا هو نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ستة. إذن، دعونا نجعل قيمة ﺃ تساوي ستة في هذا التعريف.

وهذا يعطينا ما يلي. ويمكننا على الفور ملاحظة شيء ما من التعريف. نحن لا نهتم بالقيم المخرجة للدالة عندما تساوي قيمة ﺱ ستة. ما يعنينا فقط هو ما يحدث للقيم المخرجة للدالة عندما تقترب القيم المدخلة لأي قيم ﺱ من ستة. أي تقترب هذه القيم لأكثر من ستة، لكنها لا تساوي ستة على الإطلاق. وهذا كاف للإجابة عن هذا السؤال. لا يمكننا التوصل إلى أي استنتاجات حول نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ستة عندما نعلم قيمة ﺩ عند ستة، لأننا في هذا التعريف لا نهتم بقيمة الدالة عند نقطة النهاية.

ونتوقف إذن هنا لنقول إن الإجابة هي الخيار (د). ولكن، قد يكون من المفيد أن نشرح بوضوح أن الخيارات (أ) و(ب) و(ج) و(هـ) غير صحيحة. وهناك بعض الطرق المختلفة للقيام بذلك.

سنحل هذه المسألة بيانيًّا. هيا نبدأ بالتفكير في دالة ما ﺩﺱ؛ حيث قيمة ﺩ عند ستة تساوي سالب ستة. ويمكننا تحديد النهاية بسهولة عندما يقترب ﺱ من ستة لـ ﺩﺱ. ويمكن القول إن الخيار الأسهل للدالة سيكون الدالة الثابتة. ‏ﺩﺱ هي القيمة الثابتة سالب ستة. ونعلم أيضًا أن التمثيل البياني لهذه الدالة سيكون خطًّا مستقيمًا أفقيًّا ﺹ يساوي سالب ستة.

يمكننا الآن تحديد نهاية هذه الدالة من تمثيلها البياني. بما أن قيم ﺱ تقترب من ستة من جهة اليسار، يمكننا ملاحظة أن قيم مخرجات الدالة هي قيمة ثابتة تساوي سالب ستة. وبالمثل، عندما تقترب قيم ﺱ من ستة من جهة اليمين، نلاحظ أن قيم المخرجات هي قيمة ثابتة تساوي سالب ستة. ومن ثم، إذا كانت ﺩﺱ قيمة ثابتة تساوي سالب ستة، فسنجد أن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ستة تساوي سالب ستة.

وهذا يوضح لنا ثلاثة أشياء. أولًا، يمكن أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة لـ ﺩﺱ تساوي سالب ستة، إذن فإن الخيار (ب) غير صحيح. ثانيًا، ليس بالضرورة أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة لـ ﺩﺱ تساوي صفرًا، إذن فإن الخيار (ج) غير صحيح. وأخيرًا، ليس بالضرورة أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة لـ ﺩﺱ تساوي سالب واحد، لذا فإن الخيار (هـ) غير صحيح أيضًا.

ولكننا لم نثبت أن الخيار (أ) غير صحيح لأن هذا يتفق مع الدالة الحالية ﺩﺱ. دعونا إذن نفرغ بعض المساحة ونثبت أنه ليس بالضرورة أن يكون صحيحًا. نريد تكوين دالة ﺩﺱ؛ حيث قيمة ﺩ عند ستة تساوي سالب ستة، لكن النهاية عند اقتراب ﺱ من ستة لـ ﺩﺱ لا تساوي سالب ستة.

أولًا، لدينا معلومة واحدة فقط عن ﺩﺱ، وهي أن قيمة ﺩ عند ستة يجب أن تساوي سالب ستة. هذا يعني أنه عندما نرسم تمثيلًا بيانيًّا للدالة، تكون لدينا نقطة واحدة فقط تمر بها الدالة: ستة، سالب ستة. ويمكن وضع أي تمثيل بياني لباقي أجزاء هذه الدالة. على سبيل المثال، يمكننا القول إن مخرجات الدالة تساوي ستة لجميع قيم ﺱ الأخرى. وكذلك، يمكننا كتابة هذه الدالة في صورة دالة متعددة التعريف. ‏ﺩﺱ تساوي ستة إذا كان ﺱ لا يساوي ستة، وﺩﺱ تساوي سالب ستة إذا كان ﺱ يساوي ستة.

والآن يمكننا أن نلاحظ أمرًا مثيرًا للاهتمام. بما أن قيم ﺱ تقترب من ستة من جهة اليمين، يمكننا أن نلاحظ أن القيم المخرجة للدالة تظل ثابتة عند ستة. وبالمثل، عندما تقترب قيم ﺱ من ستة من جهة اليسار، يمكننا أن نرى أن القيم المخرجة للدالة تظل ثابتة عند ستة. ولذلك، فإن نهاية هذه الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ستة تساوي ستة. وهذا لا يتفق مع الخيار (أ)، الذي ينص على أن هذه النهاية يجب أن تساوي سالب ستة.

ومن الجدير بالملاحظة أنه يمكننا استخدام هذا لتوضيح أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة لـ ﺩﺱ يمكن أن تساوي أي قيمة. كل ما علينا فعله هو تغيير قيمة الجزء المقطوع لهذا الخط المستقيم الأفقي. إذا كانت هذه هي قيمة ﺟ، فستكون قيم مخرجات الدالة ثابتة عند ﺟ. ومن ثم، فإن النهاية عند اقتراب ﺱ من ستة لـ ﺩﺱ تساوي ﺟ. وهذا يوضح أنه لا توجد علاقة بين قيمة ﺩ عند ستة والنهاية عندما يقترب ﺱ من ستة لـ ﺩﺱ بشكل عام، وهي طريقة أخرى لتوضيح أنه لا يمكننا استخلاص أي استنتاجات حول النهاية عندما يقترب ﺱ من ستة لـ ﺩﺱ من قيمة ﺩ عند ستة، وهو الخيار (د).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.