تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: فهم نهاية دالة عند نقطة الرياضيات

إذا كانت نها (ﺱ ← ٢) ﺩ(ﺱ) = ٦، فأي من العبارات الآتية خطأ؟ [أ] ﺩ(٢) = ٤ [ب] ﺩ(٢) غير معرفة [ج] نها_ (ﺱ ← ٣) ﺩ(ﺱ) = ٦ [د] ﺩ(٢) = ٦ [هـ] نها_(ﺱ ← ٢) ﺩ(ﺱ) = ٤

١١:٢٠

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين لـ ﺩﺱ تساوي ستة، فأي العبارات الآتية خطأ؟ الخيار (أ) قيمة ﺩ عند اثنين تساوي أربعة. الخيار (ب) قيمة ﺩ عند اثنين غير معرفة. الخيار (ج) قيمة النهاية عند اقتراب ﺱ من ثلاثة لـ ﺩﺱ تساوي ستة. الخيار (د) قيمة ﺩ عند اثنين تساوي ستة. أو الخيار (هـ) قيمة النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين لـ ﺩﺱ تساوي أربعة.

في هذا السؤال، لدينا قيمة النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين لدالة ما ﺩﺱ. وعلمنا أنها تساوي ستة. علينا استخدام هذه المعطيات لتحديد أي من العبارات الخمس المعطاة خطأ.

للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ باسترجاع المقصود بنهاية دالة عند نقطة. إذا اقتربت قيم الدالة ﺩﺱ من قيمة محددة ﻝ، عندما تقترب قيم ﺱ من قيمة ما ﺃ من كلتا الجهتين، ولكن ليس بالضرورة عند ﺱ يساوي ﺃ، فإننا نقول إن النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ تساوي ﻝ.

في هذا السؤال، علمنا أن النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين للدالة ﺩﺱ تساوي ستة. إذن، يمكننا التعويض بـ ﺃ يساوي اثنين، وﻝ يساوي ستة في هذا التعريف. وهذا يعطينا ما يلي. نعلم أن هذه العبارة لا بد أن تكون صحيحة؛ لأننا علمنا أن النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين لـ ﺩﺱ تساوي ستة. وعلينا استخدام هذه المعطيات لتحديد أي من الخيارات الخمسة المعطاة لا يمكن أن تكون صحيحة.

لنبدأ بالخيار (أ) الذي نعلم منه أن قيمة ﺩ عند اثنين تساوي أربعة. في البداية، قد نميل إلى القول إن هذا ليس صحيحًا؛ لأن قيم ﺩﺱ تقترب من ستة عندما يقترب ﺱ أكثر فأكثر من اثنين. لكن، من المهم جدًّا أن نتذكر أننا نقول في تعريفنا تحديدًا إننا لا نهتم بما يحدث عند ﺱ يساوي اثنين. عندما نتحدث عن النهايات، لا يعنينا سوى ما يحدث عندما يقترب ﺱ أكثر فأكثر من النقطة.

ولمساعدتنا على تصور ذلك، دعونا نتناول مثالًا. لننظر إلى التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺱ زائد أربعة. في هذا التمثيل البياني، تمثل قيم الإحداثي ﺹ للنقاط على المنحنى مخرجات الدالة. ونريد استخدام ذلك لإيجاد النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين لـ ﺱ زائد أربعة. وقبل أن نفعل ذلك، نعلم أن النقطة التي إحداثياتها اثنان، ستة تقع على هذا الخط المستقيم؛ لأنه إذا عوضنا بـ ﺱ يساوي اثنين في المعادلة، فسنحصل على ﺹ يساوي ستة.

دعونا الآن نلاحظ ما يحدث للقيم المخرجة لهذه الدالة عندما تقترب قيم ﺱ من اثنين من كلتا الجهتين. أولًا: عندما تقترب قيم ﺱ من اثنين من أعلى، نلاحظ أن القيم المخرجة، أي قيم الإحداثي ﺹ، تقترب من ستة من أعلى. وبالمثل، يمكننا أن نلاحظ أنه إذا كانت القيم المدخلة لـ ﺱ تقترب من اثنين من جهة اليسار، فإن القيم المخرجة تقترب من ستة من أسفل. لذلك، بما أن قيم مخرجات الدالة تقترب من ستة عندما يقترب ﺱ من اثنين من كلتا الجهتين، فقد أوضحنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ زائد أربعة تساوي ستة.

وهذه نتيجة مفيدة. إذا كان لدينا الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد أربعة، نجد أن النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين للدالة ﺩﺱ تساوي ستة، وهو ما يساوي قيمة ﺩ عند اثنين. وهذا مثال يوضح أن الخيار (د) يمكن أن يكون صحيحًا؛ حيث إن النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين لـ ﺩﺱ تساوي ستة، وهذه القيمة يمكن أن تساوي قيمة ﺩ عند اثنين. لكن يمكننا تعديل هذا المثال مباشرة لتوضيح أن الخيار (أ) قد يكون صحيحًا أيضًا.

نريد تغيير الدالة حتى تكون قيمة ﺩ عند اثنين تساوي أربعة. وأسهل طريقة لفعل ذلك هي تغيير القيمة المخرجة المنفردة. سنجعل الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد أربعة في كل موضع إلا عند ﺱ يساوي اثنين. في هذه الحالة، القيمة المخرجة تساوي أربعة.

يمكننا بعد ذلك ملاحظة أمر مثير للاهتمام. أولًا: التمثيل البياني لهذه الدالة مشابه تمامًا لتمثيل الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ زائد أربعة، والفرق الوحيد هو التغير في القيمة المخرجة المنفردة. يمكننا بعد ذلك استخدام نفس الطريقة التي استخدمناها سابقًا لتحديد النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺩﺱ. تذكر أنه عندما نحسب النهاية عند اثنين، فلا يهمنا ما يحدث للدالة عند ﺱ يساوي اثنين، بل ما يحدث عندما يقترب ﺱ أكثر فأكثر من اثنين.

مرة أخرى، عندما تقترب القيم المدخلة، أي قيم ﺱ، من اثنين من جهة اليمين، تقترب القيم المخرجة من ستة. وعندما تقترب قيم ﺱ من اثنين من جهة اليسار، تقترب القيم المخرجة من ستة أيضًا. ومن ثم، فإن النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين لهذه الدالة الجديدة ﺩﺱ تساوي ستة. لكن، قيمة ﺩ عند اثنين تساوي أربعة. وهذا مثال لدالة ما ﺩﺱ حيث يكون الخيار (أ) صحيحًا. نهاية هذه الدالة تساوي ستة عندما يقترب ﺱ من اثنين، ومع ذلك، فإن قيمة ﺩ عند اثنين تساوي أربعة. ومن الجدير بالملاحظة أنه كان بإمكاننا اختيار أي قيمة مخرجة لهذه النقطة.

يمكننا الآن الانتقال إلى الخيار (ب). ولكن نلاحظ أنه يمكننا أيضًا تعديل هذا المثال لتوضيح أن الخيار (ب) يمكن أن يكون صحيحًا أيضًا. وبنفس الأسلوب، أسهل طريقة لجعل قيمة ﺩ عند اثنين غير معرفة، هي حذف القيمة المخرجة. هذه المرة، سنجعل الدالة ﺩﺱ مساوية للدالة الخطية ﺱ زائد أربعة لجميع قيم ﺱ التي لا تساوي اثنين. وسنترك الدالة لدينا غير معرفة عند ﺱ يساوي اثنين. وبذلك يكون التمثيل البياني لهذه الدالة هو الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ زائد أربعة، مع إزالة نقطة منفردة عند اثنين، ستة.

مرة أخرى، لم نغير أيًّا من القيم المخرجة للدالة حول هذه النقطة. لقد غيرنا فقط قيمة الدالة عند ﺱ يساوي اثنين، وهو ما لا يغير نهايتها. ومن ثم، فإن النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين لهذه الدالة تساوي ستة. وفي هذه الدالة، قيمة ﺩ لاثنين غير معرفة. وعليه، فهذا مثال يوضح أن الخيار (ب) صحيح. النهاية، عندما يقترب ﺱ من اثنين لهذه الدالة، تساوي ستة. لكن، هذه الدالة تكون غير معرفة عند ﺱ يساوي اثنين.

دعونا ننتقل الآن إلى الخيار (ج). كان بإمكاننا استعراض مثال آخر مختلف تمامًا لجعل هذا الخيار صحيحًا. ولكننا سنعدل هذا المثال مرة أخرى فقط لكي نجعل الخيار (ج) يتحقق. بما أننا نريد أن تكون قيمة النهاية عند اقتراب ﺱ من ثلاثة، للدالة ﺩﺱ، تساوي ستة، فسنكون دالة هي الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ زائد أربعة مدمجًا مع الخط الأفقي ﺹ يساوي ستة. ولتحقيق قدر أكبر من الدقة، دعونا نكتب ذلك في صورة دالة متعددة التعريف. ‏ﺩﺱ ستساوي ﺱ زائد أربعة عند ﺱ أقل من أو يساوي اثنين، وﺩﺱ ستساوي القيمة الثابتة ستة عند ﺱ أكبر من اثنين.

يمكننا الآن إيجاد كل من النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺩﺱ، والنهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة لـ ﺩﺱ. دعونا نبدأ بالنهاية عندما يقترب ﺱ من ثلاثة لـ ﺩﺱ. علينا أن نلاحظ ما يحدث للقيم المخرجة لهذه الدالة عندما يقترب ﺱ من ثلاثة من كلتا الجهتين. حسنًا، عندما يقترب ﺱ من ثلاثة من جهة اليمين، فإن جميع القيم المخرجة تساوي ستة. وبالمثل، عندما يقترب ﺱ من ثلاثة من جهة اليسار، فإن جميع القيم المخرجة تساوي ستة. إذن، النهاية عند اقتراب ﺱ من ثلاثة لـ ﺩﺱ تساوي ستة.

دعونا نستخدم الآن الشكل لإيجاد نهاية هذه الدالة عندما يقترب ﺱ من اثنين. أولًا: عندما تقترب قيم ﺱ من اثنين من اليمين، تظل القيم المخرجة ثابتة عند ستة. بعد ذلك، عندما تقترب قيم ﺱ من اثنين من جهة اليسار، يمكننا ملاحظة أن القيم المخرجة تقترب من ستة أيضًا. ومن ثم، فإن النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين للدالة ﺩﺱ تساوي ستة أيضًا. إذن، هذه دالة تكون فيها النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين لـ ﺩﺱ والنهاية عند اقتراب ﺱ من ثلاثة لـ ﺩﺱ تساويان ستة.

لكن تجدر الإشارة إلى أن هذا ليس أسهل مثال يمكننا اختياره. كان بإمكاننا اختيار أن تكون الدالة ﺩﺱ تساوي قيمة ثابتة هي ستة. ومن ثم، بالنسبة لأي قيمة حقيقية ﺃ، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ ستساوي ستة دائمًا؛ لأن القيمة المخرجة للدالة هي ستة دائمًا.

وبذلك، يتبقى لدينا الخيار (هـ). علينا إثبات أن هذا الخيار خطأ. لتوضيح أن هذه القيمة خاطئة، دعونا نتناول ما يحدث عند ﻝ يساوي أربعة في تعريف هذه النهاية. ويوضح هذا أن قيم ﺩﺱ تقترب من أربعة عندما يقترب ﺱ من اثنين من كلتا الجهتين، ولكن ليس بالضرورة عند ﺱ يساوي اثنين. لكن يجب أن تكون هذه النهاية مساوية لستة. هذا يعني أننا نحتاج إلى أن تقترب قيم ﺩﺱ من أربعة، وتقترب من ستة، عندما تقترب قيم ﺱ من اثنين من كلتا الجهتين. ولا يمكن أن تقترب القيم المخرجة أكثر فأكثر من أربعة وستة؛ لأن هذين عددان مختلفان. وهذا صحيح بوجه عام. نهاية أي دالة ﺩﺱ عند اقتراب ﺱ من ﺃ لا يمكن أن يكون لها قيمتان مختلفتان. ويكون لها قيمة واحدة فقط.

وهكذا، استطعنا توضيح أنه إذا كانت قيمة نهاية الدالة ﺩﺱ عند اقتراب ﺱ من اثنين تساوي ستة، فمن الخيارات الخمسة المعطاة، الخيار (هـ)، وهو قيمة النهاية عند اقتراب ﺱ من اثنين لـ ﺩﺱ تساوي أربعة، هو فقط الخيار الخطأ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.