نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنتعرف على كيفية الربط بين المسافة التي يقطعها جسم يتحرك بعجلة ثابتة في خط مستقيم، وكل من السرعتين المتجهتين الابتدائية والنهائية لهذا الجسم.
لنبدأ أولًا بتذكر ما نعنيه بالعجلة. تعرف العجلة بأنها معدل تغير السرعة المتجهة. وباستخدام الرموز، يمكننا القول إن العجلة، 𝑎، تساوي التغير في السرعة المتجهة Δ𝑣 مقسومًا على الفترة الزمنية التي يستغرقها حدوث هذا التغير في السرعة المتجهة، Δ𝑡. بعبارة أخرى، تعرف عجلة الجسم بأنها مقدار التغير في السرعة المتجهة مقسومًا على الزمن المستغرق لحدوث هذا التغير في السرعة المتجهة. حسنًا، هذا جيد. لكن ماذا إذا كانت الأمور التي تهمنا لا تتعلق بمقدار الزمن المستغرق لحدوث التغير في السرعة المتجهة، بل تتعلق بالمسافة التي يقطعها الجسم خلال هذا التغير في السرعة المتجهة؟
على سبيل المثال، لنأخذ هذه السيارة كمثال. لنفترض أن هذه السيارة تتحرك في البداية بسرعة ٣٠ مترًا لكل ثانية باتجاه اليمين. وبينما تسير السيارة على هذا الطريق، يرى السائق لافتة من بعيد. تشير هذه اللافتة إلى أن السائق يجب أن يبطئ من سرعته إلى ٢٠ مترًا لكل ثانية عند مروره باللافتة. من المتعارف عليه بالطبع أن لافتات الطرق عادة ما تعطي، في الحياة الواقعية، حدود السرعة بالميل لكل ساعة، أو الكيلومتر لكل ساعة، أو بوحدات مماثلة. لكن، من أجل غرضنا هنا، لنتخيل أن العدد ٢٠ يشير إلى ٢٠ مترًا لكل ثانية باعتباره حد السرعة.
لذا، يتعين على السائق الذي يقود سيارة تسير بسرعة ٣٠ مترًا لكل ثانية أن يتحرك بسرعة ٢٠ مترًا لكل ثانية عند مروره باللافتة. إذن، من الطبيعي أن يضغط على مكابح سيارته. وتعمل هذه المكابح على إحداث تباطؤ معين للسيارة، أو بعبارة أخرى عجلة، سنسميها 𝑎، في الاتجاه المعاكس لاتجاه حركة السيارة. تعتمد هذه العجلة، 𝑎، على قوة مكابح السيارة، ومدى قوة ضغط السائق على المكابح. إذن، عند قيمة معينة لـ 𝑎، هل توجد مسافة كافية، سنسميها 𝑠، بين موضع السيارة، عندما يضغط السائق للمرة الأولى على المكابح، وبين اللافتة لتتمكن السيارة من إبطاء سرعتها إلى ٢٠ مترًا لكل ثانية؟
هناك طريقة أخرى للتفكير في الأمر، وهي أنه عند ذكر قيمة معينة لـ 𝑎؛ أو بعبارة أخرى، قوة ضغط معينة على المكابح تؤدي إلى تباطؤ السيارة، ما المسافة قبل اللافتة التي يتعين على السائق الضغط على المكابح عندها لكي يتمكن من الوصول إلى سرعة ٢٠ مترًا لكل ثانية عند مروره باللافتة؟ حسنًا، دعنا نقل أولًا إن السرعة المتجهة الابتدائية للسيارة تسمى 𝑢. و𝑢 تساوي ٣٠ مترًا لكل ثانية. ولنفترض أن السرعة المتجهة النهائية للسيارة، والتي نعرف أنها يجب أن تكون ٢٠ مترًا لكل ثانية، تسمى 𝑣. إذن، 𝑣 تساوي ٢٠ مترًا لكل ثانية، بعد مرور السيارة باللافتة.
حسنًا، من الناحية النظرية، يجب أن تكون سرعة السيارة ٢٠ مترًا لكل ثانية بالفعل في لحظة مرورها باللافتة وليس بعد مرورها باللافتة. لكن يمكننا الافتراض أنها كانت تسير بسرعة ٢٠ مترًا لكل ثانية لحظة مرورها باللافتة، لذا لن يشكل ذلك فارقًا كبيرًا. وبالتالي، فالمسافة التي تهمنا لا تزال هي 𝑠، وهي المسافة التي تتباطؤ خلالها السيارة. فكيف سنحسب هذه المسافة؟ حسنًا، لحسن الحظ، لدينا معادلة تربط السرعة المتجهة الابتدائية للجسم – وهو في هذه الحالة السيارة - بعجلة الجسم، والسرعة المتجهة النهائية للجسم، والمسافة المقطوعة التي تحدث خلالها العجلة.
هذه هي المعادلة التي نبحث عنها لهذه الحالة: 𝑣 تربيع يساوي 𝑢 تربيع زائد اثنين 𝑎𝑠. بعبارة أخرى، مربع السرعة المتجهة النهائية للجسم يساوي مربع السرعة المتجهة الابتدائية للجسم زائد اثنين في عجلة الجسم في المسافة التي قطعها الجسم خلال هذه العجلة. إذا كانت لدينا في هذه الحالة قيمة 𝑎، لنفترض أننا عرفنا أن العجلة تساوي خمسة أمتار لكل ثانية مربعة، عندئذ يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝑠. عند القيام بذلك، نجد أن 𝑠 يساوي 𝑣 تربيع ناقص 𝑢 تربيع مقسومًا على اثنين 𝑎. وبذلك، عند هذه المرحلة، سنتمكن من التعويض عن هذه القيم.
يمكننا القول إن المسافة، 𝑠، التي تقطعها السيارة تساوي مربع السرعة المتجهة النهائية للسيارة – أي 𝑣 تربيع؛ وهو ٢٠ مترًا لكل ثانية تربيع – ناقص مربع السرعة المتجهة الابتدائية للسيارة؛ ٣٠ مترًا لكل ثانية تربيع، مقسومًا على اثنين مضروبًا في العجلة؛ وهي سالب خمسة أمتار لكل ثانية تربيع. والسبب في إشارة السالب هنا هو أن العجلة في الاتجاه المعاكس لسرعة الجسم المتجهة. يتحرك الجسم في هذا الاتجاه، بينما تكون العجلة في هذا الاتجاه.
والسبب في أننا لم نضع إشارة سالب هنا عندما ذكرنا العجلة للمرة الأولى، هو أن هذا السهم يدل على ذلك بالفعل. نعلم أن العجلة تساوي خمسة أمتار لكل ثانية مربعة باتجاه اليسار، كما رسمناها. لكن في هذه العملية الحسابية، علينا مراعاة ذلك. ولذا، نضع إشارة السالب. ومن الجيد أننا وضعنا إشارة السالب هذه؛ لأننا نلاحظ أن البسط بالفعل سيكون سالبًا. لدينا ٢٠ مترًا لكل ثانية الكل تربيع ناقص ٣٠ مترًا لكل ثانية الكل تربيع. يمكن تبسيط ذلك إلى ٤٠٠ متر مربع لكل ثانية مربعة ناقص ٩٠٠ متر مربع لكل ثانية مربعة، أو بعبارة أخرى سالب ٥٠٠ متر مربع لكل ثانية مربعة. وبالتالي، تحذف هذه الإشارة السالبة مع هذه الإشارة، وتترك قيمة موجبة للمسافة المقطوعة.
وبالنظر إلى الوحدات، نجد أن لدينا مترًا مربعًا لكل ثانية مربعة في البسط، ومترًا لكل ثانية مربعة في المقام. وبالتالي، ستحذف وحدة الثانية المربعة في كل من البسط والمقام. وسيحذف أحد المترين في البسط مع المتر في المقام. فيكون الناتج الإجمالي بوحدة المتر فقط. هذا أمر جيد؛ لأننا نحاول حساب المسافة التي يتعين في وحدة قياسها أن تكون بالمتر. وهكذا، فإن الإجابة النهائية هي في الواقع ٥٠ مترًا. بعبارة أخرى، ستحتاج هذه السيارة إلى مسافة ٥٠ مترًا لكي تتباطأ سرعتها من ٣٠ مترًا لكل ثانية إلى ٢٠ مترًا لكل ثانية، إذا كانت العجلة في الاتجاه المعاكس تبلغ خمسة أمتار لكل ثانية مربعة. وهذه هي كيفية استخدام هذه المعادلة.
لكن، يوجد تحفظان يتعلقان باستخدام هذه المعادلة. التحفظ الأول هو أن هذه المعادلة لا تصلح إلا إذا كانت عجلة الجسم ثابتة. بعبارة أخرى، قيمة 𝑎 يمكن أن تكون موجبة، ويمكن أن تكون سالبة. لا بأس في ذلك. لكن يجب أن تكون قيمة ثابتة. لا بد أن تكون قيمة ثابتة على طول المسافة التي لدينا. فلنفترض أن العجلة تغيرت عند أي نقطة، أي على سبيل المثال كان لدينا جسم يتحرك بعجلة 𝑎 واحد خلال مسافة 𝑠 واحد. ولكن بعد ذلك، بمجرد أن قطع هذه المسافة بالكامل، تحرك بعجلة أكبر، على سبيل المثال 𝑎 اثنين خلال مسافة 𝑠 اثنين. فسيكون علينا التعامل مع هاتين الحالتين كل على حدة.
إذ سيكون علينا أولًا التعامل مع السرعتين المتجهتين الابتدائية والنهائية خلال هذه المسافة باستخدام قيمة 𝑎 واحد، ثم مع السرعتين المتجهتين الابتدائية والنهائية خلال هذه المسافة باستخدام قيمة 𝑎 اثنين. بعبارة أخرى، لا يمكننا استخدام هذه المعادلة إلا على مسافة تكون فيها العجلة ثابتة. وهذا هو التحفظ الأول في هذه المعادلة.
التحفظ الثاني هو أن المسافة 𝑠 يجب أن تكون مسافة مستقيمة. وهذا لأن هذه المعادلة تتعلق، فعليًّا، بالإزاحة. بعبارة أخرى، هذه المعادلة تتعلق بإزاحة الجسم من بداية حركته إلى نهايتها عندما يتحرك بعجلة بمعدل 𝑎 واحد. لذلك، نقول إن 𝑠 يجب أن تكون خطًّا مستقيمًا. إذا كان لدينا السرعتان المتجهتان الابتدائية والنهائية لجسم، وكذلك عجلته، التي نعلم أنها ثابتة، والمسافة التي يقطعها خلال هذه العجلة، التي نعلم أنه يقطعها في خط مستقيم، يمكننا استخدام هذه المعادلة. وعندما يكون استخدام هذه المعادلة ممكنًا، فإن هذا الاستخدام من شأنه أن يكون مفيدًا للغاية.
رأينا بالفعل كيف يمكن استخدامها لحساب تباطؤ السيارة. في الواقع، هذه هي المعادلة المستخدمة في حساب مسافات توقف السيارات بعد الضغط على المكابح. لنفترض أن إحدى السيارات- لقد رسمتها بشكل سيئ للغاية هذه المرة- تتحرك باتجاه اليمين بسرعة معينة. وعلى مسافة أمامه، يرى السائق عائقًا على الطريق، الأمر الذي يعني أنه يجب عليه الضغط على المكابح والتوقف قبل أن يصل إلى هذا العائق. حسنًا، إذا ضغط على مكابح السيارة، فلا بد وأن تتوقف السيارة عندما تصل إلى العائق. بعبارة أخرى، يجب أن تكون السرعة المتجهة النهائية للسيارة صفرًا. ستساعدنا هذه المعادلة في حساب المسافة التي لا بد وأن تكون السيارة قد قطعتها، بمعلومية السرعة المتجهة الابتدائية للسيارة، أيًّا كانت، وأقصى قيمة ممكنة للعجلة في الاتجاه المعاكس لسرعة السيارة المتجهة، الناتجة عن ضغط السائق على المكابح بأقصى قوة ممكنة.
وهناك طريقة أخرى للتفكير في الأمر، وهي أنه إذا كان السائق يتحرك بسرعة متجهة ابتدائية 𝑢، فهل ستكون أمامه مسافة كافية للتوقف قبل وصوله إلى العائق؟ إذن، هذه إحدى الحالات التي تكون فيها هذه المعادلة مفيدة حقًّا. وثمة مثال آخر يتعلق بحالة طائرة على وشك الإقلاع. تبدأ الطائرة من وضع السكون؛ حيث 𝑢 يساوي صفرًا. ثم تتحرك على مدرج ذي طول معين. يمكن استخدام هذه المعادلة لحساب ما يلي: هل المدرج طويل بما يكفي لكي تصل الطائرة إلى السرعة التي تحتاجها للإقلاع؟ لنطلق على هذه السرعة، أيًّا كانت، 𝑣، مع إدراكنا لحقيقة أن الطائرة يمكنها أن تتحرك بعجلة 𝑎. فهل المدرج آمن لإقلاع تلك الطائرة؟ إذن هذه المعادلة مفيدة للغاية بالفعل. لنتناول سؤالًا كمثال لنرى ذلك بأنفسنا.
جسم سرعته الابتدائية ثلاثة أمتار لكل ثانية، يتحرك بعجلة مقدارها أربعة أمتار لكل ثانية مربعة في اتجاه سرعته في خط مستقيم. تصل سرعة الجسم إلى ١١ مترًا لكل ثانية عند وصوله إلى نهاية الخط المستقيم. ما طول الخط المستقيم؟
حسنًا، في هذا السؤال، لدينا جسم. ولنفترض أنه يبدأ حركته من هنا. ولنفترض أنه يتحرك في هذا الاتجاه نحو اليمين بسرعة متجهة ابتدائية عرفنا أنها تبلغ ثلاثة أمتار لكل ثانية. عرفنا من المعطيات أن الجسم يتحرك بعجلة في اتجاه سرعته المتجهة في خط مستقيم بمعدل أربعة أمتار لكل ثانية مربعة. إذن يتحرك الجسم في خط مستقيم في اتجاه اليمين، كما رسمنا. وعندما يصل إلى نهاية الخط، نعلم أنه يتحرك عندئذ بسرعة ١١ مترًا لكل ثانية. ومطلوب منا إيجاد طول هذا الخط، من الموضع الذي بدأ منه الجسم الحركة إلى موضع نهاية الحركة.
لنفترض أن طول هذا الخط هو 𝑠. و𝑠 هو ما نحاول إيجاده. إضافة إلى ذلك، دعونا نطلق على السرعة المتجهة الابتدائية للجسم 𝑢، وهي التي تساوي ثلاثة أمتار لكل ثانية. لنفترض أن السرعة المتجهة النهائية للجسم هي 𝑣، وتساوي ١١ مترًا لكل ثانية. ولنفترض أن عجلة الجسم هي 𝑎، وتساوي أربعة أمتار لكل ثانية مربعة. والآن، المعادلة التي تربط 𝑢 و𝑣 و𝑎 و𝑠 هي: 𝑣 تربيع يساوي 𝑢 تربيع زائد اثنين 𝑎𝑠. بعبارة أخرى، مربع السرعة المتجهة النهائية للجسم يساوي مربع سرعته المتجهة الابتدائية زائد اثنين مضروبًا في عجلته مضروبة في المسافة التي يقطعها.
والآن، من المهم أن تعرف أنه لتطبيق هذه المعادلة، يجب أن تكون قيمة العجلة ثابتة. وفي هذه الحالة، نعلم أنها أربعة أمتار لكل ثانية مربعة، وهي قيمة ثابتة. علاوة على ذلك، لكي تطبق هذه المعادلة، يجب أن تكون المسافة التي يقطعها الجسم في خط مستقيم. وهذه هي الحالة كما ذكر في السؤال. إذن، يمكننا استخدام هذه المعادلة لحل المسألة. نعرف بالفعل قيم كل من 𝑣 و𝑢 و𝑎. كل ما علينا فعله هو إعادة الترتيب لإيجاد قيمة 𝑠. يمكننا البدء بطرح 𝑢 تربيع من كلا طرفي المعادلة. وبهذه الطريقة، تحذف من الطرف الأيمن. ويتبقى لدينا 𝑣 تربيع ناقص 𝑢 تربيع في الطرف الأيسر، واثنان 𝑎𝑠 في الطرف الأيمن. بعد ذلك، يمكننا قسمة كلا طرفي المعادلة على اثنين 𝑎. وبهذه الطريقة تحذف الاثنان من الطرف الأيمن، وتحذف 𝑎 من الطرف الأيمن. ونحصل على 𝑣 تربيع ناقص 𝑢 تربيع على اثنين 𝑎 يساوي 𝑠.
إذن في هذه المرحلة، كل ما علينا فعله هو التعويض بالقيم. 𝑠 تساوي 𝑣، وهي السرعة المتجهة النهائية، تربيع، أي ١١ مترًا لكل ثانية الكل تربيع، ناقص 𝑢، وهي السرعة المتجهة الابتدائية، تربيع، أي ثلاثة أمتار لكل ثانية الكل تربيع، مقسومة على اثنين في العجلة التي مقدارها أربعة أمتار لكل ثانية مربعة.
بفك الأقواس في البسط، يصبح لدينا ١٢١ مترًا مربعًا لكل ثانية مربعة ناقص تسعة أمتار مربعة لكل ثانية مربعة. وبذلك يصبح البسط ١١٢ مترًا مربعًا لكل ثانية مربعة. ثم نقسم ذلك على اثنين في أربعة، وهو ما يساوي ثمانية أمتار لكل ثانية مربعة. ثم، نحذف وحدة الثانية المربعة في كل من البسط والمقام. ونحذف أحد المترين في البسط مع المتر الموجود في المقام. فيكون الناتج الإجمالي بوحدة المتر فقط، وهذا جيد لأننا نحسب مسافة وحدة قياسها المتر. ومن ثم، نحصل على الإجابة النهائية للسؤال. طول الخط المستقيم الذي يتحرك فيه الجسم هو ١٤ مترًا.
حسنًا، لنلخص الآن ما تحدثنا عنه في هذا الفيديو. لقد تعلمنا كيفية استخدام المعادلة 𝑣 تربيع يساوي 𝑢 تربيع زائد اثنين 𝑎𝑠 لجسم يتحرك بسرعة متجهة ابتدائية 𝑢 بعجلة ثابتة 𝑎، ويتحرك في خط مستقيم 𝑠، وهو ما ينتج عنه وصول الجسم للسرعة المتجهة النهائية 𝑣.
