نسخة الفيديو النصية
بدأت سيارة الحركة بسرعة ثابتة، فقطعت مسافة 45 مترًا عند الحركة في خط مستقيم بعجلة 1.5 متر لكل ثانية تربيع لمدة 15 ثانية. ما السرعة الابتدائية للسيارة في اتجاه عجلتها؟
في هذه الحالة، لدينا سيارة. لنفترض الآن أن هذا المستطيل الذي نرسمه يمثل السيارة. أخبرنا السؤال أن هذه السيارة تتحرك في البداية بسرعة ثابتة. إذن، لنفترض أنها كانت تتحرك، في البداية، في هذا الاتجاه بسرعة ثابتة، سنسميها 𝑢. ولكن، أخبرنا السؤال بعد ذلك أن السيارة تتحرك بعجلة، أو بعبارة أخرى، تغير سرعتها في خط مستقيم بمقدار 1.5 متر لكل ثانية تربيع. لنفترض أن السيارة بدأت الحركة بعجلة في هذا الاتجاه، وسنسمي هذه العجلة 𝑎. ومقدار هذه العجلة هو 1.5 متر لكل ثانية تربيع.
أخبرنا السؤال أنه أثناء حركة السيارة بالعجلة 𝑎، قطعت مسافة 45 مترًا. بعبارة أخرى، تقطع السيارة المسافة التي يمثلها السهم الأزرق. وسنسمي هذه المسافة 𝑠. نعلم أن 𝑠 يساوي 45 مترًا في خط مستقيم. وبالإضافة إلى ذلك، نعلم أن عجلة السيارة استغرقت زمنًا، سنطلق عليه 𝑡، يساوي 15 ثانية. والمطلوب منا الآن هو إيجاد السرعة الابتدائية للسيارة في اتجاه عجلتها. ولأننا افترضنا أن عجلة السيارة في هذا الاتجاه نحو اليمين، يجب إذن أن نقول إن أي شيء يتحرك في هذا الاتجاه نحو اليمين يتحرك في الاتجاه الموجب. وبناء عليه، فإن أي شيء يتحرك باتجاه اليسار يتحرك في الاتجاه السالب.
والآن تجدر الإشارة، إلى أننا، في هذا الشكل، قد اخترنا رسم العجلة في اتجاه اليمين. واخترنا أيضًا رسم السرعة الابتدائية في اتجاه اليمين. وكان بإمكاننا رسمهما في اتجاه اليسار كذلك، لكن هذا ليس ما يعنينا. إن ما علينا الانتباه إلى هنا هو أنه لا يوجد ما يؤكد لنا أن 𝑢 و𝑎 يشيران في الاتجاه نفسه. بعبارة أخرى، في هذا الشكل، رسمنا كلًّا منهما في اتجاه اليمين. نحن لا نهدف للقول إنه كان بإمكاننا رسم كل منهما في اتجاه اليسار، بل إننا إذا اخترنا أن تكون العجلة في اتجاه اليمين، فربما تكون 𝑢 في اتجاه اليسار.
بعبارة أخرى، قد تكون العجلة في الاتجاه المعاكس للسرعة الابتدائية للسيارة. لكن هذا لا يمثل مشكلة. فإذا تبين في النهاية صحة هذه الفرضية، فإن أي قيمة سنحسبها لـ 𝑢 ستكون سالبة. وهذا سيخبرنا بأن العجلة والسرعة الابتدائية كانتا في اتجاهين متعاكسين.
بعد أن تعرفنا على كل ما سبق، كيف سنحسب السرعة الابتدائية للسيارة؟ لفعل ذلك، علينا أن نتذكر العلاقة التي تربط بين السرعة الابتدائية للسيارة، وعجلة السيارة، والمسافة التي قطعتها السيارة في خط مستقيم، والزمن الذي تحركت فيه السيارة بعجلة. إن العلاقة التي نبحث عنها هي إحدى معادلات الحركة. وتحديدًا، إنها هذه العلاقة التي تنص على أن المسافة التي يقطعها الجسم في خط مستقيم تساوي السرعة الابتدائية للجسم مضروبة في الزمن الذي يتحرك فيه الجسم بعجلة زائد نصف مضروبًا في عجلة الجسم مضروبة في زمن العجلة تربيع. ومن المهم أن نتذكر أن هذه المعادلة لا تصح إلا إذا كانت العجلة ثابتة، وهو ما ينطبق على هذه الحالة هنا. فقد علمنا من معطيات السؤال أن العجلة تساوي 1.5 متر لكل ثانية تربيع. وهذه قيمة ثابتة.
يمكننا ملاحظة أننا نعرف قيم 𝑠 و𝑡 و𝑎. والمجهول الوحيد في هذه المعادلة هو 𝑢. لذا يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لإيجاد 𝑢، الذي يمثل في الواقع السرعة الابتدائية للسيارة. وهذا بالضبط ما نحاول إيجاده. إذن، لفعل ذلك، يمكننا البدء بطرح نصف 𝑎𝑡 تربيع من طرفي المعادلة. عندما نفعل ذلك في الطرف الأيسر، نجد أن لدينا 𝑠 ناقص نصف 𝑎𝑡 تربيع. وفي الطرف الأيمن، يكون لدينا 𝑢𝑡 زائد نصف 𝑎𝑡 تربيع ناقص نصف 𝑎𝑡 تربيع. وبذلك، يحذف هذان الحدان معًا، ويتبقى لدينا 𝑢𝑡 في الطرف الأيمن فقط. ولإيجاد 𝑢، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على الزمن 𝑡. وبهذه الطريقة، يحذف 𝑡 من الطرف الأيمن للمعادلة. والآن، أصبحت المعادلة 𝑠 ناقص نصف 𝑎𝑡 تربيع الكل مقسوم على 𝑡 يساوي 𝑢.
كل ما تبقى لنا الآن هو التعويض بالقيم. يمكننا القول إن 𝑢 يساوي 𝑠، الذي يساوي 45 مترًا، ناقص نصف 𝑎، وهو ما يساوي 1.5 متر لكل ثانية تربيع مضروبًا في 𝑡 تربيع؛ أي 15 ثانية الكل تربيع. ونقسم هذا كله على 15 ثانية؛ وهو قيمة الزمن 𝑡. وبذلك نكون قد عوضنا عن جميع القيم. لنلق نظرة سريعة على الوحدات.
يمكننا ملاحظة، في بسط الكسر هنا، أن الوحدات أصبحت فوضوية للغاية. لدينا هنا وحدة المتر. لكن في هذه المجموعة من الأقواس المضروبة معًا، لدينا متر لكل ثانية تربيع وثانية تربيع. إذا فكرنا في هذا الحد الأخير هنا، يمكننا ملاحظة أن الوحدتين ستكونان مترًا لكل ثانية تربيع من هذا الحد مضروبًا في ثانية تربيع؛ لأننا، كما نتذكر، لدينا هنا وحدة الثانية في هذين القوسين. ولا ننسى أن علينا تربيع هذه الوحدة. ومن ثم، فإن مترًا لكل ثانية تربيع مضروبًا في ثانية تربيع يعني أن وحدتي الثانية تربيع تحذفان. لتكون الوحدة النهائية هنا هي المتر فقط. وهكذا، يصبح لدينا 45 مترًا في البسط، ناقص، أيًّا كانت هذه القيمة، فهي بالمتر أيضًا. ولذا، فإن الوحدة في البسط ستكون المتر.
وبذلك، يمكننا القول إن لدينا وحدة المتر هنا في البسط. ونقسم البسط على وحدة الثانية، وذلك لأن لدينا في المقام، كما نتذكر، 15 ثانية، وهو الزمن الذي تحركت فيه السيارة بعجلة. وهذا يعني أن الوحدة النهائية للكسر هي المتر لكل ثانية، وهذا جيد؛ لأننا نحسب في الطرف الأيسر للمعادلة قيمة السرعة الابتدائية للسيارة، والتي تقاس بالمتر لكل ثانية. وهكذا، بعد أن تحققنا من الوحدات كلها، لم يتبق لنا سوى حساب القيمة العددية. فلنبدأ بالبسط.
لدينا 45 مترًا ناقص نصف مضروبًا في 1.5 مضروبًا في 15 تربيع، فلا تنس أن علينا تربيع العدد 15 أيضًا. وبذلك، نحصل في البسط على سالب 123.75 مترًا. من المثير للاهتمام الآن أن لدينا قيمة سالبة. سنعود إلى هذا بعد قليل. لكن دعونا الآن ننته من إيجاد قيمة هذا الكسر. لدينا سالب 123.75 مترًا مقسومًا على 15 ثانية، وهو ما يساوي سالب 8.25 أمتار لكل ثانية. بعبارة أخرى، لقد أوجدنا السرعة الابتدائية التي تتحرك بها السيارة، وهي تساوي سالب 8.25 أمتار لكل ثانية.
ما معنى أن تكون هذه القيمة سالبة؟ كما ذكرنا من قبل، لقد افترضنا عند رسم الشكل أن السرعة الابتدائية والعجلة يشير كل منهما في الاتجاه نفسه. وقد أجرينا جميع العمليات الحسابية باعتبار أن هذه الفرضية صحيحة. ولكن، كما يتضح، حصلنا على قيمة سالبة للسرعة الابتدائية. وذلك بسبب افتراضنا المسبق أن العجلة تشير في الاتجاه الموجب؛ لأن هذا هو ما طلبه السؤال منا. فقد طلب منا إيجاد السرعة الابتدائية للسيارة في اتجاه عجلتها. هذا يعني أن العمليات الحسابية تخبرنا أن السرعة الابتدائية للسيارة كانت في الاتجاه المعاكس لعجلتها.
بعبارة أخرى، إذا قلنا إن عجلة السيارة، التي مقدارها 1.5 متر لكل ثانية تربيع، كانت في اتجاه اليمين، فهذا يعني أن السرعة الابتدائية للسيارة كانت في اتجاه اليسار. فقد كانت السيارة تتحرك في البداية نحو اليسار. ثم تسببت عجلة السيارة التي مقدارها 1.5 متر لكل ثانية تربيع في اتجاه اليمين، والتي استمرت لمدة 15 ثانية في حدوث إزاحة مقدارها 45 مترًا.
لكن على أي حال، يمكن القول إن إجابة السؤال هي أن السرعة الابتدائية للسيارة في اتجاه عجلتها تساوي سالب 8.25 أمتار لكل ثانية.