فيديو: مجاميع ريمان ورمز التجميع سيجما

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم رمز التجميع سيجما مع مجاميع ريمان لإيجاد المساحة أسفل المنحنى.

١٤:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نقدر المساحة بين منحنى والمحور ‪𝑥‬‏ من خلال تقسيم المنطقة إلى مستطيلات. يسمى ذلك بالقيمة التقريبية لمجموع ريمان. وسنستكشف كيف يمكن تبسيط هذه العمليات الحسابية على نحو كبير باستخدام رمز التجميع سيجما، ونتناول كيف قد تنشأ صيغ تجميع أكثر تعقيدًا.

لنفترض أننا نريد إيجاد المساحة بين المنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تكعيب، والمحور ‪𝑥‬‏، والخطين الرأسيين ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا و‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة. توجد عدة طرق يمكننا اتباعها لإيجاد القيمة الدقيقة للمساحة. لكنها خارج نطاق موضوع هذا الفيديو. لذا سنتناول، بدلًا من ذلك، كيف يمكننا تقريب المساحة بين المنحنى والمحور ‪𝑥‬‏. لفعل ذلك، لدينا عدة خيارات. سنستخدم ما يسمى بمجاميع ريمان أو القيم التقريبية لمجموع ريمان. في هذه الحالة، نقسم المساحة أسفل المنحنى إلى مستطيلات ونوجد مساحة كل منها. ثمة ثلاث طرق لفعل ذلك. فيمكننا إيجاد ارتفاع المستطيلات باستخدام قيمة الدالة عند نقطة النهاية اليسرى لكل مستطيل، أو عند نقطة النهاية اليمنى لكل مستطيل، أو عند نقطة المنتصف لكل مستطيل.

لنتخيل أننا نريد تقسيم المساحة إلى أربع فترات جزئية؛ أي أربعة مستطيلات متساوية الحجم. يشار إلى عدد الفترات الجزئية أو المستطيلات بالحرف ‪𝑛‬‏. نجعل ‪𝑛‬‏ إذن يساوي أربعة. لإيجاد عرض كل مستطيل، نوجد الفرق بين حدود المنطقة. نقسمها إلى ‪𝑛‬‏ من الأجزاء حيث يمثل ‪𝑛‬‏ عدد الفترات الجزئية. هذا يساوي ثلاثة ناقص واحد مقسومًا على أربعة، وهو ما يساوي ‪0.5‬‏. وكل فترة جزئية، التي نسميها ‪𝛥𝑥‬‏، يجب أن يكون عرضها ‪0.5‬‏ وحدة. للتعبير عن ذلك في صورة صيغة أساسية، نقول إن عرض كل مستطيل ‪𝛥𝑥‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ مقسومًا على ‪𝑛‬‏، حيث ‪𝑏‬‏ و‪𝑎‬‏ نقطتا نهاية الفترة.

سنبدأ باستخدام نقطة النهاية اليمنى لكل فترة جزئية لمعرفة القيمة التقديرية. بعبارة أخرى، سنوجد ارتفاع المستطيل عن طريق معرفة قيمة الدالة عند نقطة النهاية اليمنى للفترات الجزئية. عرفنا أن عرض كل مستطيل يساوي ‪0.5‬‏ وحدة. إذن نضيف ‪0.5‬‏ إلى واحد. نجد أن ارتفاع هذا المستطيل يساوي قيمة الدالة عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪1.5‬‏. دعونا نسم ذلك بـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ واحد. وهو يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪1.5‬‏. الدالة تساوي ‪𝑥‬‏ تكعيب. إذن، ‪𝑓‬‏ لـ ‪1.5‬‏ تساوي ‪1.5‬‏ تكعيب، وهو ما يساوي ‪3.375‬‏. هذا هو ارتفاع المستطيل. نوجد مساحة المستطيل بضرب طول قاعدته في ارتفاعه. هذا يساوي ‪𝛥𝑥‬‏ في قيمة الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ واحد. وهو ما يساوي ‪0.5‬‏ مضروبًا في ‪3.375‬‏، أي ‪1.6875‬‏ وحدة مربعة.

دعونا نكرر هذه العملية مع الفترة الجزئية التالية. نضيف ‪0.5‬‏ هنا أيضًا إلى‪1.5‬‏. يشير ذلك إلى أن ارتفاع المستطيل الثاني هو قيمة الدالة عند ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين. هذه المرة، نقول إن الارتفاع يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ اثنين، وهو ما يساوي اثنين تكعيب. اثنان تكعيب يساوي ثمانية. إذن، ارتفاع هذا المستطيل يساوي ثماني وحدات. هذه المرة، مساحة المستطيل تساوي ‪𝛥𝑥‬‏ في هذه القيمة للدالة. هذا يساوي ‪0.5‬‏ في ثمانية، وهو ما يساوي أربع وحدات مربعة. بتكرار هذه العملية مرة أخرى، نجد أنه علينا إيجاد قيمة الدالة عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪2.5‬‏. هذا يساوي ‪2.5‬‏ تكعيب. إذن، ارتفاع هذا المستطيل الثالث يساوي ‪15.625‬‏ وحدة. ومساحته تساوي ‪𝛥𝑥‬‏ في هذه القيمة للدالة. هذا يساوي ‪0.5‬‏ مضروبًا في ‪15.625‬‏، ما يعطينا ‪7.8125‬‏ وحدات مربعة.

بإضافة ‪0.5‬‏ مرة أخرى، نحصل على القيمة الرابعة لـ ‪𝑥‬‏، وهي ثلاثة. هذه قيمة ‪𝑛‬‏ لهذه الفترة والمستطيل الرابع كما هو مطلوب. هذه المرة، ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أربعة أو ‪𝑓‬‏ لثلاثة تساوي ثلاثة تكعيب، وهو ما يساوي ‪27‬‏. نوجد مساحة المستطيل بضرب طول قاعدته في ارتفاعه. هذا يساوي ‪𝛥𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أربعة أو ‪0.5‬‏ في ‪27‬‏، وهو ما يساوي ‪13.5‬‏. المساحة الكلية لهذه المستطيلات، ومن ثم القيمة التقديرية للمساحة بين المنحنى والمحور ‪𝑥‬‏ المحددة بالخطين ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا و‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة، تساوي مجموع هذه القيم الأربع. وهذا يعطينا مساحة مقدارها ‪27‬‏ وحدة مربعة. مساحة جميع المستطيلات أكبر قليلًا من المساحة المطلوبة. إذن، نحن نتوقع قيمة تقديرية أعلى. ويمكننا بالطبع جعل القيم التقريبية أدق عن طريق تقسيم المستطيلات إلى فترات جزئية أصغر.

من المهم أن نتذكر أيضًا أنه إذا كانت للدالة قيم موجبة وسالبة كما هو موضح هنا، فإن مجموع ريمان سيساوي مجموع مساحات المستطيلات الواقعة فوق المحور ‪𝑥‬‏ وسالب قيم مساحات المستطيلات الواقعة أسفله. لكن بإيجاد قيم الدالة عند هذه النقاط، نحصل على قيم سالبة، وبالتالي تكون للمساحة قيم سالبة. لا بأس بذلك. لكن هل من طريقة لصياغة ذلك؟ نعم، ثمة طريقة لذلك. لنلق نظرة على ما فعلناه للتو.

لقد ضربنا في كل مرة قيمة ‪𝛥𝑥‬‏ في قيمة الدالة عند نقطة نهاية العينة. استخدمنا هنا نقطة النهاية اليمنى، لكن كان بإمكاننا اختيار نقطة النهاية اليسرى. سنتناول بعد قليل كيف يغير ذلك الصيغة التي نستخدمها. يمكننا كتابة تعبير عام للقيمة التقريبية للمساحة الكلية بين المنحنى والمحور ‪𝑥‬‏ على الصورة ‪𝛥𝑥‬‏ في ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ واحد زائد ‪𝛥𝑥‬‏ في ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ اثنين وهكذا حتى ‪𝛥𝑥‬‏ في ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥𝑛‬‏. لاحظنا هنا أن ‪𝛥𝑥‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ على ‪𝑛‬‏. يمكننا أيضًا القول إن ‪𝑥‬‏ واحد يساوي ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝛥𝑥‬‏، و‪𝑥‬‏ اثنين يساوي ‪𝑎‬‏ زائد اثنين في ‪𝛥𝑥‬‏، وهكذا حتى ‪𝑥𝑛‬‏، وهو ما يساوي ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑛‬‏ في ‪𝛥𝑥‬‏.

لكن ذلك ما يزال معقدًا بعض الشيء. لذلك، سنتعرف على رمز جديد. هذا الرمز هو سيجما، ويعني «المجموع». يساعدنا هذا الرمز على تبسيط الأمور قليلًا. فنقول إن القيمة التقديرية للمساحة تساوي مجموع قيم ‪𝛥𝑥‬‏ كلها مضروبة في قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥𝑖‬‏ كلها. لاحظنا أن ‪𝑖‬‏ يجب أن يبدأ عند واحد وينتهي عند ‪𝑛‬‏. نصوغ ذلك على نحو أدق بقولنا إن ‪𝑥𝑖‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑖‬‏ في ‪𝛥𝑥‬‏. هذه إذن القيمة التقديرية للمساحة عندما نستخدم مجموع ريمان الأيمن. لكن ماذا لو استخدمنا مجموع ريمان الأيسر؟ عندما نكتب مجموع ريمان الأيمن، نأخذ قيم ‪𝑖‬‏ من واحد إلى ‪𝑛‬‏، وعندما نكتب مجموع ريمان الأيسر، نأخذ قيم ‪𝑖‬‏ من صفر إلى ‪𝑛‬‏ ناقص واحد. يعطينا ذلك، بشكل أساسي، قيمة الدالة عند نقطة النهاية اليسرى لكل مستطيل. سنتناول الآن تطبيقًا بسيطًا لهذه الصيغ قبل أن نفكر كيف يمكن أن تساعدنا في تقدير المساحة أسفل المنحنى.

مثل المساحة أسفل منحنى الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين على الفترة المغلقة من ثلاثة إلى خمسة برمز التجميع مستخدمًا مجموع ريمان الأيمن بعدد ‪𝑛‬‏ من الفترات الجزئية.

تذكر أنه عندما نكتب مجموع ريمان الأيمن، نأخذ قيم ‪𝑖‬‏ من واحد إلى ‪𝑛‬‏. المساحة التقريبية تساوي مجموع ‪𝛥𝑥‬‏ في ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥𝑖‬‏ لقيم ‪𝑖‬‏ بين واحد و‪𝑛‬‏. و‪𝛥𝑥‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ مقسومًا على ‪𝑛‬‏، حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ هما نقطتا النهاية السفلى والعليا للفترة، على الترتيب. و‪𝑛‬‏ هو عدد الفترات الجزئية. ‏‏‪𝑥𝑖‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑖‬‏ في ‪𝛥𝑥‬‏. نبدأ دائمًا بإيجاد قيمة ‪𝛥𝑥‬‏. نعرف أن الفترة المغلقة تبدأ من ثلاثة إلى خمسة. نجعل إذن ‪𝑎‬‏ يساوي ثلاثة، و‪𝑏‬‏ يساوي خمسة. وبالتالي، ‪𝛥𝑥‬‏ يساوي خمسة ناقص ثلاثة على ‪𝑛‬‏، وهو ما يساوي اثنين على ‪𝑛‬‏.

أصبحنا الآن مستعدين لإيجاد قيمة ‪𝑥𝑖‬‏. وهي تساوي ‪𝑎‬‏، الذي نعلم أنه يساوي ثلاثة، زائد ‪𝛥𝑥‬‏، الذي يساوي اثنين على ‪𝑛‬‏، في ‪𝑖‬‏. لنكتب ذلك على الصورة ثلاثة زائد اثنين ‪𝑖‬‏ على ‪𝑛‬‏. يتضح لنا الآن أنه لإيجاد المجموع، علينا معرفة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥𝑖‬‏. يجب أن تكون ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥𝑖‬‏ بالصورة ‪𝑓‬‏ لثلاثة زائد اثنين ‪𝑖‬‏ على ‪𝑛‬‏. لنعوض بثلاثة زائد اثنين ‪𝑖‬‏ على ‪𝑛‬‏ في الصيغة. يعطينا ذلك واحدًا على ثلاثة زائد اثنين ‪𝑖‬‏ على ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين، وعند فك الأقواس يصبح لدينا واحد زائد اثنين ‪𝑖‬‏ على ‪𝑛‬‏. لكن ما يزال الأمر صعبًا بعض الشيء. لذا، ما سنفعله هو تبسيط المقام.

سنكتبه بالصورة واحد على واحد زائد اثنين ‪𝑖‬‏ على ‪𝑛‬‏. بعد ذلك، سنضرب بسط الكسر واحد على واحد ومقامه في ‪𝑛‬‏. فيصبح لدينا المقام المشترك ‪𝑛‬‏، وهذا يعني أنه يمكننا جمع البسطين. نحصل على ‪𝑛‬‏ زائد اثنين ‪𝑖‬‏ على ‪𝑛‬‏. نحاول هنا إيجاد قيمة واحد مقسومًا على ‪𝑛‬‏ زائد اثنين ‪𝑖‬‏ على ‪𝑛‬‏. وثمة طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي النظر إلى مقلوب الكسر. مقلوب الكسر ‪𝑛‬‏ زائد اثنين ‪𝑖‬‏ على ‪𝑛‬‏ هو ‪𝑛‬‏ على ‪𝑛‬‏ زائد اثنين ‪𝑖‬‏. أصبح لدينا الآن كل ما نحتاج إليه لكتابة مجموع ريمان الأيمن. نريد مجموع ريمان الأيمن؛ لذلك نبدأ عند ‪𝑖‬‏ يساوي واحدًا وننتهي عند ‪𝑛‬‏. ‏‏‪‏ 𝛥𝑥‬‏ يساوي اثنين على ‪𝑛‬‏. نضرب ذلك في ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥𝑖‬‏ التي أوجدنا قيمتها للتو وهي ‪𝑛‬‏ على ‪𝑛‬‏ زائد اثنين ‪𝑖‬‏. نلاحظ بعد ذلك أن قيمتي ‪𝑛‬‏ هاتين تلغي إحداهما الأخرى. وبذلك أصبح لدينا مجموع ريمان الأيمن باستخدام رمز التجميع سيجما. وهو يساوي مجموع اثنين على ‪𝑛‬‏ زائد اثنين ‪𝑖‬‏ لقيم ‪𝑖‬‏ بين واحد و‪𝑛‬‏.

في المثال التالي، سنستخدم رمز التجميع سيجما لمساعدتنا على إيجاد المساحة.

احسب مجموع ريمان الأيسر للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي واحدًا على ‪𝑥‬‏ تربيع زائد اثنين على الفترة المغلقة من سالب ثلاثة إلى ثلاثة، إذا كان يوجد ست فترات جزئية متساوية العرض. قرب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

تذكر أنه عند كتابة مجموع ريمان الأيسر، نأخذ قيم ‪𝑖‬‏ من صفر إلى ‪𝑛‬‏ ناقص واحد. هذا يعطينا قيمة ‪𝑓‬‏ عند نقطة النهاية اليسرى لكل مستطيل. الصيغة هي مجموع ‪𝛥𝑥‬‏ في ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥𝑖‬‏ لقيم ‪𝑖‬‏ من صفر إلى ‪𝑛‬‏ ناقص واحد، حيث ‪𝛥𝑥‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ على ‪𝑛‬‏. تذكر أن ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ هما الحدان السفلي والعلوي للفترة، على الترتيب، و ‪𝑛‬‏ هو عدد الفترات الجزئية. إذن ‪𝑥𝑖‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑖‬‏ في ‪𝛥𝑥‬‏. من المنطقي أن نبدأ أولًا بحساب قيمة ‪𝛥𝑥‬‏. يمكننا ملاحظة أن الفترة المغلقة تبدأ من سالب ثلاثة إلى ثلاثة. ومن ثم، نجعل ‪𝑎‬‏ يساوي سالب ثلاثة، و‪𝑏‬‏ يساوي ثلاثة.

ما يهمنا هنا هو ست فترات جزئية. لذا، نجعل ‪𝑛‬‏ يساوي ستة. ‏‏‪𝛥𝑥‬‏ يساوي ثلاثة ناقص سالب ثلاثة على ستة، وهو ما يساوي واحدًا. بعد ذلك، نحسب قيمة ‪𝑥𝑖‬‏. وهي ‪𝑎‬‏، الذي نعلم أنه يساوي سالب ثلاثة، زائد ‪𝛥𝑥‬‏، الذي يساوي واحدًا، في ‪𝑖‬‏. وهذا يساوي سالب ثلاثة زائد ‪𝑖‬‏. لكننا نريد إيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥𝑖‬‏. يجب أن تكون ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥𝑖‬‏ على الصورة ‪𝑓‬‏ لسالب ثلاثة زائد ‪𝑖‬‏. لنعوض إذن بـ ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثلاثة زائد ‪𝑖‬‏ في الدالة. يعطينا ذلك واحدًا على سالب ثلاثة زائد ‪𝑖‬‏ تربيع زائد اثنين. وعند فك الأقواس، يصبح لدينا في المقام ‪𝑖‬‏ تربيع ناقص ستة ‪𝑖‬‏ زائد ‪11‬‏.

أصبحنا الآن مستعدين لإجراء بعض عمليات التعويض. نريد إيجاد المجموع، ونأخذ قيم ‪𝑖‬‏ من صفر إلى ‪𝑛‬‏ ناقص واحد. ‏‏‪𝑛‬‏ يساوي ستة. إذن، ‪𝑛‬‏ ناقص واحد يساوي خمسة. ‏‏‪𝛥𝑥‬‏ يساوي واحدًا، و‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥𝑖‬‏ تساوي واحدًا على ‪𝑖‬‏ تربيع ناقص ستة ‪𝑖‬‏ زائد ‪11‬‏. لكن ليس علينا، بالطبع، كتابة «مضروبًا في واحد». علينا إيجاد قيمة هذا المجموع. لفعل ذلك، نعوض بقيم ‪𝑖‬‏ من صفر حتى خمسة في هذه الدالة ثم نوجد مجموع هذه القيم.

عندما تكون قيمة ‪𝑖‬‏ هي صفر، يساوي هذا واحدًا على صفر تربيع ناقص صفر زائد ‪11‬‏. وعندما تكون قيمة ‪𝑖‬‏ واحدًا، يساوي هذا واحدًا على واحد تربيع ناقص ستة زائد ‪11‬‏. وعندما تكون قيمة ‪𝑖‬‏ هي اثنين، فهذا يساوي واحدًا على اثنين تربيع ناقص ‪12‬‏ زائد ‪11‬‏. نكرر هذه العملية لقيم ‪𝑖‬‏ يساوي ثلاثة، و‪𝑖‬‏ يساوي أربعة، و‪𝑖‬‏ يساوي خمسة. آخر خطوة نقوم بها هي إيجاد قيمة المجموع. هذا يعطينا ‪1.5909‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام، أي ‪1.59‬‏ لأقرب منزلتين عشريتين. بذلك نكون قد حسبنا مجموع ريمان الأيسر للدالة على تلك الفترة المغلقة باستخدام ست فترات جزئية.

في المثال الأخير، سنلقي نظرة على كيفية التعامل مع عمليات التجميع الأكثر تعقيدًا نوعًا ما.

مثل المساحة أسفل منحنى الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص واحد على الفترة المغلقة من صفر إلى ثلاثة برمز التجميع مستخدمًا مجموع ريمان الأيمن بعدد ‪𝑛‬‏ من الفترات الجزئية.

تذكر أنه عند إيجاد مجموع ريمان الأيمن، نوجد مجموع ‪𝛥𝑥‬‏ في ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥𝑖‬‏ لقيم ‪𝑖‬‏ من واحد إلى ‪𝑛‬‏.‪‏‬‏ ‏‏‪𝛥𝑥‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ على ‪𝑛‬‏، حيث ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ هما الحدان السفلي والعلوي للفترة على الترتيب، و‪𝑛‬‏ هو عدد الفترات الجزئية. ‏‏‪𝑥𝑖‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑖‬‏ في ‪𝛥𝑥‬‏. نبدأ دائمًا بإيجاد قيمة ‪𝛥𝑥‬‏. في هذه المسألة، ‪𝑎‬‏ يساوي صفرًا، و‪𝑏‬‏ يساوي ثلاثة، وتبقى قيمة ‪𝑛‬‏ كما هي. يعني هذا أن ‪𝛥𝑥‬‏ يساوي ثلاثة ناقص صفر على ‪𝑛‬‏ أو ثلاثة على ‪𝑛‬‏ فقط. بعد ذلك، نوجد قيمة ‪𝑥𝑖‬‏. وهي ‪𝑎‬‏، الذي نعلم أنه يساوي صفرًا، زائد ‪𝛥𝑥‬‏، الذي يساوي ثلاثة على ‪𝑛‬‏، في ‪𝑖‬‏. نكتب هذا بالصورة ثلاثة ‪𝑖‬‏ على ‪𝑛‬‏.

نريد معرفة قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥𝑖‬‏. إذن لإيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥𝑖‬‏، علينا إيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ لثلاثة ‪𝑖‬‏ على ‪𝑛‬‏. لنعوض بثلاثة ‪𝑖‬‏ على ‪𝑛‬‏ في الصيغة. يصبح لدينا بذلك ثلاثة ‪𝑖‬‏ على ‪𝑛‬‏ الكل تربيع ناقص واحد، وهو ما يساوي تسعة ‪𝑖‬‏ تربيع على ‪𝑛‬‏ تربيع ناقص واحد. أصبحنا الآن مستعدين لاستخدام صيغة التجميع. نريد إيجاد المجموع لقيم ‪𝑖‬‏ من واحد إلى ‪𝑛‬‏. هذا يساوي ‪𝛥𝑥‬‏، الذي يساوي ثلاثة على ‪𝑛‬‏، مضروبًا في تسعة ‪𝑖‬‏ تربيع على ‪𝑛‬‏ تربيع ناقص واحد. نوزع الأقواس، ونحاول إيجاد مقام مشترك. يمكننا فعل ذلك بضرب كل من بسط الكسر الثاني ومقامه في ‪𝑛‬‏ تربيع. هذا يعطينا ثلاثة ‪𝑛‬‏ تربيع على ‪𝑛‬‏ تكعيب، وبذلك لا يتبقى لنا سوى تجميع البسطين. يصبح لدينا ‪27𝑖‬‏ تربيع ناقص ثلاثة ‪𝑛‬‏ تربيع على ‪𝑛‬‏ تكعيب.

يمكننا تبسيط هذا قليلًا. يشترك البسطان في عامل من عوامل العددين ‪27‬‏ وثلاثة. ولهما مقام مشترك، وهو ‪𝑛‬‏ تكعيب. لا يعتمد كل من ثلاثة و‪𝑛‬‏ تكعيب على ‪𝑖‬‏. هذا يعني أنه يمكننا أخذ ثلاثة على ‪𝑛‬‏ تكعيب خارج رمز التجميع سيجما، وبذلك نكون قد انتهينا من خطوات الحل. ومثلنا المساحة أسفل منحنى الدالة رمز التجميع سيجما باستخدام مجموع ريمان الأيمن. وهي تساوي ثلاثة على ‪𝑛‬‏ تكعيب في مجموع تسعة ‪𝑖‬‏ تربيع ناقص ‪𝑛‬‏ تربيع لقيم ‪𝑖‬‏ من واحد إلى ‪𝑛‬‏.

في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا تقدير المساحة بين المنحنى والمحور ‪𝑥‬‏ من خلال تقسيم المنطقة إلى مستطيلات. عرفنا كذلك أنه يمكننا استخدام رمز سيجما الذي يعني المجموع، ويمنحنا صيغتي مجموع ريمان الأيمن ومجموع ريمان الأيسر. تذكر أنه عندما نتعامل مع مجموع ريمان الأيمن، نأخذ قيم ‪𝑖‬‏ من واحد إلى ‪𝑛‬‏. وعندما نتعامل مع مجموع ريمان الأيسر، نأخذ قيم ‪𝑖‬‏ من صفر إلى ‪𝑛‬‏ ناقص واحد.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.