نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب حجم مجسم ناشئ عن دوران منطقة إما بين منحنى ومحور وإما بين منحنيين حول محور بمقدار ٣٦٠ درجة. وسنتعلم كيف نوجد هذه الحجوم باستخدام طريقتين في التفاضل والتكامل تسميان طريقتي التكامل بالأقراص والفلكة. ولذلك، يجب أن تكون على دراية تامة بكيفية استخدام الأساليب المتعددة لتكامل الدوال كثيرات الحدود قبل مشاهدة هذا الفيديو.
افترض أن لدينا منحنى معادلته هي ﺹ يساوي ﺩ(ﺱ). لتتخيل الآن أننا سندور جزءًا من المنحنى بين الخطين المستقيمين الرأسيين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ حول المحور ﺱ بمقدار ٣٦٠ درجة. سيكون المنحنى سطحًا لمجسم عند تدويره. وفي هذه الحالة، قد يشبه هذا السطح السطح المنحني لمزهرية مثلًا. يسمى المجسم الناشئ مجسمًا دورانيًا، لأسباب واضحة تمامًا. وإذا أعطتنا الدالة ﺹ يساوي ﺩ(ﺱ) خطًا مستقيمًا أفقيًا، فسيكون المجسم أسطوانة. وإذا أعطتنا الدالة نصف دائرة، فسيكون المجسم كرة.
نعرف بالطبع كيف نوجد حجوم الأشكال الثلاثية الأبعاد. لكن كيف نحسب حجم أي مجسم دوراني؟ يمكننا تقدير الحجم بتقسيم المنطقة إلى أسطوانات أو أقراص. وهذا أشبه بصورة ثلاثية الأبعاد لإيجاد مجموع ريمان الأيمن. يمكننا، على سبيل المثال، تقسيم المنطقة إلى أربع فترات جزئية ثم إيجاد حجم كل أسطوانة تتكون نتيجة لذلك. والصيغة التي سنستخدمها هنا هي بالطبع صيغة إيجاد حجم الأسطوانة. وهي تنص على أن حجم الأسطوانة يساوي مساحة مقطعها العرضي مضروبة في طول ارتفاعها العمودي.
سنجعل الدالة ﻡ(ﺱ) هي مساحة المقطع العرضي لكل أسطوانة، وسنجعل عرض كل فترة جزئية، ومن ثم طول كل أسطوانة، 𝛥ﺱ. هذا يعني أن الحجم الإجمالي التقديري الناشئ عن المجسم الدوراني يساوي مجموع أحجام هذه الأقراص. وهو مجموع ﻡﺱﺭ في 𝛥ﺱ لقيم ﺭ بين واحد وأربعة. بتعميم ذلك، يمكن أن نقول إنه عند تقسيم مجسم إلى ﻥ من الأقراص، سيساوي حجمه تقريبًا مجموع ﻡﺱﺭ ستار في 𝛥ﺱ لقيم ﺭ بين واحد وﻥ، حيث ﺱﺭ ستار نقطة عينة في الفترة الجزئية من ﺱﺭ ناقص واحد إلى ﺱﺭ.
وهذا ليس إلا تقديرًا بالطبع. لكنه يشير إلى أنه كلما زاد عدد الفترات الجزئية، تصبح الأسطوانات أقصر فأقصر، ويصبح تقدير الحجم أقرب فأقرب إلى الحجم الفعلي للمجسم الدوراني. وعند اقتراب الفترات الجزئية من ما لا نهاية، يقترب المجموع من الحجم الفعلي للمجسم الدوراني. يمكننا إذن تعريف الحجم بأنه نهاية المجاميع عند اقتراب ﻥ من ∞. وبمعرفة أن نهاية مجموع ريمان تكامل محدد، نحصل على التعريف التالي.
لننظر إلى المجسم المحدد بالخطين المستقيمين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ. إذا كانت مساحة المقطع العرضي لهذا المجسم للمستوى المار بـ ﺱ والعمودي على المحور ﺱ تساوي ﻡ(ﺱ)، حيث ﻡ دالة متصلة، فإن الحجم سيساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من ∞ للمجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻡﺱﺭ ستار في 𝛥ﺱ. وسيساوي هذا أيضًا التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﻡ(ﺱ) بالنسبة لـ ﺱ. سنلقي نظرة الآن على تطبيق هذه الصيغة.
افترض أن هناك منطقة محددة بالمنحنيات ﺹ يساوي ﺱ زائد أربعة، وﺹ يساوي صفرًا، وﺱ يساوي صفرًا، وﺱ يساوي ثلاثة. أوجد حجم المجسم الناشئ عن دوران هذه المنطقة حول المحور ﺱ.
تذكر أنه لإيجاد حجم مجسم دوراني لمنطقة تدور حول المحور ﺱ، نستخدم التعريف التالي. بالنسبة للمجسم الذي يقع بين الخطين المستقيمين الرأسيين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ، ومساحة مقطعه العرضي للمستوى المار بـ ﺱ والعمودي على المحور ﺱ تساوي ﻡ(ﺱ) للدالة المتصلة ﻡ، يحدد حجم هذا المجسم من خلال التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﻡ(ﺱ) بالنسبة لـ ﺱ.
سنبدأ إذن بتحديد العناصر المتعددة المذكورة في رأس المسألة. المجسم محدد بالخطين المستقيمين الرأسيين ﺱ يساوي صفرًا وﺱ يساوي ثلاثة، لذا سنجعل ﺃ يساوي صفرًا وﺏ يساوي ثلاثة. المنطقة محددة أيضًا بالمنحنيين ﺹ يساوي ﺱ زائد أربعة وﺹ يساوي صفرًا. ومن ثم، ستبدو المنطقة بهذا الشكل تقريبًا. بدوران هذه المنطقة حول المحور ﺱ، نحصل على شكل ثلاثي الأبعاد كالموضح هنا. وسيكون شكل المقطع العرضي للمجسم دائريًا. ومساحة كل دائرة ستساوي 𝜋 في نصف القطر تربيع.
وسيكون نصف قطر كل دائرة هو قيمة الدالة عند هذه النقطة. ومن ثم، فإن دالة مساحتها، أي ﻡ(ﺱ)، ستساوي 𝜋 في ﺱ زائد أربعة الكل تربيع. وبالتالي، فإن الحجم سيساوي التكامل المحدد بين صفر وثلاثة لـ 𝜋 في ﺱ زائد أربعة الكل تربيع بالنسبة لـ ﺱ. وبما أن 𝜋 ثابت، يمكننا إخراجه من التكامل وإعادة كتابة الحجم على الصورة 𝜋 في التكامل المحدد بين صفر وثلاثة لـ ﺱ زائد أربعة الكل تربيع ﺩ ﺱ. والآن لدينا اختياران. فيمكننا استخدام التكامل بالتعويض أو توزيع الأقواس لإيجاد قيمة التكامل المحدد. دعونا نستخدم هنا التكامل بالتعويض.
نجعل ﻉ يساوي ﺱ زائد أربعة. هذه هي الدالة الداخلية للدالة المركبة. باشتقاق ﻉ بالنسبة لـ ﺱ، نحصل على واحد. نعرف أن ﺩ ﻉ على ﺩ ﺱ ليس كسرًا، لكننا سنتعامل معه على أنه كذلك. وهذا يعني أنه يمكن كتابته بدلًا من ذلك على صورة ﺩ ﻉ يساوي ﺩ ﺱ. ونعوض بعد ذلك عن ﺱ زائد أربعة بـ ﻉ، وعن ﺩ ﺱ بـ ﺩ ﻉ. لكن علينا فعل شيء ما حيال هذين الحدين. سنستخدم التعويض؛ حيث ﻉ يساوي ﺱ زائد أربعة. والحد السفلي يكون عند ﺱ يساوي صفرًا. إذن، ﻉ يساوي صفرًا زائد أربعة، وهو ما يساوي أربعة. والحد العلوي يكون عند ﺱ يساوي ثلاثة. إذن، ﻉ يساوي ثلاثة زائد أربعة، وهو ما يساوي سبعة.
أصبحنا الآن مستعدين لإيجاد الحجم، 𝜋 في التكامل المحدد بين أربعة وسبعة لـ ﻉ تربيع بالنسبة لـ ﻉ. نعرف أنه يمكننا حساب تكامل حد من كثيرة حدود أسه لا يساوي سالب واحد بإضافة واحد إلى الأس ثم القسمة على ذلك الأس الجديد. بذلك يصبح لدينا 𝜋 في ﻉ تكعيب على ثلاثة بين أربعة وسبعة. وهو ما يساوي 𝜋 في سبعة تكعيب على ثلاثة ناقص أربعة تكعيب على ثلاثة، أي 𝜋 في ٢٧٩ على ثلاثة. ٢٧٩ مقسومًا على ثلاثة يساوي ٩٣. وبهذا نكون قد وجدنا أن الحجم عند دوران المنطقة حول المحور ﺱ يساوي ٩٣𝜋 وحدة مكعبة.
لاحظ كيف نستخدم صيغة مساحة الدائرة هنا لتساعدنا على إيجاد الحجم. فذكرنا أن نصف قطر كل دائرة يساوي قيمة الدالة عند تلك النقطة. ولذلك، أحيانًا نكتب صيغة حجم المجسم الدوراني الناشئ عن دوران مساحة ما حول المحور ﺱ على صورة التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ 𝜋 في ﺹ تربيع ﺩ ﺱ. يمكن التبديل بين هذين التعريفين، لكن التعريف الأخير أسهل في الاستخدام. من المثير للاهتمام أيضًا أنه يمكننا استخدام صورة معدلة بعض الشيء من هذه الصيغة لمساعدتنا في حساب مساحة المجسم الدوراني الناشئ عن دوران منحنى حول المحور ﺹ.
هذه المرة، سنبدل دوري ﺱ وﺹ. فنجعل المعادلة ﺱ يساوي ﺩ(ﺹ) بدلًا من ﺹ يساوي ﺩ(ﺱ). وبالمثل، يجب أن تكون النهايتان بدلالة ﺹ، أي ﺹ يساوي ﺟ وﺹ يساوي ﺩ. بالتالي، ستصبح صيغة الحجم إما التكامل المحدد بين ﺟ وﺩ لـ ﻡ(ﺹ) بالنسبة لـ ﺹ، حيث ﻡ(ﺹ) هي الدالة التي تصف مساحة المقطع العرضي للمجسم، وإما التكامل المحدد بين ﺟ وﺩ لـ 𝜋 في ﺱ تربيع ﺩ ﺹ. لنلق نظرة الآن على كيفية تطبيق هذه الصيغة الأخيرة.
أوجد حجم المجسم الناشئ عن الدوران، دورة كاملة حول المحور ﺹ، للمنطقة المحددة بالمنحنى تسعة ﺱ ناقص ﺹ يساوي صفرًا والخطوط المستقيمة ﺱ يساوي صفرًا، وﺹ يساوي سالب تسعة، وﺹ يساوي صفرًا.
تذكر أنه عند دوران منطقة محددة بمنحنى ﺱ يساوي دالة ما في ﺹ والخطين المستقيمين ﺹ يساوي ﺟ وﺹ يساوي ﺩ حول المحور ﺹ، نستخدم صيغة التكامل المحدد بين ﺟ وﺩ لـ 𝜋 في ﺱ تربيع ﺩ ﺹ. في هذه المسألة، الخطان المستقيمان الأفقيان اللذان يعنياننا هما ﺹ يساوي سالب تسعة وﺹ يساوي صفرًا. لذا، سنجعل ﺟ يساوي سالب تسعة وﺩ يساوي صفرًا. والمنطقة التي تعنينا محددة بالمنحنى تسعة ﺱ ناقص ﺹ يساوي صفرًا وﺱ يساوي صفرًا. ذكرنا أن ﺱ يلزم أن تكون دالة ما في ﺹ. لذا سنجعل ﺱ المتغير التابع، وتصبح المعادلة بذلك ﺱ يساوي ﺹ على تسعة. وهذا يعبر عن هذه المنطقة. ستبدو المنطقة بهذا الشكل عند دورانها حول المحور ﺹ.
نعوض بالقيم التي نعرفها في صيغة الحجم، فنجد أن الحجم يساوي التكامل المحدد بين سالب تسعة وصفر لـ 𝜋 في ﺹ على تسعة تربيع ﺩ ﺹ. ننقل العامل الثابت 𝜋 خارج التكامل ثم نوزع الأقواس. نرى الآن أن الدالة التي سنكاملها قد أصبحت ﺹ تربيع على ٨١. وفي هذه المرحلة، من المنطقي أيضًا أن ننقل العامل المشترك ٨١ خارج التكامل. نعرف هنا أنه لحساب تكامل حد من كثيرة حدود أسه لا يساوي سالب واحد، نضيف واحدًا إلى الأس ثم نقسم على الأس الجديد. وعليه، سيكون تكامل ﺹ تربيع هو ﺹ تكعيب على ثلاثة.
إذن، الحجم يساوي 𝜋 على ٨١ في صفر تكعيب على ثلاثة ناقص سالب تسعة تكعيب على ثلاثة. وبالطبع صفر تكعيب على ثلاثة يساوي صفرًا. يمكننا الاختيار بين كتابة سالب تسعة على صورة سالب تسعة في سالب تسعة تربيع أو سالب تسعة في ٨١. ومعنى هذا أنه يمكننا التبسيط بالقسمة على ٨١. إذن، سالب سالب تسعة مقسومًا على ثلاثة يساوي ثلاثة. وبذلك نكون قد وجدنا أن حجم المجسم الدوراني الناشئ عن دوران المنطقة حول المحور ﺹ يساوي ثلاثة 𝜋 وحدة مكعبة.
في المثال التالي، سنتناول كيف يمكننا تطبيق هذه الأساليب فيما يسمى طريقة الفلكة.
أوجد حجم المجسم الناشئ عن دوران المنطقة المحددة بالمنحنيين ﺱ يساوي ستة ناقص خمسة ﺹ تربيع وﺱ يساوي ﺹ أس أربعة حول المحور ﺹ.
في هذا المثال، علينا إيجاد حجم المجسم الناشئ عن دوران منطقة محددة بمنحنيين حول المحور ﺹ. نتذكر هنا أن الحجم الناشئ عن دوران منطقة حول المحور ﺹ، والذي تساوي مساحة مقطعه العرضي الدالة ﻡ(ﺹ)، يساوي التكامل المحدد بين ﺟ وﺩ لـ ﻡ(ﺹ) بالنسبة لـ ﺹ. يمكن كتابة هذا، بدلًا من ذلك، على الصورة التكامل المحدد بين ﺟ وﺩ لـ 𝜋 في ﺱ تربيع ﺩ ﺹ. لمساعدتنا على تصور ما يحدث، سنبدأ برسم المساحة المحددة بالمنحنيين.
سيبدو التمثيل البياني لـ ﺱ يساوي ستة ناقص خمسة ﺹ تربيع بهذا الشكل تقريبًا. وﺹ يساوي ﺹ أس أربعة سيبدو كما هو موضح. ومن ثم، ستكون هذه هي المنطقة التي ستدور حول المحور ﺹ. بحل المعادلتين ﺱ يساوي ﺹ أس أربعة وﺱ يساوي ستة ناقص خمسة ﺹ تربيع آنيًا أو باستخدام برنامج للتمثيل البياني أو آلة حاسبة، سنجد أن هذين المنحنيين يتقاطعان عند النقطتين ﺹ يساوي واحدًا وﺹ يساوي سالب واحد. إذن، عند دوران هذه المنطقة حول المحور ﺹ، سنحصل على هذا الشكل الدائري المجوف غير المعتاد. وهو ما نطلق عليه، في الواقع، حلقة.
مساحة المقطع العرضي للحلقة تساوي مساحة الدائرة الخارجية ناقص مساحة الدائرة الداخلية. وبما أن مساحة الدائرة تساوي 𝜋 في نصف القطر تربيع، ونصف قطر كل دائرة يساوي الدالة عند هذه النقطة، فإن مساحة المقطع العرضي ﻡ(ﺹ) يساوي 𝜋 في ستة ناقص خمسة ﺹ تربيع الكل تربيع ناقص 𝜋 في ﺹ أس أربعة تربيع. من خلال هذه المعلومات، نجد أن الحجم يساوي القيمة الموضحة. ننقل العامل الثابت 𝜋 خارج التكامل ثم نوزع الأقواس. وبذلك ستصبح الدالة التي سنكاملها ٣٦ ناقص ٦٠ﺹ تربيع زائد ٢٥ﺹ أس أربعة ناقص ﺹ أس ثمانية. بعد ذلك، نحسب التكامل كل حد على حدة.
تكامل ٣٦ يساوي ٣٦ﺹ. وعند حساب تكامل سالب ٦٠ﺹ تربيع، نحصل على سالب ٦٠ﺹ تكعيب مقسومًا على ثلاثة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ٢٠ﺹ تكعيب. تكامل ٢٥ﺹ أس أربعة يساوي ٢٥ﺹ أس خمسة مقسومًا على خمسة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى خمسة ﺹ أس خمسة. وأخيرًا، تكامل سالب ﺹ أس ثمانية يساوي سالب ﺹ أس تسعة على تسعة. سنعوض بعد ذلك بواحد وسالب واحد في هذا التعبير. وبعد ذلك، نحسب ٣٦ ناقص ٢٠ زائد خمسة ناقص تسع ناقص سالب ٣٦ زائد ٢٠ ناقص خمسة زائد تسع. ونحصل على ٣٧٦ على تسعة. بذلك نكون قد وجدنا أن حجم المجسم الناشئ عن دوران المنطقة حول المحور ﺹ يساوي ٣٧٦ على تسعة 𝜋 وحدة مكعبة.
في المثال الأخير، سنتعرف على كيفية إيجاد الحجم الناشئ عن دوران مجسم حول خط مستقيم مواز لمحور.
افترض أنه توجد منطقة محددة بالمنحنيات ﺹ يساوي ﺱ تكعيب، وﺹ يساوي صفرًا، وﺱ يساوي اثنين. أوجد حجم المجسم الناشئ عن دوران هذه المنطقة حول ﺱ يساوي ثلاثة.
نعرف أنه عند دوران منطقة محددة بمنحنى والخطين المستقيمين الأفقيين ﺹ يساوي ﺟ وﺹ يساوي ﺩ حول المحور ﺹ، نستخدم صيغة التكامل المحدد بين ﺟ وﺩ لـ ﻡ(ﺹ) بالنسبة لـ ﺹ، حيث ﻡ(ﺹ) هي الدالة التي تصف مساحة المقطع العرضي للشكل. يمكن أن نستعين هنا برسم بياني. لدينا المنحنيان ﺹ يساوي ﺱ تكعيب، وﺹ يساوي صفرًا، وخط مستقيم رأسي عند ﺱ يساوي صفرًا. وهذا يعطينا المنطقة التي نريد تدويرها. لكن في هذه المسألة لن يكون الدوران حول المحور ﺹ نفسه، بل حول خط مستقيم مواز له. وهو الخط المستقيم الذي معادلته ﺱ يساوي ثلاثة.
ودوران المجسم حول هذا الخط المستقيم سينتج عنه الشكل الموضح. نسمي هذا الشكل الحلقة أو الفلكة. ويمكن أن نقول إن مساحة المقطع العرضي للحلقة تساوي مساحة الدائرة الخارجية، أي الدائرة الأكبر، ناقص مساحة الدائرة الداخلية. ومساحة الدائرة تساوي 𝜋 في نصف القطر تربيع. سنعيد كتابة معادلة المنحنى لتصبح ﺱ بدلالة ﺹ، ومن ثم ستكون ﺱ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺹ. ويمكننا أن نقول إن نصف قطر الدائرة الكبيرة هو الفرق بين قيمة الدالة ﺱ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺹ والدالة ﺱ يساوي ثلاثة. وهو ما يساوي 𝜋 في الجذر التكعيبي لـ ﺹ ناقص ثلاثة الكل تربيع.
وبالمثل، نصف قطر الدائرة الأصغر يساوي الفرق بين ثلاثة واثنين. ومن ثم، فإن مساحة المقطع العرضي أو دالة مساحة المقطع العرضي تساوي 𝜋 في الجذر التكعيبي لـ ﺹ ناقص ثلاثة تربيع ناقص 𝜋 في ثلاثة ناقص اثنين تربيع. نكتب الجذر التكعيبي لـ ﺹ على صورة ﺹ أس ثلث. ونبسط ثلاثة ناقص اثنين ليصبح واحدًا. يمكننا إيجاد حدي التكامل باستخدام معادلات الخطوط المستقيمة الأفقية التي تحدد المنطقة. نعرف أن الحد السفلي يكون عند ﺹ يساوي صفرًا. والحد العلوي هو نقطة التقاطع بين المنحنى ﺹ يساوي ﺱ تكعيب وﺱ يساوي اثنين. إذن هذا الحد يساوي ثمانية.
ننقل العامل الثابت 𝜋 خارج التكامل. ونوزع الأقواس. فنصل إلى أن الدالة التي سنكاملها هي ﺹ أس ثلثين ناقص ستة ﺹ أس ثلث زائد تسعة ناقص واحد. وبالطبع، تسعة ناقص واحد يساوي ثمانية. نحسب التكامل بعد ذلك بإضافة واحد إلى أس كل حد ثم القسمة على الأس الجديد. وبذلك، يصبح لدينا 𝜋 في ثلاثة أخماس ﺹ أس خمسة على ثلاثة ناقص ١٨ على أربعة في ﺹ أس أربعة على ثلاثة زائد ثمانية ﺹ. نعوض بعد ذلك بحدي التكامل، وهما ﺹ يساوي صفرًا وﺹ يساوي ثمانية. وأخيرًا نبسط المقدار. فنجد أن حجم المجسم الناشئ عن دوران المنطقة حول الخط المستقيم ﺱ يساوي ثلاثة يساوي ٥٦𝜋 على خمسة وحدة مكعبة.
تعلمنا في هذا الفيديو أنه يمكننا إيجاد حجم مجسم دوراني ناشئ عن دوران منطقة حول المحور ﺱ باستخدام إحدى صيغتين. الصيغة الأولى هي ﺣ يساوي التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ ﻡ(ﺱ) بالنسبة لـ ﺱ، حيث ﻡ(ﺱ) دالة متصلة تصف مساحة المقطع العرضي للمجسم. ويمكننا، بدلًا من ذلك، استخدام صيغة التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لـ 𝜋 في ﺹ تربيع ﺩ ﺱ. وفيما يخص المناطق التي تدور حول المحور ﺹ، نستخدم الصيغة ﺣ يساوي التكامل المحدد بين ﺟ وﺩ لـ ﻡ(ﺹ) بالنسبة لـ ﺹ. ويمكننا، بدلًا من ذلك، استخدام صيغة التكامل المحدد بين ﺟ وﺩ لـ 𝜋 في ﺱ تربيع ﺩ ﺹ. وأخيرًا، رأينا أنه يمكننا استخدام طريقة الفلكة لإيجاد حجم مجسم ناشئ عن دوران منطقة بين منحنيين حول محور أو خط مستقيم مواز لمحور.
