نسخة الفيديو النصية
أوجد طول العمودي المرسوم من النقطة ﺃ سالب ثمانية، واحد، ١٠ إلى الخط المستقيم ﺭ يساوي سالب واحد، اثنين، سالب سبعة زائد ﻥ في سالب تسعة، سالب تسعة، ستة، لأقرب جزء من مائة.
حسنًا، لدينا هنا خط مستقيم ونقطة أيضًا. ونريد الحل لإيجاد المسافة، التي سنسميها ﻑ، بين العمودي المرسوم من النقطة إلى الخط المستقيم. لفعل ذلك، سنستخدم هذا التعبير. تعتمد المسافة العمودية بين خط مستقيم ونقطة على متجهين يطلق عليهما ﺃﺏ وﻫ. في هذه المعادلة، يكون المتجه ﻫ موازيًا للخط المستقيم المعطى. هذا يعني أنه لإيجاد قيمة ﻑ في هذه الحالة، علينا إيجاد متجه مواز لهذا المستقيم.
إضافة إلى ذلك، يعتمد المتجه ﺃﺏ على نقطتين؛ إحداهما نقطة في فضاء، والأخرى تقع على المستقيم المعطى. بالنظر مرة أخرى إلى المسألة التي نحن بصددها، نعرف إحداثيات هذه النقطة في الفضاء. فهي معطاة لنا. إذن، يمكننا القول إن المعلومتين المجهولتين هما نقطة في مكان ما على امتداد هذا المستقيم، ومتجه مواز له.
لاحظ أننا لدينا معادلة هذا المستقيم فيما يسمى الصورة المتجهة. عند كتابتها بهذه الطريقة، يمثل هذا المتجه في المعادلة متجهًا من نقطة الأصل ذات الإحداثيات صفر، صفر، صفر إلى هذه النقطة الواقعة على المستقيم، وهي نقطة لها الإحداثيات سالب واحد، اثنان، سالب سبعة. نعلم أن هذه النقطة تقع على المستقيم، وسنسميها النقطة ﺏ. الأمر التالي الذي يمكننا قوله بشأن هذه المعادلة المتجهة للخط المستقيم هو أن هذا المتجه مواز للمستقيم. يمكننا أن نسميه المتجه ﻫ، وقد يبدو هكذا.
والآن بعد أن عرفنا نقطة في الفضاء ونقطة على المستقيم ومتجهًا موازيًا للمستقيم، أصبح لدينا كل ما نحتاج إليه لتطبيق هذه العلاقة هنا. الخطوة التالية هي تعريف متجه يمتد من النقطة التي في الفضاء، أي النقطة ﺃ، إلى النقطة التي تقع على المستقيم، أي النقطة ﺏ. سنسمي هذا المتجه ﺃﺏ، ويساوي بالصورة المتجهة إحداثيات النقطة ﺏ ناقص إحداثيات النقطة ﺃ. هذه المركبات التي أوجدناها هي سبعة، واحد، سالب ١٧.
نعلم الآن المتجهين اللذين سنستخدمهما في معادلة المسافة. أطلقنا عليهما ﺃﺏ وﻫ، بينما في المعادلة ﺃﺏ وﻫ. وهذا أمر جيد. الآن دعونا نتابع بحساب حاصل الضرب الاتجاهي، أي ﺃﺏ ضرب اتجاهي ﻫ. وهذا يساوي محدد هذه المصفوفة. في الصف العلوي هنا متجهات الوحدة الثلاثة، وفي الصفين الثاني والثالث المركبات المناظرة للمتجهين ﺃﺏ وﻫ. بحساب حاصل الضرب الاتجاهي بضرب كل مركبتين متناظرتين على حدة، نجد أنه يساوي ﺱ في سالب ١٤٧ ناقص ﺹ في سالب ١١١ زائد ﻉ في سالب ٥٤. بعبارة أخرى، هذا متجه مركباته سالب ١٤٧، ١١١، سالب ٥٤.
بمعلومية ﺃﺏ ضرب اتجاهي ﻫ، نكون جاهزين الآن لحساب معيار حاصل الضرب الاتجاهي هذا وقسمته على معيار المتجه ﻫ. معيار ﺃﺏ ضرب اتجاهي ﻫ يساوي الجذر التربيعي لسالب ١٤٧ تربيع زائد ١١١ تربيع زائد سالب ٥٤ تربيع. بقسمة ذلك على معيار المتجه ﻫ، نجد أن هذا المتجه له معيار الجذر التربيعي لسالب تسعة تربيع زائد سالب تسعة تربيع زائد ستة تربيع. إذا أدخلنا هذا التعبير بأكمله على الآلة الحاسبة، ثم قربنا لأقرب جزء من مائة، فسنحصل على الإجابة ١٣٫٦٤.
وبذلك، فإن إجابتنا النهائية هي أن طول العمودي من النقطة المعطاة إلى الخط المستقيم المعطى يساوي ١٣٫٦٤ وحدة طول.
