نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطبق نظرية فيثاغورس على أسئلة هندسية ومواقف حياتية. سنبدأ بتذكر ما تنص عليه نظرية فيثاغورس.
تنص نظرية فيثاغورس على أنه في أي مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصرين. إذا رمزنا إلى طول الوتر بـ 𝑐، وإلى طولي الضلعين الأقصرين بـ 𝑎 و𝑏، فإن نظرية فيثاغورس تنص على أن 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع يساوي 𝑐 تربيع. سنستخدم هذه النظرية الآن لحل بعض المسائل في سياق واقعي.
يقف رجل على قمة مبنى ويريد أن يمد سلك تثبيت إلى نقطة على سطح الأرض على مسافة 20 قدمًا من قاعدة المبنى. ما الطول الذي يجب أن يكون عليه السلك لأقرب قدم، إذا كان ارتفاع المبنى 50 قدمًا؟
لنبدأ برسم شكل توضيحي. نعلم أن طول المبنى 50 قدمًا. ويمتد السلك إلى نقطة على الأرض تبعد 20 قدمًا عن قاعدة المبنى. علينا حساب طول هذا السلك، والذي سنسميه 𝑥. نلاحظ من الشكل أن هذه القيم تشكل مثلثًا قائم الزاوية. لحساب الطول المجهول في أي مثلث قائم الزاوية، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس. تنص هذه النظرية على أن 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع يساوي 𝑐 تربيع؛ حيث 𝑐 هو طول الضلع الأطول أو الوتر. ودائمًا يكون الضلع الأطول مقابلًا للزاوية القائمة.
بالتعويض بالقيم التي لدينا، نحصل على 20 تربيع زائد 50 تربيع يساوي 𝑥 تربيع. يمكن كتابة القيمتين 20 و50 بأي ترتيب. 20 تربيع يساوي 400، و50 تربيع يساوي 2500. بجمعهما، نحصل على قيمة 𝑥 تربيع تساوي 2900. خطوتنا الأخيرة هي أخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة. 𝑥 يساوي الجذر التربيعي لـ 2900. وبكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على 53.851648 وهكذا مع توالي الأرقام.
مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب قدم. إذن، علينا التقريب إلى أقرب عدد صحيح. وبما أن العدد الموجود في خانة الأجزاء من عشرة أكبر من أو يساوي خمسة، إذن سنقرب لأعلى. طول سلك التثبيت يساوي 54 قدمًا، لأقرب قدم. وهي إجابة منطقية لأنها أكبر من 50 وأقل من 70. فطول الوتر يجب أن يكون أطول من طولي الضلعين الآخرين، ولكن أقصر من مجموع طوليهما.
سنتناول الآن سؤالًا آخر يتعلق بحل مسألة من الحياة الواقعية.
يوضح الشكل التالي جسرًا طوله 129 مترًا مستندًا إلى دعامتين 𝑀𝐶 و𝑀𝐷 معلقتين عند نقطة المنتصف 𝑀. إذا كان 𝐴𝐶 يساوي 51.6 مترًا، فأوجد طول 𝑀𝐶 لأقرب جزء من المائة.
يخبرنا السؤال بأن طول الجسر 𝐴𝐵 يساوي 129 مترًا. بما أن 𝑀 نقطة منتصف 𝐴𝐵، فيمكننا حساب المسافة 𝐴𝑀 بقسمة 129 على اثنين. وهو ما يساوي 64.5 مترًا. نعلم أيضًا أن طول الضلع 𝐴𝐶 يساوي 51.6 مترًا. 𝐴𝑀𝐶 مثلث قائم الزاوية، ونعرف طولي اثنين من أضلاعه، وعلينا حساب الطول 𝑀𝐶.
ويمكننا ذلك باستخدام نظرية فيثاغورس. تنص هذه النظرية على أن 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع يساوي 𝑐 تربيع. 𝑐 هو طول الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية، والمعروف باسم الوتر. وهو في هذه الحالة الطول 𝑀𝐶. بالتعويض بالقيم التي لدينا، نحصل على 64.5 تربيع زائد 51.6 تربيع يساوي 𝑥 تربيع. بكتابة الطرف الأيسر على الآلة الحاسبة، نحصل على 6822.81. ويمكننا بعد ذلك أخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة لحساب قيمة 𝑥. 𝑥 يساوي 82.600302 وهكذا مع توالي الأرقام.
مطلوب منا التقريب لأقرب جزء من المائة، أي التقريب لأقرب منزلتين عشريتين. وبتقريب هذا لأسفل، فإن طول الضلع 𝑀𝐶، لأقرب جزء من المائة، يساوي 82.60 مترًا.
سنتناول الآن سؤالين نستخدم فيهما نظرية فيثاغورس لحل بعض المسائل الهندسية.
أوجد مساحة المربع 𝐵𝐸𝐷𝐶.
بما أن 𝐵𝐸𝐷𝐶 مربع، إذن أطوال جميع أضلاعه متساوية. يمكن حساب مساحة أي مربع عن طريق تربيع طول أحد أضلاعه. ونلاحظ أيضًا أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية نعرف طولي اثنين من أضلاعه. والطول الثالث هو طول 𝑥. يمكننا إذن حساب الطول المجهول باستخدام نظرية فيثاغورس. تنص هذه النظرية على أن 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع يساوي 𝑐 تربيع؛ حيث 𝑐 هو طول الضلع الأطول أو الوتر.
بالتعويض بالقيم التي لدينا، يصبح لدينا 𝑥 تربيع زائد 21 تربيع يساوي 35 تربيع. وذلك لأن 35 هو طول الوتر. 21 تربيع يساوي 441. و35 تربيع يساوي 1225. يمكننا طرح 441 من كلا الطرفين، لنحصل على 𝑥 تربيع يساوي 784. أخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة يعطينا 𝑥 يساوي 28. أي إن طول كل ضلع في المربع يساوي 28 سنتيمترًا.
في هذا السؤال، كان بإمكاننا استخدام طريقة مختصرة لحساب طول 𝐵𝐶. إحدى ثلاثيات فيثاغورس هي: ثلاثة، أربعة، خمسة. وهذا يعني أن أي مثلث هذه هي النسبة بين أطوال أضلاعه هو مثلث قائم الزاوية. الوتر، أو الضلع الأطول في المثلث، طوله يساوي 35 سنتيمترًا. وأحد الضلعين الأقصرين طوله 21 سنتيمترًا. ثلاثة في سبعة يساوي 21، وخمسة في سبعة يساوي 35. وبما أن أربعة في سبعة يساوي 28، فإن الطول المجهول في المثلث يساوي 28 سنتيمترًا. وهذا يؤكد صحة العملية الحسابية السابقة.
يمكننا بعد ذلك حساب مساحة المربع عن طريق تربيع 28. بما أن 28 تربيع يساوي 784، فإن مساحة المربع 𝐵𝐸𝐷𝐶 تساوي 784 سنتيمترًا مربعًا. ستكون إجابتنا للمساحة دائمًا بالوحدات المربعة.
نتناول الآن مسألة هندسية ثانية.
أوجد محيط 𝐴𝐵𝐶𝐷.
محيط أي شكل هو المسافة الخارجية حول الشكل. في هذه الحالة، علينا جمع الأطوال 𝐴𝐵 و𝐵𝐶 و𝐶𝐷 و𝐷𝐴. ونعرف ثلاثة من هذه الأطوال. وسنرمز للطول 𝐷𝐴 بالرمز 𝑥 سنتيمتر. بالتعويض بالقيم التي نعرفها، نحصل على محيط يساوي 20 زائد 48 زائد 39 زائد 𝑥. ويبسط ذلك ليصبح 107 زائد 𝑥.
نلاحظ أن الشكل الرباعي أو الشكل ذا الأضلاع الأربعة مقسم إلى مثلثين قائمي الزاوية. وهذا يعني أنه يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لحساب أي أطوال مجهولة. تنص هذه النظرية على أن 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع يساوي 𝑐 تربيع؛ حيث 𝑐 هو طول الضلع الأطول أو الوتر. ولكن في هذا السؤال، توجد طريقة أسرع باستخدام ما نعرفه عن ثلاثيات فيثاغورس.
اثنتان من هذه الثلاثيات هما: خمسة، 12، 13؛ وثلاثة، أربعة، خمسة. هذا يعني أن أي مثلث هذه هي النسبة بين أطوال أضلاعه الثلاثة هو مثلث قائم الزاوية. لنبدأ بالنظر إلى المثلث البرتقالي الذي تبلغ أطوال أضلاعه 20 سنتيمترًا، و48 سنتيمترًا، وطول الوتر 𝑦. خمسة في أربعة يساوي 20، و12 في أربعة يساوي 48. وهذا يعني أنه يمكننا حساب الطول 𝑦 بضرب 13 في أربعة. وهو ما يساوي 52. إذن، طول 𝐴𝐶 يساوي 52 سنتيمترًا.
في المثلث الوردي اللون، طولا أقصر ضلعين: هما 39، و52 سنتيمترًا. وطول الوتر أو الضلع الأطول هو 𝑥. بضرب ثلاثة وأربعة في 13 يصبح لدينا 39 و52، على الترتيب. وهذا يعني أن طول الضلع الأطول 𝑥 سيساوي خمسة في 13. أي ما يساوي 65. الطول 𝑥 أو 𝐴𝐷 يساوي 65 سنتيمترًا. وبالتعويض بهذا في المقدار المعبر عن المحيط، نحصل على 107 زائد 65. 107 زائد 65 يساوي 172. نستنتج إذن أن محيط 𝐴𝐵𝐶𝐷 يساوي 172 سنتيمترًا.
يدور السؤال الأخير حول تطبيق عكس نظرية فيثاغورس.
المسافات بين ثلاث مدن هي 77 ميلًا، و36 ميلًا، و49 ميلًا. هل مواقع هذه المدن تكون مثلثًا قائم الزاوية؟
يمكننا حل هذا السؤال باستخدام نظرية فيثاغورس. تنص هذه النظرية على أن 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع يساوي 𝑐 تربيع؛ حيث 𝑐 هو طول الضلع الأطول أو وتر المثلث القائم الزاوية. وينص عكس نظرية فيثاغورس على أنه إذا كان مربع طول الضلع الأطول في مثلث يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، يكون المثلث قائم الزاوية.
في هذا السؤال، علينا النظر في مجموع مربعي 36 و49 لنرى ما إذا كان يساوي مربع 77. 77 تربيع يساوي 5929. و36 تربيع زائد 49 تربيع يساوي 3697. هاتان القيمتان غير متساويتين. أي إن 36 تربيع زائد 49 تربيع لا يساوي 77 تربيع. نستنتج إذن أنه بما أن المسافات الثلاث لا تحقق نظرية فيثاغورس، فإن المثلث ليس مثلثًا قائم الزاوية.
سنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الفيديو. تنص نظرية فيثاغورس على أنه في أي مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصرين. عادة ما يكتب ذلك: 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع يساوي 𝑐 تربيع؛ حيث 𝑐 هو طول الوتر. ويمكننا تطبيق هذه النظرية لحل مسائل هندسية ومسائل من الحياة الواقعية. يتضمن ذلك حساب طول الوتر أو أحد الضلعين الأقصرين.
كما أن معرفتنا بثلاثيات فيثاغورس توفر عادة طريقة مختصرة للحل. من أمثلة ثلاثيات فيثاغورس: ثلاثة، أربعة، خمسة؛ وخمسة، 12، 13. وأي مثلث هذه هي النسبة بين أطوال أضلاعه هو مثلث قائم الزاوية. ونعلم أيضًا أن عكس نظرية فيثاغورس صحيح. إذا كانت أطوال أضلاع المثلث الثلاثة تحقق 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع يساوي 𝑐 تربيع، يكون المثلث مثلثًا قائم الزاوية.
