نسخة الفيديو النصية
نتحدث في هذا الفيديو عن إيجاد مركبات متجه. وسوف نتعلم كيف نوجد هذه المركبات بيانيًّا باستخدام شبكة الرسم وكذلك حساب المثلثات. في البداية، دعونا نوضح أن جميع المتجهات تتكون من مركبات. ويمكننا القول إن هذه المركبات هي الأجزاء التي نجمعها معًا للحصول على متجه.
إذا كان لدينا متجه، لنفترض أننا نبدأ بهذا المتجه الذي سميناه 𝐕، يمكننا رؤية مركبتيه من خلال رسمه على شبكة رسم. أولًا، نرسم إطار الإحداثيين 𝑥، 𝑦، ثم نضيف خطوط الشبكة. ويمكننا أن نلاحظ أن المتجه يمتد مسافة واحد، اثنين، ثلاثة مربعات من مربعات الشبكة على طول هذا المحور 𝑥. إذن، مركبة 𝑥 للمتجه، يمكن أن نسميها 𝑉𝑥، تساوي ثلاثة. وتمتد المركبة 𝑦 لـ 𝐕، وحدة، وحدتين، ثلاثًا، أربعًا، خمسًا، ست وحدات على المحور 𝑦. ومن ثم، يمكننا القول إن 𝑉𝑦 تساوي ستة. هاتان هما مركبتا المتجه 𝐕.
والآن، بشكل عام، إذا كان لدينا متجه ثنائي الأبعاد، يمكننا تسمية هذا المتجه 𝐀، ثم يمكننا كتابة المتجه 𝐀 على هذا النحو. هنا، 𝐴𝑥 و𝐴𝑦 هما المركبتين 𝑥 و𝑦 للمتجه. ولاحظ أننا لا نجمع ببساطة هاتين المركبتين معًا لنحصل على المتجه 𝐀. أولًا، يجب ضرب كل منهما في متجه الوحدة الصحيح. في حالة 𝐴𝑥، فإن متجه الوحدة هو 𝐢 هات. وبالنسبة لـ 𝐴𝑦، سيكون متجه الوحدة هو 𝐣 هات.
تذكر أن متجه الوحدة هو متجه مقداره أو طوله يساوي واحدًا. إذا رسمنا متجه الوحدة 𝐢 هات على شبكة الرسم، فسيبدو بهذا الشكل، بينما سيبدو متجه الوحدة 𝐣 هات بهذا الشكل. هذان المتجهان مهمان؛ لأن المركبتين 𝑥 و𝑦 لمتجه معين، في حد ذاتهما، كميتان قياسيتان. لذا لا يمكنهما أن يكونا متجهًا بمفردهما. أي إن لهما مقدارًا أو طولًا، لكن ليس لهما أي اتجاه. وهنا يأتي دور متجهات الوحدة.
يخبرنا هذا الحد الأول الموجود على اليمين في المعادلة بأن المتجه 𝐀 له طول 𝐴𝑥، وأنه في هذا الاتجاه تحديدًا، الاتجاه 𝑥. وبالمثل، يمتد مسافة 𝐴𝑦 في الاتجاه 𝑦. كل هذا يعني أن مركبات المتجه ليست متجهات في حد ذاتها. بل كميات قياسية. رأينا أنه مع المتجه 𝐕 هنا، اتضح أن المركبة 𝑥 تساوي ثلاثة، وهي ليست متجهًا ولكنها كمية قياسية، والمركبة 𝑦 كمية قياسية أيضًا.
إذن، لكتابة المتجه 𝐕 بدلالة مركبتيه، يمكننا القول إن له الطول 𝑉𝑥، وهي المركبة 𝑥، في الاتجاه 𝐢 هات. ثم نضيف إلى هذا متجهًا آخر، مركبته في اتجاه 𝑦 وهي 𝑉𝑦 في متجه الوحدة 𝐣 هات. وبالتعويض بالقيم المعلومة، يمكننا كتابة ذلك على الصورة ثلاثة 𝐢 زائد ستة 𝐣. وتسمى هذه الصورة المركبة للمتجه 𝐕. ويعبر عنها بدلالة المركبة الأفقية أو المركبة 𝑥 والمركبة الرأسية أو المركبة 𝑦.
ذكرنا من قبل أن هناك أكثر من طريقة لإيجاد مركبات المتجه. في حالة المتجه 𝐕، استخدمنا مربعات الشبكة لحساب هذه المركبات. لكن لنتخيل أنه بدلًا من ذلك لدينا متجهًا، سنسميه المتجه 𝐑، على مستوى 𝑥𝑦 غير مقسم لمربعات. في هذه الحالة، ليس لدينا أي علامات شبكة لنستخدمها. لكن لنفترض أن لدينا مقدار المتجه وكذلك الزاوية التي يصنعها مع المحور الأفقي. ويمكن إيجاد مركبتي 𝐑 باستخدام هذه المعلومات فقط.
دعونا نتذكر أن أي متجه ثنائي الأبعاد له مركبة أفقية ومركبة رأسية. إذا رسمنا هذه المركبة الأفقية، فستبدو بهذا الشكل وستبدو المركبة الرأسية بهذا الشكل، وهي مساوية في الطول لهذا الخط المتقطع. وبما أن المركبتين الرأسية والأفقية لأي متجه تتعامدان إحداهما على الأخرى، فإننا نعرف أن هذه الزاوية زاوية قائمة. أصبح لدينا الآن مثلث قائم الزاوية، حيث هذا الضلع هو الوتر، وهذان الطولان يمثلان الضلعان الآخران. ولاحظ أن الضلعين الأقصر في هذا المثلث هما المركبتان 𝑥 و𝑦 للمتجه 𝐑.
عندما يكون لدينا مثلث قائم الزاوية، وإحدى زواياه الداخلية الأخرى معلومة أيضًا، تكون هناك علاقات مثلثية محددة بين أطوال الأضلاع الثلاثة لهذا المثلث. في المثلث القائم الزاوية، الضلع المقابل للزاوية القائمة يكون دائمًا الوتر. وهذه الزاوية التي أطلقنا عليها 𝜃، هي الزاوية الأخرى التي نعرفها، إذن فإننا نسمي هذا الضلع من المثلث الضلع المقابل، وهو الضلع المقابل لـ 𝜃، وهذا هو الضلع المجاور؛ لأنه مجاور لـ 𝜃 أو يقع بجانبها. عند ربط هذا المثلث بالمثلث الناتج عن المتجه 𝐑، نلاحظ أن الضلع المجاور والضلع المقابل للزاوية المعروف أن قياسها 37 درجة هما المطلوب إيجادهما. هاتان هما المركبتان الأفقية والرأسية للمتجه 𝐑، على الترتيب.
هذه الأضلاع المختلفة للمثلث القائم الزاوية ترتبط ببعضها من خلال الدوال المثلثية. إليكم ما نعنيه بهذا. إذا حسبنا sin 𝜃، فهذا يساوي طول الضلع المقابل للزاوية 𝜃 مقسومًا على طول الوتر. وإذا ضربنا طرفي المعادلة في طول الوتر، فسنحصل على معادلة يكون فيها طول الضلع المقابل هو المتغير التابع. بعبارة أخرى، طول الوتر في sin 𝜃 يساوي المركبة الرأسية للمتجه.
عندما يتعلق الأمر بالمتجه 𝐑، نلاحظ أن طول الوتر يساوي تسعة و𝜃 تساوي 37 درجة. إذا ضربنا تسعة في sin 37 درجة، فسنحصل على المركبة الرأسية لـ 𝐑. وهي تساوي 5.4 عند تقريبها لأقرب رقمين معنويين. وعندما يتعلق الأمر بإيجاد المركبة الأفقية لـ 𝐑، يمكننا ملاحظة أن cos 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر. وبإعادة ترتيب المعادلة، نجد أن طول وتر المثلث مضروبًا في cos 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور. وفي حالة المتجه 𝐑 هو المركبة الأفقية. 𝑅𝑥 تساوي تسعة في cos 37 درجة، والذي عند تقريبه لأقرب رقمين معنويين سيساوي 7.2. لقد أوجدنا قيمتي المركبتين الرأسية والأفقية للمتجه 𝐑. إذن، يمكننا كتابة ذلك في الصورة المركبة بالشكل التالي. المتجه 𝐑 مقداره تسعة، واتجاهه يساوي 37 درجة فوق المحور الأفقي، ومركبته الأفقية مقدارها 7.2، ومركبته الرأسية مقدارها 5.4.
بعد أن عرفنا كل ذلك عن مركبات المتجهات، لنتدرب قليلًا من خلال مثال.
يمكن كتابة المتجه 𝐀 في صورة 𝑎𝑥 في 𝐢 هات زائد 𝑎𝑦 في 𝐣 هات. ما قيمة 𝑎𝑥؟ ما قيمة 𝑎𝑦؟
حسنًا، في هذا الوصف للمتجه 𝐀، 𝑎𝑥 و𝑎𝑦 هما المركبتان 𝑥 و𝑦 للمتجه. وهما كميتان قياسيتان توضحان طول المتجه 𝐀 في الاتجاهين الأفقي والرأسي. إذا نظرنا إلى هذا الرسم للمتجه 𝐀 والشبكة حوله، فسنرى أنه يوجد محور أفقي، سنسميه المحور 𝑥، ومحور رأسي سنسميه 𝑦.
عند النظر إلى الجزء الأول من السؤال، سنجد أن 𝑎𝑥 هو مقدار المتجه 𝐀 على طول المحور 𝑥. ويسمى هذا المركبة الأفقية لـ 𝐀. وسنوجد قيمتها من خلال رسم خط من 𝐀 عموديًّا على المحور 𝑥. في هذا التمثيل البياني، سيبدو 𝑎𝑥 بهذا الشكل. فهو طول يغطي مربعًا، اثنين، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة، سبعة مربعات من شبكة الرسم. ومن ثم هذه هي قيمة 𝑎𝑥. بمعلومية هذا، نريد بعد ذلك إيجاد المركبة 𝑦 للمتجه 𝐀. هذه المرة، سنرسم خطًّا من المتجه عموديًّا على المحور الرأسي. وسيبدو 𝑎𝑦 بهذا الشكل. يمكننا عد المربعات لإيجاد طول هذا الخط. طوله يساوي وحدة، اثنتين، ثلاثًا، أربع وحدات. إذن، 𝑎𝑦 يساوي أربعة. لقد أوجدنا قيمتي المركبتين الأفقية والرأسية للمتجه 𝐀.
هيا نتناول مثالًا آخر.
اكتب 𝐀 في الصورة المركبة.
لدينا هنا المتجه 𝐀 مرسومًا على شبكة رسم. ويمكننا أن نرى المتجه يبدأ عند نقطة أصل النظام الإحداثي. دعونا نطلق على المحور الأفقي المحور 𝑥، والمحور الرأسي 𝑦. والآن، عند كتابة هذا المتجه 𝐀 في الصورة المركبة، هذا يعني أننا سنكتبه بدلالة مركبتيه 𝑥 و𝑦، واللتان تسميان أيضًا المركبة الأفقية والمركبة الرأسية. إذا سمينا المركبة 𝑥 للمتجه 𝐀 بـ 𝐴𝑥 وسمينا المركبة 𝑦 بـ 𝐴𝑦، يمكننا إذن ضرب كل مركبة من هاتين المركبتين في متجه الوحدة المناسب. ومتجه الوحدة للاتجاه 𝑥 أو الاتجاه الأفقي هو 𝐢 هات، ومتجه الوحدة للاتجاه الرأسي أو الاتجاه 𝑦 هو 𝐣 هات. المركبتان 𝑥 و𝑦 للمتجه 𝐀 ليستا متجهين في حد ذاتهما؛ بل إنهما كميتان قياسيتان. ولكن عندما نضرب هاتين الكميتين القياسيتين في متجه، أي متجهي الوحدة، تكون النتيجة متجهًا.
وأخيرًا، بجمع مركبتي المتجه معًا، سنحصل على المتجه 𝐀. يعرف التعبير عن المتجه 𝐀 بهذه الطريقة بكتابته في الصورة المركبة. إذن، ما قيمة 𝐴𝑥 و𝐴𝑦؟ لإيجاد ذلك، علينا إلقاء نظرة على شبكة الرسم. بدءًا بـ 𝐴𝑥، هذا يساوي المركبة الأفقية لهذا المتجه 𝐀. بعبارة أخرى، إذا رسمنا خطًّا من هذا المتجه عموديًّا على المحور 𝑥، فسيكون طول هذه القطعة المستقيمة، أي هذا الطول هنا، هو 𝐴𝑥. وبدلالة وحدات شبكة الرسم، هذا الطول يساوي وحدة، اثنتين، ثلاث وحدات. ولاحظ أننا تحركنا إلى يسار نقطة الأصل، أي في اتجاه قيم 𝑥 السالبة. إذن، على الرغم من أن طول هذا الخط الأفقي البرتقالي يساوي ثلاث وحدات، فإننا نقول إن المركبة 𝑥 للمتجه 𝐀 تساوي سالب ثلاثة. وهذا لأن الخط الذي رسمناه من المتجه 𝐀 على المحور الأفقي يمتد بمقدار سالب ثلاث وحدات في الاتجاه 𝑥.
لإيجاد المركبة الرأسية للمتجه 𝐀، سنتبع عملية مشابهة. مرة أخرى، نرسم خطًّا من المتجه 𝐀 عموديًّا، ولكن هذه المرة على المحور الرأسي. ويخبرنا طول هذا الخط بالمركبة الرأسية أو المركبة 𝑦 للمتجه 𝐀. نلاحظ أن طوله يساوي وحدة، وحدتين، وأنه في الاتجاه الموجب لـ 𝑦. إذن، 𝐴𝑦 يساوي موجب اثنين. والآن يمكننا كتابة 𝐀 في صورته المركبة. المتجه 𝐀 يساوي سالب ثلاثة في متجه الوحدة 𝐢 هات زائد اثنين في متجه الوحدة 𝐣 هات.
لنلق نظرة الآن على مثال تدريبي أخير.
يوضح الشكل المتجه 𝐀 الذي مقداره 22. قياس الزاوية المحصورة بين المتجه والمحور 𝑥 يساوي 36 درجة. أوجد المركبة الأفقية للمتجه. قرب إجابتك لأقرب رقمين معنويين.
حسنًا، نحن نرى هذا المتجه 𝐀 مرسومًا. وعرفنا أن طوله أو مقداره يساوي 22. بالإضافة إلى ذلك، نعرف أن المتجه يصنع زاوية قياسها 36 درجة مع الجزء الموجب من المحور 𝑥. هدفنا هو إيجاد مركبته الأفقية. وهي تساوي الخط الأفقي للمتجه على هذا المحور.
وبينما نوجد قيمة طول هذا الخط البرتقالي، دعونا نلاحظ أن الخط المتقطع يتقاطع مع المحور الأفقي بزاوية قائمة. بعبارة أخرى، لدينا هنا مثلث قائم الزاوية. هذا هو الوتر، وهذا هو الضلع الآخر، وهذا هو الضلع الثالث. عند إيجاد قيمة المركبة الأفقية للمتجه، فإننا نوجد قيمة أحد أضلاع هذا المثلث القائم الزاوية. ويمكننا فعل ذلك باستخدام حساب المثلثات.
دعونا نتذكر أنه إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية، ونعرف إحدى الزوايا الداخلية الأخرى، يمكننا تسمية أضلاع هذا المثلث القائم الزاوية بوصفها؛ الوتر ℎ، والضلع المقابل للزاوية 𝜃 وهو 𝑜، والضلع المجاور للزاوية وهو 𝑎. بعد ذلك فإننا نريد إيجاد طول الضلع المجاور الذي أطلقنا عليه 𝑎 هنا، لكي نتمكن من إيجاد المركبة الأفقية.
والآن، إذا كنا سنوجد cos 𝜃، فإنه يساوي نسبة طول الضلع المجاور إلى وتر المثلث. أو بضرب طرفي هذه المعادلة في وتر المثلث، وحذف هذا العامل على اليمين، يكون الضلع المجاور للمثلث القائم الزاوية يساوي cos 𝜃 في ℎ. يرتبط هذا بالحالة التي لدينا في المتجه 𝐀، لأننا في هذه الحالة نعرف طول الوتر، ونعرف أيضًا هذه الزاوية. ومن ثم، يمكننا القول إن طول وتر المثلث، وهو 22، مضروبًا في cos 36 درجة، يساوي ما سنسميه 𝐴𝑥، المركبة الأفقية للمتجه 𝐀. عندما نكتب هذا المقدار على الآلة الحاسبة ونقرب لأقرب رقمين معنويين، نجد أن الإجابة تساوي 18. وهذه هي المركبة الأفقية للمتجه 𝐀.
دعونا نختتم هذا الدرس الآن بمراجعة بعض النقاط الأساسية. في هذا الدرس، رأينا أنه يمكن كتابة المتجه، لنفترض أن لدينا المتجه 𝐀، بدلالة المركبتين 𝐴𝑥 و𝐴𝑦. هنا 𝐴𝑥 تمثل المركبة الأفقية للمتجه، و𝐴𝑦 المركبة الرأسية. كما تعلمنا أيضًا أن مركبات المتجه هي قيم قياسية يمكن تحديدها بإحدى الطريقتين: باستخدام شبكة الرسم أو باستخدام حساب المثلثات. وأخيرًا، باستخدام حساب المثلثات في المثلث القائم الزاوية، رأينا أنه بمعلومية الزاوية الداخلية 𝜃، التي تختلف عن الزاوية القائمة في المثلث، فإن sin 𝜃 يساوي نسبة طول الضلع المقابل إلى الوتر، بينما cos 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور إلى الوتر. هنا، يمثل طولا الضلعين المقابل والمجاور للمتجه مركبتيه الرأسية والأفقية، على الترتيب.
مصر
المملكة العربية السعودية
الولايات المتحدة
