تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد معامل الاختلاف لمتغير عشوائي متقطع الرياضيات

افترض أن ﺱ يشير إلى متغير عشوائي متقطع يمكن أن يأخذ القيم ٢، ٣، ٥، ٧. إذا كان ﻝ(ﺱ = ٢) = ١‏/‏١٢، ﻝ(ﺱ = ٣) = ١‏/‏٤، ﻝ(ﺱ = ٥) = ١‏/‏٣، ﻝ(ﺱ = ٧) = ١‏/‏٣، فأوجد معامل الاختلاف لأقرب نسبة مئوية.

٠٨:١٨

‏نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺱ يشير إلى متغير عشوائي متقطع يمكن أن يأخذ القيم اثنين، وثلاثة، وخمسة، وسبعة. إذا كان احتمال أن ﺱ يساوي اثنين هو واحدًا على ١٢، واحتمال أن ﺱ يساوي ثلاثة هو ربعًا، واحتمال أن ﺱ يساوي خمسة هو ثلثًا، واحتمال أن ﺱ يساوي سبعة هو ثلثًا، فأوجد معامل الاختلاف لأقرب نسبة مئوية.

في هذه المسألة، مطلوب منا إيجاد معامل الاختلاف لمتغير عشوائي متقطع ﺱ. وهذا المعامل هو النسبة المئوية للانحراف المعياري من القيمة المتوقعة لـ ﺱ. إذا كان للمتغير العشوائي المتقطع متوسط لا يساوي صفرًا هو توقع س، وانحراف معياري 𝜎س، فإن معامل الاختلاف يعطى بالعلاقة 𝜎س على توقع س مضروبًا في ١٠٠. لدينا في المعطيات التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺱ. لكن دعونا نمثله في جدول. في الصف العلوي، نضع القيم في مدى المتغير العشوائي المتقطع، وهي اثنان، وثلاثة، وخمسة، وسبعة. في الصف الثاني، نضع احتمالات الحصول على هذه القيم، وهي واحد على ١٢، وربع، وثلث، وثلث. لاحظ أن مجموع قيم هذه الاحتمالات الأربعة يساوي واحدًا، حيث إنه يجب أن يكون هذا هو مجموع قيم كل الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي.

علينا الآن حساب كل من الانحراف المعياري وتوقع ﺱ. لنبدأ بالتوقع. صيغة حساب ذلك هي المجموع ﺱ مضروبًا في ﺩﺱ. أي إننا نضرب كل قيمة في مدى المتغير العشوائي المتقطع في الاحتمال المناظر لها، ثم نجمع كل هذه القيم معًا. يمكننا إضافة صف آخر إلى الجدول لإيجاد هذه القيم. القيمة الأولى هي اثنان مضروبًا في واحد على ١٢. هذا يساوي اثنين على ١٢، ولن نبسط هذه القيمة الآن. القيمة التالية هي ثلاثة مضروبًا في ربع، وهو ما يساوي ثلاثة أرباع، ثم خمسة مضروبًا في ثلث، وهو ما يساوي خمسة أثلاث، وأخيرًا سبعة مضروبًا في ثلث، وهو ما يساوي سبعة أثلاث.

لإيجاد توقع ﺱ، علينا إيجاد مجموع هذه القيم الأربع وهو ما يمكننا فعله باستخدام المقام المشترك ١٢. لدينا اثنان على ١٢ زائد تسعة على ١٢ زائد ٢٠ على ١٢ زائد ٢٨ على ١٢. وهو ما يساوي ٥٩ على ١٢. ولا يمكن تبسيط هذا الكسر أكثر من ذلك. بعد ذلك، علينا حساب الانحراف المعياري لـ ﺱ. والانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين. ونحسب تباين ﺱ باستخدام الصيغة: توقع ﺱ تربيع ناقص توقع ﺱ الكل تربيع.

علينا الانتباه إلى الفرق في الصيغة هنا. في الحد الأول، نقوم بتربيع قيم ﺱ أولًا، ثم نوجد قيمتها المتوقعة أو المتوسطة. في الحد الثاني، نوجد القيمة المتوقعة أو المتوسطة لـ ﺱ، وهو ما فعلناه للتو. إنها تساوي ٥٩ على ١٢. ثم نقوم بتربيع هذه القيمة. لإيجاد توقع ﺱ تربيع، نضرب كل قيمة لـ ﺱ بعد تربيعها في الاحتمال المناظر لها، والذي نحصل عليه من التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ. يمكننا إضافة صف آخر إلى الجدول للقيم ﺱ تربيع، وهي: أربعة، وتسعة، و٢٥، و٤٩، ثم صف به القيم ﺱ تربيع في قيمة ﺩﺱ المناظرة لها.

إذن لدينا أربعة مضروبًا في واحد على ١٢ وهو ما يساوي أربعة على ١٢، وتسعة مضروبًا في ربع وهو ما يساوي تسعة أرباع، و٢٥ مضروبًا في ثلث وهو ما يساوي ٢٥ على ثلاثة، و٤٩ مضروبًا في ثلث وهو ما يساوي ٤٩ على ثلاثة. من ثم القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع هي أربعة على ١٢ زائد تسعة على أربعة زائد ٢٥ على ثلاثة زائد ٤٩ على ثلاثة. ويمكننا استخدام الآلة الحاسبة لمساعدتنا في حساب ذلك. لنحصل على ٣٢٧ على ١٢، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ١٠٩ على أربعة.

وبما أن لدينا الآن كل من توقع ﺱ وتوقع ﺱ تربيع، يمكننا حساب تباين ﺱ. وهو يساوي ١٠٩ على أربعة ناقص ٥٩ على ١٢ تربيع، ومرة أخرى باستخدام الآلة الحاسبة لمساعدتنا، نحصل على ٤٤٣ على ١٤٤. بعد ذلك، نوجد الانحراف المعياري لـ ﺱ عن طريق أخذ الجذر التربيعي للتباين. نلاحظ هنا أن المقام هو عدد مربع. وعليه نجد أن الانحراف المعياري لـ ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ٤٤٣ على ١٢. وسنحتفظ بهذه القيمة دقيقة للناتج في الوقت الحالي.

بذلك أوجدنا الانحراف المعياري وكذلك القيمة المتوقعة لـ ﺱ. إذن الخطوة الأخيرة هي التعويض بهاتين القيمتين في صيغة معامل الاختلاف. علينا قسمة الانحراف المعياري لـ ﺱ، أي الجذر التربيعي لـ ٤٤٣ على ١٢ ؛ على القيمة المتوقعة لـ ﺱ، أي ٥٩ على ١٢ ؛ ثم الضرب في ١٠٠. بالطبع، القسمة على ٥٩ على ١٢ تكافئ الضرب في مقلوبه أي ١٢ على ٥٩. يمكننا إذن حذف العامل ١٢. ليصبح لدينا الجذر التربيعي لـ ٤٤٣ على ٥٩ مضروبًا في ١٠٠، وهو ما يساوي ٣٥٫٦٧ وهكذا مع توالي الأرقام.

ينص السؤال على ضرورة تقريب الإجابة لأقرب نسبة مئوية صحيحة. وبما أن الرقم الموجود في الخانة العشرية الأولى هو ستة، فسنقرب لأعلى. وجدنا إذن أن معامل الاختلاف لـ ﺱ لأقرب نسبة مئوية صحيحة يساوي ٣٦ بالمائة. وهذا يعني أن الانحراف المعياري لـ ﺱ يساوي ٣٦ بالمائة تقريبًا من قيمته المتوسطة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.