فيديو السؤال: إيجاد السرعة الابتدائية لجسيم بمعلومية التعبير الرياضي لعجلته الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

جسيم يتحرك في اتجاه المحور ﺱ. عند الزمن ﻥ ثانية تعطى عجلته بالمعادلة ﺟ يساوي أربعة ﻥ زائد ستة متر لكل ثانية مربعة، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. إذا كانت سرعة الجسيم عند ﻥ يساوي ثانيتين هي ٢٨ مترًا لكل ثانية، فما سرعته الابتدائية؟

أول ما علينا ملاحظته هو أن الجسيم الذي لدينا يتحرك في خط مستقيم في اتجاه المحور ﺱ. ولدينا معادلة تعبر عن عجلة هذا الجسم. نحن نعرف أن العجلة هي معدل التغير في السرعة. ونستنتج من هذا أن عجلة الجسيم تساوي مشتقة سرعة الجسيم بالنسبة إلى الزمن. وعليه، يمكننا إيجاد التكامل لطرفي هذه المعادلة بالنسبة إلى ﻥ. نلاحظ هنا أن تكامل دالة المشتقة لدينا بالنسبة إلى ﻥ سيساوي دالة السرعة زائد ثابت التكامل ﺙ.

إننا نعلم من معطيات السؤال أن الدالة ﺟ تساوي أربعة ﻥ زائد ستة. وعليه، فإن تكامل ﺟ بالنسبة إلى ﻥ يساوي تكامل أربعة ﻥ زائد ستة بالنسبة إلى ﻥ. ولكي نوجد تكامل أربعة ﻥ، نضيف واحدًا إلى الأس ثم نقسم على الأس الجديد، وهذا يعطينا أربعة ﻥ تربيع على اثنين، وهو ما يمكن تبسيطه إلى اثنين ﻥ تربيع. نحن نعرف أن تكامل ستة بالنسبة إلى ﻥ هو ستة ﻥ. وبعد ذلك نضيف ثابت التكامل ﻙ. بمساواة هاتين المعادلتين، يصبح لدينا ﻉ زائد ﺙ يساوي اثنين ﻥ تربيع زائد ستة ﻥ زائد ﻙ. يمكننا بعد ذلك إعادة الترتيب لنجد أن ﻉ لا بد أن يساوي اثنين ﻥ تربيع زائد ستة ﻥ زائد ﻙ ناقص ﺙ. وبما أن ﻙ وﺙ هما ثابتا التكامل لدينا، يمكننا تجميعهما في ثابت جديد، سنطلق عليه ﺙ واحد. وبهذا، تصبح لدينا معادلة لسرعة الجسيم. سرعة الجسيم تساوي اثنين ﻥ تربيع زائد ستة ﻥ زائد ﺙ واحد.

لقد علمنا من السؤال أنه عند ﻥ يساوي اثنين، تكون سرعة الجسيم ٢٨ مترًا لكل ثانية. وهذا يعني أن ﻉ لاثنين لا بد أن يساوي ٢٨. إذن، بالتعويض بـ ﻥ يساوي اثنين في دالة السرعة لدينا، نجد أن ٢٨ لا بد أن يساوي اثنين مضروبًا في اثنين تربيع زائد ستة مضروبًا في اثنين زائد الثابت ﺙ واحد. يمكننا بعد ذلك إعادة ترتيب هذه المعادلة وحلها، لنجد أن ﺙ واحد يساوي ثمانية. وعليه، فإن سرعة الجسيم عند الزمن ﻥ تساوي اثنين ﻥ تربيع زائد ستة ﻥ زائد ثمانية. المطلوب منا في السؤال هو إيجاد السرعة الابتدائية للجسيم، أي سرعة الجسيم عندما يكون الزمن ﻥ يساوي صفرًا. إذن، يمكننا التعويض بـ ﻥ يساوي صفرًا في دالة السرعة لنجد أن السرعة الابتدائية للجسيم لا بد أن تساوي اثنين مضروبًا في صفر تربيع زائد ستة مضروبًا في صفر زائد ثمانية. وهذا يساوي ثمانية؛ أي إن السرعة الابتدائية للجسيم هي ثمانية أمتار لكل ثانية.