فيديو: تقدير نهايات الدوال عند قيمة محددة بيانيًّا

سوزان فائق

يوضح الفيديو تقدير نهايات الدوال باستخدام التمثيل البياني عند قيم محدَّدة، والتحقُّق من القيمة باستخدام جدول القيم، وأمثلة عليها، ويوضح أنواع النهايات.

١٠:٤٣

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على تقدير النهايات للدوال عند قيم محدّدة بيانيًّا. هنشوف إزاي هنقدّر نهايات الدوال عند قيم محدّدة على التمثيل البياني. وإزّاي كمان نؤكد الإجابة عدديًّا باستخدام جدول.

إذا اقتربت قِيَم دالة س من قيمة وحيدة ل. كلما اقتربت قِيَم س من العدد ك من كلا الجهتين؛ لذلك فإن نهاية الدالة س عندما تقترب س من ك، هي ل. وبتكتب على الصورة نهاية الدالة س لما الـ س بتروح للـ ك تساوي ل.

على الرسم البياني … القيمة اللي إحنا عايزين نجيب النهاية لما بتقترب منها اللي هي قيمة للعدد ك. قيمتها د ك. الـ س واحد قيمتها د س واحد. س اتنين قيمتها د س اتنين. ده من الناحية الشمال. طيب من الناحية اليمين س أربعة قيمتها د س أربعة. س تلاتة قيمتها د س تلاتة. يعني كل امّا بنقترب من القيمة ك، بتقترب معانا الدالة من د ك. وهي دي بنقول النهاية. يعني قيمة د ك اللي إحنا هنقترب عندها … النقطة ك، دي بنسميها نهاية الدالة س، لما الـ س بتقرب من الـ ك، وقيمتها بتساوي ل. يبقى النهاية عندنا هي القيمة ل.

وعلشان نعرف نقدّر قيمة نهاية الدالة، بنقول على الرسم د س عندما تقترب س من العدد ك … أي أن نهاية الدالة س لما الـ س بتروح للـ ك هي دي القيمة النهاية. وذلك من خلال تمثيل الدالة بيانيًّا زيّ ما إحنا رسمناها كده، أو إنشاء جدول لقيم دالة س.

دي اللي هتبقى طريقة الحل. يا إما بالرسم البياني. أو بانشاء جدول لقيم دالة س، من الناحيتين لقيمة العدد ك. يعني عندنا العدد ك، هنشوف قيم من اليمين وقيم من اليسار، ونشوف القيمة اللي هتوصل لها دالة ك هتبقى كام.

نقلب الصفحة وناخد مثال.

قدّر نهاية سالب تلاتة س زائد واحد، لما الـ س بتروح للاتنين. باستخدام التمثيل البياني. ثم دعّم الحل عدديًّا.

هنمثّل الدالة سالب تلاتة س زائد واحد بيانيًّا. ص تساوي سالب تلاتة س زائد واحد. لما الـ س هتساوي صفر، يبقى الـ ص قيمتها واحد. ولما الـ ص هتساوي صفر، يبقى س هتساوي تلت. هنحط النقطتين على التمثيل البياني ونوصّل ما بينهم الخط المستقيم. يبقى الخط ص يساوي سالب تلاتة س زائد واحد، ده اللي لونه أخضر. هنشوف لما الـ س بتروح للاتنين على الخط المستقيم، هنلاقي الدالة بتروح إلى سالب خمسة. إذن نهاية الدالة سالب تلاتة س زائد الواحد، لما الـ س بتقترب من الاتنين، هتساوي سالب خمسة.

وعلشان ندعّم الحل عدديًّا، هنستخدم جدول يحتوي قيم للدالة س باستخدام قيم قريبة من العدد اتنين. من الجهتين؛ من اليمين، ومن اليسار. هنعوّض بالقيم اللي قدامنا دي في الجدول، في قيمة الدالة د س. زي ما إحنا شايفين من اليمين هتقترب إلى سالب خمسة. ومن اليسار كمان هتقترب من السالب خمسة.

يبقى يوضّح الجدول أنه كلما اقتربت س من العدد اتنين من اليمين أو اليسار، فإن قِيَم دالة س تقترب من السالب خمسة. وده اللي بيدعّم الحل اللي إحنا جبناه من التحليل البياني.

قيمة النهاية اللي طلعت لنا هنا اللي هي السالب خمسة دي، هي نفس القيمة لو عوّضنا بالاتنين في الدالة سالب تلاتة س زائد واحد. لو عوضنا بالاتنين هتبقى سالب تلاتة في اتنين زائد الواحد، هتساوي سالب خمسة. طيب ده معناه إن كل مرة النهاية هتبقى نفس قيمة الدالة؟ لأ طبعًا؛ لأن النهاية مقصود بيها القيمة للدالة لمّا نقترب من القيمة اللي هو المطلوب عندها النهاية، مش لما تساويها. يعني مش لازم كل مرة قيمة الدالة تبقى هي نفسها قيمة النهاية.

طيب نقلب الصفحة وناخد مثال.

قدّر نهاية الدالة س تربيع ناقص تسعة على س ناقص تلاتة، لما الـ س تقترب من التلاتة باستخدام التمثيل البياني. ودعّم الحل باستخدام جدول القيم.

التحليل بيانيًّا مجال الدالة بيبقى الأعداد الحقيقية ناقص العدد تلاتة؛ لأن المقام لا يمكن إنه يساوي صفر. فبالتالي الـ س ما ينفعش تساوي تلاتة. طيب علشان نرسم الدالة دي س تربيع ناقص تسعة على س ناقص تلاتة، هنحلّل الـ س تربيع ناقص تسعة. هتبقى س ناقص تلاتة في س زائد تلاتة. وعندنا المقام س ناقص تلاتة. هنختصر البسط مع المقام. هيتبقّى لنا س زائد تلاتة.

يبقى الدالة س تربيع ناقص تسعة على س ناقص تلاتة، هتتمثل بيانيًّا بالخط المستقيم س زائد تلاتة. بس إحنا عارفين إن الدالة دي ما فيش فيها قيمة تلاتة. يعني الـ س لا يمكن أن تساوي التلاتة.

الرسم اللي قدامنا ده ده بيمثّل المستقيم س زائد تلاتة. لكن الدالة س تربيع ناقص تسعة على س ناقص تلاتة … هيبقى فيها النقطة تلاتة وستة هتبقى مفرّغة بالشكل ده؛ لأن الدالة غير معرَّفة عند قيمة الـ س تساوي تلاتة. يبقى لذا في التمثيل البيانه للدالة د س هو نفسه التمثيل البياني المستقيم ص يساوي س زائد تلاتة، مع وجود دايرة صغيرة غير مظلَّلة عند س تساوي تلاتة.

التمثيل البياني بيبيّن لنا إن دالة س تساوي س تربيع ناقص تسعة على س ناقص تلاتة. إنه كلما اقتربت س من التلاتة، فإن قيمة دالة س هتقترب من الستة. يبقى نهاية الدالة س تربيع ناقص تسعة على س ناقص تلاتة، لما الـ س تقترب من التلاتة، هتساوي ستة. يبقى قيمة النهاية هنا اللي هي هتساوي ستة، لا تساوي قيمة الدالة عند س تساوي تلاتة. لأن الدالة غير معرّفة عند الـ س تساوي تلاتة.

هندعم الحل باستخدام جدول القيم. زي ما إحنا شايفين، القيم لما هتقترب من س تساوي تلاتة. دالة الـ س هتقترب من اليمين ومن اليسار إلى العدد ستة. يبقى كلما اقتربت قيم س من التلاتة، فإن قيم دالة الـ س تقترب من العدد ستة.

نقلب الصفحة ونلخّص الكلام اللي قلناه.

نلاحظ من المثال الأول أن نهاية الدالة سالب تلاتة س زائد واحد، لما الـ س بتقترب من الاتنين. هي نفسها قيمة الدالة عند اتنين، اللي هي د اتنين. لكن نهاية الدالة لا تساوي دائمًا قيمة الدالة. وده اللي شفنا في المثال التاني. بنلاحظ إن قيم الدالة س بتقترب من العدد ستة، عند اقتراب قيم س من العدد تلاتة. على الرغم من إن د تلاتة لا تساوي ستة. لأن س تربيع ناقص تسعة على س ناقص تلاتة غير معرَّفة عند الـ س تساوي تلاتة.

يبقى المفهوم الهام اللي اتكلمنا عنه: عدم اعتماد النهاية على قيمة الدالة عند نقطة. لا تعتمد نهاية الدالة س عندما تقترب س من العدد ك، على قيمة الدالة عند ك.

عندنا تلات حالات. الحالة الأولى: إن نهاية الدالة هي نفس القيمة للدالة عند النقطة اللي بنجيب عندها النهاية.

والحالة التانية: إن الدالة تكون معرَّفة عند النقطة، بس قيمة لها قيمة تانية. يعني هنا عند الـ ك الدالة قيمتها ن. هنا عند الـ ك الدالة قيمتها ل، هي نفس قيمة النهاية.

والحالة التالتة: إن الدالة بتكون غير معرَّفة عند قيمة الـ س تساوي ك. لكن النهاية موجودة قيمتها ل. يبقى النهاية عند عدد، لا تعني قيمة الدالة عند ذلك العدد. وإنما قيمة الدالة عندما تقترب س من ذلك العدد. وده اللي اتكلمنا عليه في الفيديو ده. إزاي هنعرف نقدر قيمة نهايات الدوال عند قيمة محدّدة بيانيًّا. وكمان نتأكد من إن الحل بتاعنا صحيح باستخدام الجدول.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.