فيديو الدرس: العمليات على الأحداث الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد احتمالات تقاطع الأحداث واتحادها.

١٤:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد احتمالات تقاطع الأحداث واتحادها. سنبدأ بتناول تعريف اتحاد الأحداث وتقاطعها، وكيف يمكن تمثيلها على شكل فن.

التقاطع بين الحدثين ﺃ وﺏ، ويشار له بـ ﺃ تقاطع ﺏ، هو مجموعة كل النواتج التي تكون عناصر في كلتا المجموعتين ﺃ وﺏ. بعبارة أخرى، ﺃ تقاطع ﺏ هو حدث وقوع كلا الحدثين ﺃ وﺏ معًا. ويمكن تمثيل ذلك على شكل فن كما هو موضح. وسنظلل المنطقة الواقعة في الدائرة ﺃ وفي الدائرة ﺏ. اتحاد الحدثين ﺃ وﺏ، ويشار له بـ ﺃ اتحاد ﺏ، هو مجموعة كل النواتج التي تكون عناصر في إحدى المجموعتين ﺃ وﺏ أو في كلتيهما. وهذا يعني أن ﺃ اتحاد ﺏ هو حدث وقوع ﺃ، أو وقوع ﺏ، أو وقوعهما معًا. ويمكننا توضيح ﺃ اتحاد ﺏ على شكل فن بتظليل كل ما يقع في الدائرة ﺃ أو في الدائرة ﺏ. سنتناول الآن بعض الأمثلة التي يمكننا فيها استخدام أشكال فن لتحديد احتمالات تقاطع الأحداث واتحادها.

يمثل الشكل فضاء العينة ﻑ والأحداث ﺃ وﺏ وﺟ. أوجد احتمال ﺃ تقاطع ﺏ‏.

إننا نعلم أن تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ هو النواتج التي تقع في الحدث ﺃ وفي الحدث ﺏ معًا. وفي شكل فن، يمثل ذلك بالتداخل بين الدائرة ﺃ والدائرة ﺏ. ويمكننا أن نلاحظ من شكل فن أن فضاء العينة ﻑ يحتوي على الأعداد أربعة وستة وثمانية و١٦ و١٨ و١٩. أي لدينا إجمالًا ستة نواتج. ومن بين هذه النواتج الستة، نجد أن هناك عنصرًا واحدًا فقط عند تقاطع الحدث ﺃ والحدث ﺏ؛ وهو العدد ستة. ونحن نعرف أنه يمكن كتابة احتمال وقوع حدث ما في صورة عدد النواتج الناجحة على عدد النواتج الممكنة. وهذا يعني أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي واحدًا من ستة. فهناك فرصة واحدة من ست فرص لاختيار ناتج يقع في الحدث ﺃ والحدث ﺏ.

سؤالنا التالي هو مسألة احتمال ذات سياق.

مجموعة من ١٠٠ شخص، يمتلك ٤٦ منهم كلابًا، بينما يمتلك ٤١ منهم قططًا، ويربي ٢٨ منهم أرانب. يمتلك ١٢ شخصًا كلابًا وقططًا، بينما يمتلك ١٠ منهم قططًا وأرانب، ويمتلك تسعة منهم كلابًا وأرانب. يمتلك ثمانية أشخاص كلابًا وقططًا وأرانب. لدينا أربعة أجزاء في هذا السؤال. أوجد احتمال الاختيار العشوائي لشخص يمتلك كلابًا وقططًا وأرانب. أوجد احتمال الاختيار العشوائي لشخص يمتلك كلابًا وأرانب فقط. أوجد احتمال اختيار شخص يمتلك حيوانات أليفة. أوجد احتمال اختيار شخص ليس لديه حيوانات أليفة.

في جميع الأجزاء الأربعة، مطلوب منا كتابة الإجابة في صورة كسر في أبسط صورة. يمكن الإجابة عن أول جزأين من السؤال مباشرة. إننا نعرف أن المجموعة تحتوي على ١٠٠ شخص، منهم ثمانية لديهم كلاب وقطط وأرانب. هذا يعني أن احتمال الاختيار العشوائي لشخص لديه كلاب وقطط وأرانب هو ثمانية من ١٠٠. وبقسمة كل من البسط والمقام على أربعة، نجد أن هذا يبسط إلى اثنين من ٢٥ أو اثنين على ٢٥. علمنا من السؤال أيضًا أن تسعة أشخاص يمتلكون كلابًا وأرانب. وهذه مجموعة جزئية من مجموعة الكلاب والقطط والأرانب؛ أي مجموعة الأشخاص الذين لديهم الحيوانات الثلاثة. ونحن نعرف أن ثمانية أشخاص لديهم كلاب وقطط وأرانب. إذن، يمكننا طرح ثمانية من تسعة لحساب عدد الأشخاص الذين يمتلكون كلابًا وأرانب فقط. وهذا يساوي واحدًا. ومن ذلك، يمكننا استنتاج أن احتمال الاختيار العشوائي لشخص لديه كلاب وأرانب فقط هو واحد من ١٠٠.

هناك طريقة بديلة لتمثيل ذلك؛ وهي استخدام شكل فن. وسنفرغ الآن بعض المساحة لرسمه. يتكون شكل فن هنا من ثلاثة قطاعات؛ أحدها للكلاب والثاني للقطط والثالث للأرانب. وتمثل أجزاء شكل فن التي تتداخل فيها هذه القطاعات الأشخاص الذين لديهم اثنان أو أكثر من الحيوانات الأليفة. بما أن ثمانية أشخاص لديهم هذه الحيوانات الأليفة الثلاثة، يمكننا وضع ثمانية في تقاطع الكلاب والقطط والأرانب. وبما أن تسعة أشخاص لديهم كلاب وأرانب، وثمانية منهم لديهم الحيوانات الأليفة الثلاثة؛ فإن شخصًا واحدًا فقط لديه كلب وأرنب فقط. يمكننا الاستمرار بالطريقة نفسها، نحن نعرف أن ١٠ أشخاص لديهم قطط وأرانب. وهذا يعني أن شخصين لديهما قطط وأرانب فقط. وبالمثل، بما أن إجمالي ١٢ شخصًا لديهم كلاب وقطط، فإن أربعة منهم لديهم كلاب وقطط فقط.

بعد ذلك، لدينا ٢٨ شخصًا لديهم أرانب. وهذا يعني أن مجموع الأعداد في قطاع الأرانب لا بد أن يساوي ٢٨؛ ومن ثم يكون هناك ١٧ شخصًا لديهم أرانب فقط. وبتكرار ذلك مع القطط والكلاب، نجد أن ٢٧ شخصًا لديهم قطط فقط، و٣٣ شخصًا لديهم كلاب فقط. ولكي نحسب عدد الأشخاص الذين لديهم حيوانات أليفة، يمكننا إيجاد ناتج جمع الأعداد السبعة في شكل فن حاليًّا. هذا يساوي ٩٢، وهذا يعني أن احتمال الاختيار العشوائي لأي شخص لديه حيوان أليف هو ٩٢ من ١٠٠. وبما أن كلًّا من البسط والمقام يقبل القسمة على أربعة، يمكن تبسيط ذلك الكسر إلى ٢٣ على ٢٥. إذن، احتمال اختيار شخص لديه حيوانات أليفة هو ٢٣ من ٢٥.

وبما أن مجموع كل الأعداد في شكل فن لا بد أن يساوي ١٠٠، يمكننا حساب العدد الذي يقع خارج القطاعات الثلاثة بطرح ٩٢ من ١٠٠. إذن، هناك ثمانية أشخاص في المجموعة ليس لديهم حيوانات أليفة. ومن ثم، احتمال اختيار شخص ليس لديه حيوان أليف عشوائيًّا هو ثمانية من ١٠٠. ومرة أخرى، يمكن تبسيط هذا الكسر بقسمة البسط والمقام على أربعة. إذن، احتمال الاختيار العشوائي لشخص ليس لديه حيوان أليف هو اثنان من ٢٥.

لقد بين لنا هذا السؤال أن رسم شكل فن يمكن أن يكون مفيدًا عند حساب احتمالات وقوع الأحداث. وقبل استعراض أي أمثلة أخرى، سنرى كيف يقودنا تعريف اتحاد الأحداث وتقاطعها إلى قاعدة عامة. تنص قاعدة الجمع للاحتمالات على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. ويمكن توضيح ذلك أيضًا باستخدام أشكال فن. عند إضافة احتمال الحدث ﺃ إلى احتمال الحدث ﺏ، فإننا نجمع التقاطع مرتين. وهذا يعني أنه بطرح احتمال تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ من ذلك، فإننا نحصل على احتمال اتحاد الحدثين ﺃ وﺏ. دعونا نتناول الآن كيفية استخدام هذه القاعدة عمليًّا.

افترض أن ﺃ وﺏ حدثان لهما احتمالان؛ احتمال ﺃ هو ٠٫٢، واحتمال ﺏ هو ٠٫٤٧. إذا كان احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫١٨، فأوجد احتمال ﺃ اتحاد ﺏ.

للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نتذكر قاعدة الجمع للاحتمالات التي تربط بين هذه الأحداث الأربعة جميعها. تنص هذه القاعدة على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. وبالتعويض بالقيم المذكورة في هذا السؤال، نجد أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ٠٫٢ زائد ٠٫٤٧ ناقص ٠٫١٨. وهذا يساوي ٠٫٤٩. من المهم ملاحظة أنه يمكننا أيضًا تمثيل ذلك باستخدام أشكال فن، كما هو موضح.

في السؤال الأخير، سنستخدم قاعدة الجمع للاحتمالات لحل مسألة ذات سياق.

يجب على الطلاب في إحدى المدارس ارتداء القمصان الثقيلة أو السترات الفضفاضة، ويسمح لهم بارتدائهما معًا. يوجد في أحد الفصول الدراسية ٣٢ طالبًا، منهم ١٢ طالبًا يرتدون سترات فضفاضة، ويرتدي أربعة طلاب قمصانًا ثقيلة وسترات فضفاضة معًا. افترض أن ﺃ هو حدث اختيار طالب يرتدي سترة فضفاضة عشوائيًّا من الفصل، وأن ﺏ هو حدث اختيار طالب يرتدي قميصًا ثقيلًا عشوائيًّا من الفصل. لدينا أربعة أجزاء في هذا السؤال. أوجد احتمال ﺃ، وأوجد احتمال ﺏ، وأوجد احتمال ﺃ تقاطع ﺏ، وأوجد احتمال ﺃ اتحاد ﺏ.

وفي جميع الحالات الأربعة، مطلوب منا كتابة الإجابة في صورة كسر في أبسط صورة. يمكننا حساب الجزأين الأول والثالث من السؤال مباشرة. إننا نعرف أن ١٢ طالبًا من أصل ٣٢ طالبًا يرتدون سترات فضفاضة؛ وعليه فإن احتمال ﺃ هو ١٢ من ٣٢. وبما أن كلًّا من البسط والمقام يقبل القسمة على أربعة، يمكن تبسيط ذلك إلى ثلاثة من ثمانية أو ثلاثة أثمان. ونعرف من السؤال أيضًا أن أربعة من الطلاب الذين يرتدون السترات الفضفاضة يرتدون قمصانًا ثقيلة أيضًا. هذا يعني أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي أربعة من ٣٢؛ لأن هذا هو احتمال اختيار طالب يرتدي سترة وقميصًا. ومرة أخرى، يمكننا قسمة البسط والمقام على أربعة، وهو ما يساوي ثمنًا.

مفتاح حل هذا السؤال هو كلمة «يجب»؛ إذ يخبرنا السؤال أن الطلاب عليهم ارتداء قميصًا ثقيلًا أو سترة فضفاضة. يمكننا استخدام هذه الحقيقة لكتابة احتمال ﺃ اتحاد ﺏ. بما أن جميع الطلاب عليهم ارتداء قميص ثقيل أو سترة فضفاضة أو كليهما، فإن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ٣٢ على ٣٢، وهو ما يساوي واحدًا. ومن المؤكد أن الطالب المختار عشوائيًّا يرتدي قميصًا ثقيلًا أو سترة فضفاضة على الأقل.

هذا يقودنا إلى الجزء الثاني من السؤال، وهو حساب احتمال ﺏ؛ أي حدث الاختيار العشوائي لطالب يرتدي قميصًا ثقيلًا. يمكننا الإجابة عن ذلك الجزء باستخدام قاعدة الجمع للاحتمالات، والتي تنص على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. بالتعويض بالقيم التي نعرفها بالفعل، يصبح لدينا واحد يساوي ثلاثة على ثمانية زائد احتمال ﺏ ناقص ثمن. سنبسط الطرف الأيسر إلى اثنين على ثمانية زائد احتمال ﺏ، وهو ما يساوي ربعًا زائد احتمال ﺏ. وبطرح ربع من طرفي هذه المعادلة، نجد أن احتمال ﺏ يساوي ثلاثة أرباع.

حسنًا، نحن لدينا إجابات للأجزاء الأربعة في هذا السؤال. وهي ثلاثة أثمان وثلاثة أرباع وثمن وواحد، على الترتيب. يمكننا أيضًا تمثيل المعلومات على شكل فن؛ حيث تكون الأعداد الموضحة هي أعداد الطلاب في كل قطاع. هناك ١٢ طالبًا يرتدون السترات الفضفاضة، و٢٤ طالبًا يرتدون قمصانًا ثقيلة، وأربعة طلاب يرتدون سترات وقمصانًا معًا. ومجموع الأعداد الثلاثة يعطينا إجمالي ٣٢ طالبًا.

والآن سنلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. التقاطع بين الحدثين ﺃ وﺏ هو مجموعة كل النواتج التي تكون عناصر في كلتا المجموعتين ﺃ وﺏ. اتحاد الحدثين ﺃ وﺏ هو مجموعة كل النواتج التي تكون عناصر في إحدى المجموعتين ﺃ وﺏ أو في كلتيهما. هذان التعريفان مرتبطان معًا بقاعدة الجمع للاحتمالات؛ والتي تنص على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. ويمكن تمثيل ذلك باستخدام أشكال فن كما هو موضح.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.