نسخة الفيديو النصية
إذا كانت ﺩﺱ تساوي واحدًا على ١٥ﺱ، حيث ﺱ ينتمي إلى مجموعة القيم: واحد، اثنين، ثلاثة حتى ﻙ، هي دالة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺱ، فاحسب الآتي: قيمة ﻙ، واحتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين وأقل من أربعة.
للإجابة عن الجزء الأول من هذا السؤال، نتذكر أنه إذا كانت ﺩﺱ دالة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي متقطع، فلها خاصيتان. أولًا، يجب أن تتراوح قيم ﺩﺱ بين صفر وواحد لكل قيمة من القيم ﺱ في مدى المتغير العشوائي المتقطع. ثانيًا، مجموع كل قيم ﺩﺱ، أي مجموع كل الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي، يجب أن يساوي واحدًا. يمكننا إيجاد مقادير تعبر عن قيم ﺩﺱ لكل من القيم في مدى هذا المتغير العشوائي المتقطع.
أولًا، ﺩ لواحد تساوي واحدًا على ١٥ مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي واحدًا على ١٥. ﺩ لاثنين تساوي واحدًا على ١٥ مضروبًا في اثنين، وهو ما يساوي اثنين على ١٥. وﺩ لثلاثة تساوي واحدًا على ١٥ مضروبًا في ثلاثة، وهو ما يساوي ثلاثة على ١٥. إذا أوجدنا مجموع هذه الاحتمالات الثلاثة، نحصل على ستة على ١٥. وبما أن هذا لا يساوي واحدًا، فإننا نعلم أنه لا بد من وجود قيم أخرى في مدى هذا المتغير العشوائي المتقطع. إذن ﺩ لأربعة تساوي واحدًا على ١٥ مضروبًا في أربعة، وهو ما يساوي أربعة على ١٥. وبإضافة هذه القيمة إلى المجموع، نحصل على ١٠ على ١٥، الذي لا يزال لا يساوي واحدًا.
القيمة التالية لـ ﺱ هي خمسة. ﺩ لخمسة تساوي واحدًا على ١٥ مضروبًا في خمسة، وهو ما يساوي خمسة على ١٥. وبإضافة هذه القيمة يعطينا ١٥ على ١٥، وهو ما يساوي واحدًا، ومن ثم يمكننا التوقف هنا. هذا يعني أن قيمة ﻙ، وهي أكبر قيمة لـ ﺱ في مدى هذا المتغير العشوائي المتقطع، تساوي خمسة. وبذلك نكون قد أجبنا عن الجزء الأول من السؤال.
في الجزء الثاني من السؤال، مطلوب منا حساب احتمال أن يكون هذا المتغير العشوائي المتقطع ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين وأقل من أربعة. إذن بدلالة خط الأعداد، نبحث عن احتمال وقوع ﺱ في الفترة الموجودة هنا. لكن ﺱ متغير عشوائي متقطع، لذا يمكن أن يأخذ القيم التي في مداه فقط. ﺱ يمكن أن يساوي واحدًا أو اثنين أو ثلاثة أو أربعة أو خمسة فقط. ولا يمكن أن يساوي، مثلًا، ٢٫٥. لذا، فإن احتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين وأقل من أربعة تحديدًا هو مجموع احتمالات أن يكون ﺱ مساويًا لأي قيم في مداه تقع في هذه الفترة. وهذا يساوي احتمال أن يكون ﺱ مساويًا لاثنين زائد احتمال أن يكون ﺱ مساويًا لثلاثة.
نعرف قيمتي هذين الاحتمالين لأننا كتبناهما في الجزء الأول من السؤال. احتمال أن يكون ﺱ مساويًا لاثنين، أو ﺩ لاثنين، هو اثنان على ١٥. واحتمال أن يكون ﺱ مساويًا لثلاثة هو ثلاثة على ١٥. إذن، لدينا اثنان على ١٥ زائد ثلاثة على ١٥، وهو ما يساوي خمسة على ١٥. وبالطبع، يمكن تبسيط ذلك عن طريق قسمة كل من البسط والمقام على خمسة، وهو ما يعطينا ثلثًا. بذلك، نكون قد أكملنا حل المسألة. قيمة المجهول ﻙ في التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ هي خمسة. واحتمال أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين وأقل من أربعة هو ثلث.
