نسخة الفيديو النصية
أوجد جميع قيم ﻡ التي تكون عندها نهاية الدالة موجودة حيث يقترب ﺱ من صفر، عندما تكون ﺩ ﺱ تساوي سالب ستة ﻡ ناقص ١٨ في جتا ﺱ، عندما يكون ﺱ أقل من صفر، وﺩ ﺱ تساوي ظا ١٢ﺱ مقسومًا على ﻡ في ﺱ، عندما يكون ﺱ أكبر من صفر.
في هذا السؤال، لدينا دالة متعددة التعريف ﺩ ﺱ تتضمن قيمة مجهولة ﻡ. وعلينا تحديد جميع قيم ﻡ الممكنة التي توجد عندها نهاية هذه الدالة عندما يقترب ﺱ من صفر. للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نبدأ بتذكر ما يعنيه وجود نهاية دالة عند نقطة ما. هناك العديد من الطرق المختلفة لتوضيح ذلك، وهناك أيضًا عدة طرق مختلفة توضح عدم وجود النهاية. لذا، من الأفضل عادة أن نلقي نظرة على مخرجات الدالة حول قيمة ﺱ هذه. فيمكن أن يعطينا هذا فكرة مفيدة عن سلوك الدالة.
يمكننا ملاحظة شيء مثير للاهتمام. ﺱ يساوي صفرًا هي إحدى نقطتي طرفي فترة المجال الفرعي لهذه الدالة. هذا يعني أن للدالة تعريفًا مختلفًا عندما يكون ﺱ أقل من صفر، وتعريفًا مختلفًا عندما يكون ﺱ أكبر من صفر. ولكي توجد هذه النهاية، علينا تحليل النهايتين اليسرى واليمنى. نتذكر إذن أننا نقول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لدالة ﺩ ﺱ تكون موجودة وتساوي قيمة محددة ﻝ إذا وجدت كل من النهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ من يمين ﺩ ﺱ والنهاية عند اقتراب ﺱ من ﺃ من يسار ﺩ ﺱ، وكلتاهما تساويان ﻝ.
هذا يعني أنه يمكننا التحقق من وجود نهاية دالة عن طريق التحقق من أربعة أمور. أولًا، علينا التحقق من وجود النهاية من اليمين. ثانيًا، علينا التأكد من أنها تساوي ﻝ. ثالثًا، علينا التحقق من وجود النهاية من اليسار. وأخيرًا، علينا التأكد من أنها تساوي ﻝ أيضًا.
لتطبيق هذا على الدالة لدينا، علينا إيجاد قيمتي النهايتين اليسرى واليمنى. لنبدأ بالنهاية اليسرى. بما أن قيمة ﺃ لدينا تساوي صفرًا، فإن هذه هي النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من يسار ﺩ ﺱ. وبما أننا نحسب النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من يسار ﺩ ﺱ، فإن قيم ﺱ تكون أقل من صفر. إذن الدالة ﺩ ﺱ تساوي سالب ستة ﻡ ناقص ١٨ جتا ﺱ. وإذا كانت الدوال متساوية، فإن نهاياتها عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليسار تكون متساوية أيضًا. كل ما علينا فعله هو إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من يسار سالب ستة ﻡ ناقص ١٨ جتا ﺱ. وهذا ثابت زائد دالة مثلثية، لذا يمكننا إجراء ذلك باستخدام التعويض المباشر.
بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في هذه الدالة، نحصل على سالب ستة ﻡ ناقص ١٨ مضروبًا في جتا صفر. وجتا صفر يساوي واحدًا، إذن هذا يساوي سالب ستة ﻡ ناقص ١٨. تجدر الإشارة إلى أن هذه قيمة محددة لأي قيمة حقيقية لـ ﻡ. وهكذا نكون قد أثبتنا أن هذه النهاية موجودة وأوجدنا قيمة ﻝ. لذا دعونا نضع ذلك في اعتبارنا بينما نحاول إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من يمين ﺩ ﺱ. هذه المرة، بما أننا نوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من اليمين، فإن قيم ﺱ ستكون أكبر من صفر، وهو ما يعني أن الدالة ﺩ ﺱ تساوي ظا ١٢ﺱ مقسومًا على ﻡ في ﺱ. وبما أن الدوال متساوية على يمين ﺱ، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من اليمين ستكون متساوية أيضًا.
هذا يعني أن علينا إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من يمين ظا ١٢ﺱ مقسومًا على ﻡ في ﺱ. وهذه النهاية مشابهة جدًّا لإحدى نتائج النهاية المثلثية. نعلم أنه لأي ثابت حقيقي ﺃ، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ظا ﺃﺱ مقسومًا على ﺱ تساوي ﺃ. ومن الجدير بالملاحظة أن هاتين النتيجتين ستتحققان باعتبار أن النهايتين اليسرى واليمنى يجب أن تكونا متساويتين لكي يتحقق شرط وجود النهاية القياسية. ولكن لا يمكننا تطبيق ذلك مباشرة حيث نقسم على ﻡ في ﺱ في المقام.
علينا إذن أخذ العامل واحد على ﻡ خارج النهاية. وهذا يعطينا واحدًا على ﻡ مضروبًا في النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من يمين ظا ١٢ﺱ مقسومًا على ﺱ. ووفقًا لنتيجة النهاية، فإن هذا يساوي معامل ﺱ، وهو ١٢. إذن نحصل على ١٢ في واحد على ﻡ، وهو ما يساوي ١٢ على ﻡ. ومن ثم، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ من يمين ﺩ ﺱ موجودة، بشرط أن يكون ﻡ لا يساوي صفرًا. ونحن نعلم بالفعل أن ﻡ قيمة غير صفرية؛ لأننا نقسم على ﻡ في تعريف الدالة ﺩ ﺱ.
يعني هذا أنه ثمة أمر أخير علينا التأكد منه. يجب أن تكون قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من يسار ﺩ ﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من يمين ﺩ ﺱ لكي تكون هذه النهاية موجودة. ويمكننا التعويض بالتعبيرات التي أوجدناها لكل نهاية. يجب أن يكون سالب ستة ﻡ ناقص ١٨ يساوي ١٢ على ﻡ. ولحل هذه المعادلة، سنبدأ بضرب طرفيها في ﻡ والقسمة على ستة. وهذا يعطينا سالب ﻡ تربيع ناقص ثلاثة ﻡ يساوي اثنين. يمكننا بعد ذلك إعادة ترتيب هذه المعادلة التربيعية لنحصل على ﻡ تربيع زائد ثلاثة ﻡ زائد اثنين يساوي صفرًا، ثم نحلل المعادلة التربيعية تحليلًا كاملًا. فنحصل على ﻡ زائد واحد مضروبًا في ﻡ زائد اثنين يساوي صفرًا.
وبالطبع، لكي يساوي حاصل الضرب صفرًا، يجب أن يكون أحد العوامل صفرًا. فإما أن يكون ﻡ يساوي سالب واحد أو ﻡ يساوي سالب اثنين. ويمكننا كتابة ذلك على صورة مجموعة، وهي المجموعة التي تحتوي على سالب واحد وسالب اثنين، وهذه هي الإجابة النهائية. وبذلك، نكون قد استطعنا إثبات أن هناك قيمتين فقط تكون النهاية موجودة عندهما عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺩ ﺱ تساوي سالب ستة ﻡ ناقص ١٨ جتا ﺱ عندما يكون ﺱ أقل من صفر، وﺩ ﺱ تساوي ظا ١٢ﺱ مقسومًا على ﻡﺱ عندما يكون ﺱ أكبر من صفر، ويجب أن تكون هاتان القيمتان في المجموعة التي تحتوي على سالب واحد وسالب اثنين.
