نسخة الفيديو النصية
انظر التمثيل البياني للدالة ﺩ ﺱ تساوي واحدًا مقسومًا على واحد ناقص ﺱ زائد اثنين. ما سلوك طرفي المنحنى عندما تقترب قيمة ﺱ من واحد؟ (أ) تقترب قيمة ﺹ من ∞ عندما تقترب ﺱ من واحد من الاتجاه الموجب، وتقترب من سالب ∞ عندما تقترب ﺱ من واحد من الاتجاه السالب. (ب) تقترب قيمة ﺹ من سالب ∞ عندما تقترب ﺱ من واحد من الاتجاه الموجب، وتقترب من ∞ عندما تقترب ﺱ من واحد من الاتجاه السالب. (ج) تقترب قيمة ﺹ من ∞ عندما تقترب ﺱ من واحد من الاتجاه السالب أو من الاتجاه الموجب. (د) تقترب قيمة ﺹ من سالب ∞ عندما تقترب ﺱ من واحد من الاتجاه السالب أو من الاتجاه الموجب.
في هذا السؤال، لدينا تمثيل بياني للدالة ﺩ ﺱ تساوي واحدًا مقسومًا على واحد ناقص ﺱ زائد اثنين. وعلينا استخدام هذا التمثيل البياني أو الدالة المعطاة لتحديد سلوك طرفي منحنى الدالة عندما تقترب قيم ﺱ من واحد. هناك عدة طرق مختلفة يمكننا بها حل هذا السؤال. يمكننا على سبيل المثال تحديد سلوك طرفي هذا المنحنى تمامًا عندما تقترب قيم ﺱ من واحد باستخدام الدالة المعطاة.
لمعرفة كيف يمكننا فعل ذلك، سنتناول المقام في الدالة المعطاة؛ وهو واحد ناقص ﺱ. إذا كانت قيم ﺱ أكبر من واحد، أي إذا كانت قيم ﺱ في الاتجاه الموجب للعدد واحد، فسنجد أن واحدًا ناقص ﺱ يعطينا قيمة سالبة؛ حيث إننا سنطرح عددًا أكبر من واحد من العدد واحد. ويمكننا أيضًا ملاحظة أنه كلما اقتربت قيم ﺱ أكثر فأكثر من واحد، يقترب مقدار واحد ناقص ﺱ أكثر فأكثر من صفر. هذا يعني أن المسافة بين واحد وﺱ تقل عندما تقترب قيم ﺱ أكثر فأكثر من واحد. ومن ثم، علينا أن نقسم واحدًا على عدد سالب له مقدار صغير. وكلما قل مقدار هذا العدد، كان مقدار مقلوبه أكبر. وإذا أضفنا اثنين إلى هذه القيمة بعد ذلك، فلن تتغير هذه الحقيقة. وعليه، نجد أن ﺩ ﺱ تقترب من سالب ∞ عندما تقترب قيم ﺱ من واحد من الاتجاه الموجب.
لكن هذا النوع من التحليل معقد قليلًا. لذا، قد يكون من المفيد بالنسبة إلينا استخدام الشكل المعطى، أو رسم شكل لمساعدتنا في تحديد هذه المعلومات إن أمكن. يمكننا فعل ذلك باسترجاع أن القيم المدخلة للدالة هي قيم الإحداثي ﺱ للنقاط الواقعة على المنحنى، والقيم المخرجة هي قيم الإحداثي ﺹ المناظرة لها. هذا يعني أنه يمكننا تحديد ما يحدث لمخرجات الدالة عندما تقترب قيم ﺱ من واحد من الاتجاه الموجب عن طريق ملاحظة ما يحدث لقيم الإحداثي ﺹ للنقاط التي تقع على المنحنى.
لفعل ذلك، سنضيف الخط الرأسي ﺱ يساوي واحدًا إلى الشكل. يمكننا ملاحظة أن المنحنى يقترب أكثر فأكثر من هذا الخط. لكنه لا يلامس الخط أبدًا. إنه خط تقارب رأسي للمنحنى. وعلى وجه التحديد، يمكننا ملاحظة أنه عندما تقترب قيم ﺱ من واحد من اليمين، تتناقص قيم الإحداثي ﺹ للنقاط الواقعة على المنحنى أكثر فأكثر. إنها غير محدودة، وعليه فإنها تقترب من سالب ∞. وإذا نظرنا إلى قيم ﺱ التي تقترب من واحد من الاتجاه السالب، فسنجد الشيء نفسه. يمكننا ملاحظة أن قيم الإحداثي ﺹ للنقاط الواقعة على المنحنى تزداد أكثر فأكثر، وهي غير محدودة. وهذا يعني أنها تقترب من موجب ∞.
وبذلك، يمكننا ملاحظة أن هذا لا ينطبق إلا على الخيار (ب). إذن، تقترب قيمة ﺹ من سالب ∞ عندما تقترب قيم ﺱ من واحد من الاتجاه الموجب، وتقترب من ∞ عندما تقترب قيم ﺱ من واحد من الاتجاه السالب.
