فيديو السؤال: حساب المقادير اللوغاريتمية باستخدام قوانين اللوغاريتمات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

احسب لوغاريتم١٩٢ للأساس اثنين ناقص لوغاريتم ثلاثة للأساس اثنين.

هذا مقدار يمكننا كتابته على الآلة الحاسبة. ولكن في الواقع، يوجد حل رائع للمسألة. بشكل عام، الفرق بين لوغاريتمات كميتين للأساس نفسه يساوي لوغاريتم خارج قسمة الكميتين لذلك الأساس.

اللوغاريتمان في هذه المسألة للأساس نفسه. إذ إن كليهما للأساس اثنين. إذن، الفرق بينهما هو لوغاريتم خارج قسمتهما للأساس اثنين، أي لوغاريتم١٩٢ على ثلاثة للأساس اثنين.

هذه الصيغة العامة هي أحد ما يعرف بقوانين اللوغاريتمات. وسنثبتها في نهاية هذا الفيديو. ‏١٩٢ على ثلاثة يساوي ٦٤. وعليه، لدينا لوغاريتم ٦٤ للأساس اثنين.

ما هو لوغاريتم٦٤ للأساس اثنين؟ إذا أطلقنا على ذلك ﺱ، فسيمكننا كتابة هذه المعادلة، التي هي بالصورة اللوغاريتمية، بالصورة الأسية اثنين أس ﺱ يساوي ٦٤. إذن، عند السؤال عن لوغاريتم٦٤ للأساس اثنين، فنحن نسأل عن القوة التي ترفع لها اثنان لتساوي ٦٤.

ولعلنا نعرف كيف نكتب ٦٤ كإحدى قوى الاثنين. في الحقيقة، إنها القوة السادسة للاثنين. اثنان أس ستة يساوي ٦٤. نلاحظ أن ﺱ، وهو لوغاريتم٦٤ للأساس اثنين، يساوي ستة. بهذا نحصل على الحل دون الحاجة إلى الآلة الحاسبة. وكل ما استخدمناه هو أحد قوانين اللوغاريتمات، الذي سنثبته الآن.

هذا هو القانون الذي علينا إثباته الآن بدلالة القيم الاختيارية ﺃ وﺏ وﺟ. جميع اللوغاريتمات التي لدينا لها الأساس ﺃ. إذن من الطبيعي أن نوجد ﺃ مرفوعًا لقوتين تساويان الطرفين.

لدينا الآن ﺃ مرفوعًا لقوة عبارة عن الفرق بين اللوغاريتمين يساوي ﺃ مرفوعًا لقوة هي لوغاريتم خارج القسمة. في الطرف الأيمن، لدينا ﺃ مرفوعًا لقوة هي مقدار ما ناقص مقدار آخر. ونعرف من قوانين الأسس أن ﺃ مرفوعًا لقوة هي مقدار ما ناقص مقدار آخر يساوي ﺃ مرفوعًا لقوة هي ذلك المقدار على ﺃ مرفوعًا لقوة هي ذلك المقدار الآخر.

إذن، بما أن المقدار هنا يساوي لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ والمقدار الآخر يساوي لوغاريتم ﺟ للأساس ﺃ، يصبح لدينا ﺃ أس لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ على ﺃ أس لوغاريتم ﺟ للأساس ﺃ يساوي ﺃ أس لوغاريتم ﺏ على ﺟ للأساس ﺃ. إذن يظل الطرف الأيسر كما هو.

وبذلك، أصبح لدينا الآن في هذه المعادلة ثلاثة مقادير بالصورة ﺃ أس لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ. ما هو لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ؟ حسنًا، لو كنت تذكر، فإنه قيمة القوة التي عليك رفع ﺃ لها لتحصل على قيمة ﺱ. وهذا قانون آخر من المفيد جدًا تذكره. ‏ﺃ أس لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ يساوي ﺱ.

بتطبيق هذه القاعدة على المعادلة ﺃ أس لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ يساوي ﺏ. وﺃ أس لوغاريتم ﺟ للأساس ﺃ يساوي ﺟ. وﺃ أس لوغاريتم ﺏ على ﺟ للأساس ﺃ يساوي ﺏ على ﺟ.

لدينا معادلة من الواضح أنها صحيحة. وإذا اتبعنا التسلسل المنطقي في الاتجاه المعاكس، فسوف نستخلص من ذلك قانون اللوغاريتمات الذي استخدمناه لحل المسألة.