فيديو: حساب المقادير اللوغاريتمية باستخدام قوانين اللوغاريتمات

احسب ‪log₂ 192 − log₂ 3‬‏.

٠٣:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

احسب ‪log 192‬‏ للأساس اثنين ناقص ‪log‬‏ ثلاثة للأساس اثنين.

هذا مقدار يمكننا كتابته على الآلة الحاسبة. ولكن في الواقع، يوجد حل رائع للمسألة. بشكل عام، الفرق بين لوغاريتمات كميتين للأساس نفسه يساوي لوغاريتم خارج قسمة الكميتين لذلك الأساس.

اللوغاريتمان في هذه المسألة للأساس نفسه. إذ إن كليهما للأساس اثنين. إذن، الفرق بينهما هو لوغاريتم خارج قسمتهما للأساس اثنين، أي ‪log 192‬‏ على ثلاثة للأساس اثنين.

هذه الصيغة العامة هي أحد ما يعرف بقوانين اللوغاريتمات. وسنثبتها في نهاية هذا الفيديو. ‏‏‪192‬‏ على ثلاثة يساوي ‪64‬‏. وعليه، لدينا ‪64 log‬‏ للأساس اثنين.

ما هو ‪log 64‬‏ للأساس اثنين؟ إذا أطلقنا على ذلك ‪𝑥‬‏، فسيمكننا كتابة هذه المعادلة، التي هي بالصورة اللوغاريتمية، بالصورة الأسية اثنين أس ‪𝑥‬‏ يساوي ‪64‬‏. إذن، عند السؤال عن ‪log 64‬‏ للأساس اثنين، فنحن نسأل عن القوة التي ترفع لها اثنان لتساوي ‪64‬‏.

ولعلنا نعرف كيف نكتب ‪64‬‏ كإحدى قوى الاثنين. في الحقيقة، إنها القوة السادسة للاثنين. اثنان أس ستة يساوي ‪64‬‏. نلاحظ أن ‪𝑥‬‏، وهو ‪log 64‬‏ للأساس اثنين، يساوي ستة. بهذا نحصل على الحل دون الحاجة إلى الآلة الحاسبة. وكل ما استخدمناه هو أحد قوانين اللوغاريتمات، الذي سنثبته الآن.

هذا هو القانون الذي علينا إثباته الآن بدلالة القيم الاختيارية ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ و‪𝑐‬‏. جميع اللوغاريتمات التي لدينا لها الأساس ‪𝑎‬‏. إذن من الطبيعي أن نوجد ‪𝑎‬‏ مرفوعًا لقوتين تساويان الطرفين.

لدينا الآن ‪𝑎‬‏ مرفوعًا لقوة عبارة عن الفرق بين اللوغاريتمين يساوي ‪𝑎‬‏ مرفوعًا لقوة هي لوغاريتم خارج القسمة. في الطرف الأيسر، لدينا ‪𝑎‬‏ مرفوعًا لقوة هي مقدار ما ناقص مقدار آخر. ونعرف من قوانين الأسس أن ‪𝑎‬‏ مرفوعًا لقوة هي مقدار ما ناقص مقدار آخر يساوي ‪𝑎‬‏ مرفوعًا لقوة هي ذلك المقدار على ‪𝑎‬‏ مرفوعًا لقوة هي ذلك المقدار الآخر.

إذن، بما أن المقدار هنا يساوي ‪log 𝑏‬‏ للأساس ‪𝑎‬‏ والمقدار الآخر يساوي ‪log 𝑐‬‏ للأساس ‪𝑎‬‏، يصبح لدينا ‪𝑎‬‏ أس ‪log 𝑏‬‏ للأساس ‪𝑎‬‏ على ‪𝑎‬‏ أس ‪log 𝑐‬‏ للأساس ‪𝑎‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ أس ‪log 𝑏‬‏ على ‪𝑐‬‏ للأساس ‪𝑎‬‏. إذن يظل الطرف الأيمن كما هو.

وبذلك، أصبح لدينا الآن في هذه المعادلة ثلاثة مقادير بالصورة ‪𝑎‬‏ أس ‪log 𝑥‬‏ للأساس ‪𝑎‬‏. ما هو ‪log 𝑥‬‏ للأساس ‪𝑎‬‏؟ حسنًا، لو كنت تذكر، فإنه قيمة القوة التي عليك رفع ‪𝑎‬‏ لها لتحصل على قيمة ‪𝑥‬‏. وهذا قانون آخر من المفيد جدًا تذكره. ‏‏‪𝑎‬‏ أس ‪log 𝑥‬‏ للأساس ‪𝑎‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏.

بتطبيق هذه القاعدة على المعادلة ‪𝑎‬‏ أس ‪log 𝑏‬‏ للأساس ‪𝑎‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏. و‪𝑎‬‏ أس ‪log 𝑐‬‏ للأساس ‪𝑎‬‏ يساوي ‪𝑐‬‏. و‪𝑎‬‏ أس ‪log 𝑏‬‏ على ‪𝑐‬‏ للأساس ‪𝑎‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏ على ‪𝑐‬‏.

لدينا معادلة من الواضح أنها صحيحة. وإذا اتبعنا التسلسل المنطقي في الاتجاه المعاكس، فسوف نستخلص من ذلك قانون اللوغاريتمات الذي استخدمناه لحل المسألة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.