فيديو السؤال: اشتقاق الدوال الكسرية باستخدام قاعدة القسمة | نجوى فيديو السؤال: اشتقاق الدوال الكسرية باستخدام قاعدة القسمة | نجوى

فيديو السؤال: اشتقاق الدوال الكسرية باستخدام قاعدة القسمة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في حصص الرياضيات العامة المباشرة على نجوى كلاسيز وتعلم المزيد حول هذا الدرس من أحد مدرسينا الخبراء!

أوجد اشتقاق ﺹ = (٢ﺱ^٧ − ٦ﺱ^٥ + ٤ﺱ^٣ − ٨)‏/‏٤ﺱ^٥.

٠٧:١٧

نسخة الفيديو النصية

أوجد اشتقاق ﺹ يساوي اثنين ﺱ أس سبعة ناقص ستة ﺱ أس خمسة زائد أربعة ﺱ تكعيب ناقص ثمانية الكل مقسوم على أربعة ﺱ أس خمسة.

مطلوب منا في السؤال إيجاد مشتقة خارج قسمة دالتين كثيرتي الحدود. وبما أن السؤال يطلب منا اشتقاق خارج قسمة دالتين، فسنفعل ذلك باستخدام قاعدة القسمة. نتذكر أن قاعدة القسمة تنص على أن مشتقة خارج قسمة دالتين ﻉ على ﻕ تساوي ﻕ في ﻉ شرطة ناقص ﻉ في ﻕ شرطة الكل مقسوم على ﻕ تربيع.

لذا، لتطبيق قاعدة القسمة، سنجعل ﻉﺱ مساويًا للدالة كثيرة الحدود في البسط. وهو ما يساوي اثنين ﺱ أس سبعة ناقص ستة ﺱ أس خمسة زائد أربعة ﺱ تكعيب ناقص ثمانية. وسنجعل ﻕﺱ مساويًا للدالة كثيرة الحدود في المقام. وهو ما يساوي أربعة ﺱ أس خمسة. والآن، لتطبيق قاعدة القسمة، علينا إيجاد تعبيرين لـ ﻉ شرطة ﺱ وﻕ شرطة ﺱ. وبما أن الدالتين كثيرتا الحدود، يمكننا إيجاد حد تلو الآخر باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق.

نتذكر أن هذه القاعدة تنص على أنه إذا كان ﺃ وﻥ ثابتين، فإن مشتقة ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻥ في ﺃ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نضرب المعامل في أس ﺱ ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. وبتطبيق هذه القاعدة على كل حد من حدود ﻉﺱ، نحصل على ﻉ شرطة ﺱ يساوي ١٤ﺱ أس ستة ناقص ٣٠ﺱ أس أربعة زائد ١٢ﺱ تربيع. ويمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد تعبير لـ ﻕ شرطة ﺱ، وبذلك نحصل على ٢٠ﺱ أس أربعة.

نحن الآن مستعدون لإيجاد تعبير لمشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قاعدة القسمة. نجد أن ذلك يساوي ﻕﺱ في ﻉ شرطة ﺱ ناقص ﻕ شرطة ﺱ في ﻉﺱ الكل مقسوم على ﻕﺱ الكل تربيع. نعوض عن ﻕﺱ، وﻉﺱ، وﻉ شرطة ﺱ، وﻕ شرطة ﺱ بالتعبيرات لدينا. فنجد أن ﺹ شرطة لـ ﺱ يساوي أربعة ﺱ أس خمسة في ١٤ﺱ أس ستة ناقص ٣٠ﺱ أس أربعة زائد ١٢ﺱ تربيع ناقص ٢٠ﺱ أس أربعة مضروبًا في اثنين ﺱ أس سبعة ناقص ستة ﺱ أس خمسة زائد أربعة ﺱ تكعيب ناقص ثمانية الكل مقسوم على أربعة ﺱ أس خمسة الكل تربيع.

من الممكن أن نبدأ بتوزيع الأقواس. لكن من الأسهل تبسيط هذا التعبير باستخدام التحليل. في البداية، سنبسط المقام. لدينا أربعة ﺱ أس خمسة الكل تربيع يساوي ١٦ﺱ أس ١٠. يمكننا الآن بدء التبسيط. أولًا، يشترك البسط والمقام في العامل أربعة ﺱ أس أربعة. لنقسم إذن البسط والمقام على أربعة ﺱ أس أربعة.

أولًا، بقسمة عامل الحد الأول في البسط على أربعة ﺱ أس أربعة، يتبقى لدينا ﺱ. بعد ذلك، بقسمة عامل الحد الثاني في البسط على أربعة ﺱ أس أربعة، يبسط العامل الأول إلى خمسة فقط. وأخيرًا، نقسم المقام على أربعة ﺱ أس أربعة. نجد أن هذا يعطينا أربعة ﺱ أس ستة، وهو ما يعطينا التعبير الموضح. في هذه المرحلة، توجد عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها لتبسيط هذا التعبير أكثر. فيمكننا متابعة تحليل البسط، لكننا سنبسط ذلك بتوزيع الأقواس في البسط.

لنبدأ إذن بتوزيع ﺱ على ما بداخل القوسين في الحد الأول. علينا ضرب كل حد داخل القوسين في ﺱ. وللقيام بذلك، ليس علينا سوى إضافة واحد إلى كل أس من أسس ﺱ. وهذا يعطينا ١٤ﺱ أس سبعة ناقص ٣٠ﺱ أس خمسة زائد ١٢ﺱ تكعيب. نريد الآن تكرار هذه الخطوة مع الحد الثاني في البسط. لكن، تذكر أنه لدينا هنا أربعة حدود داخل القوسين. وعلينا ضرب كل حد في سالب خمسة. عند فعل ذلك، مع الانتباه إلى الإشارات، نحصل على سالب ١٠ﺱ أس سبعة زائد ٣٠ﺱ أس خمسة ناقص ٢٠ﺱ تكعيب زائد ٤٠.

وأخيرًا، تذكر أنه علينا قسمة كل هذا على أربعة ﺱ أس ستة. يمكننا الآن تبسيط البسط بتجميع الحدود المتشابهة. أولًا، سالب ٣٠ﺱ أس خمسة زائد ٣٠ﺱ أس خمسة يساوي صفرًا. بعد ذلك، نطرح ١٠ﺱ أس سبعة من ١٤ﺱ أس سبعة، فيتبقى لدينا أربعة ﺱ أس سبعة. وبالمثل، نطرح ٢٠ﺱ تكعيب من ١٢ﺱ تكعيب، فيتبقى لدينا سالب ثمانية ﺱ تكعيب. بذلك نكون قد بسطنا هذا التعبير لنحصل على أربعة ﺱ أس سبعة ناقص ثمانية ﺱ تكعيب زائد ٤٠ الكل مقسوم على أربعة ﺱ أس ستة.

يمكننا ترك الإجابة بهذا الشكل. لكننا سنقسم كل حد في البسط على المقام. ونفعل هذا حدًّا تلو الآخر. أولًا، لقسمة أربعة ﺱ أس سبعة على أربعة ﺱ أس ستة، يمكننا حذف العامل المشترك أربعة، وكذلك حذف العامل المشترك ﺱ أس ستة. فيتبقى لدينا ﺱ فقط. بعد ذلك، لدينا في الحد الثاني ثمانية مقسوم على أربعة، ما يعطينا اثنين؛ وﺱ تكعيب مقسوم على ﺱ أس ستة، ما يعطينا ﺱ تكعيب في المقام. إذن، يبسط الحد الثاني إلى سالب اثنين مقسوم على ﺱ تكعيب.

وأخيرًا، لدينا في الحد الثالث ٤٠ مقسوم على أربعة، وهو ما يساوي ١٠. إذن، يبسط الحد الثالث إلى ١٠ مقسوم على ﺱ أس ستة. مرة أخرى، يمكننا ترك الإجابة بهذا الشكل. لكننا سنستخدم قوانين الأسس لإعادة كتابة عمليات القسمة في صورة عمليات ضرب. القسمة على ﺱ تكعيب تكافئ الضرب في ﺱ أس سالب ثلاثة، والقسمة على ﺱ أس ستة تكافئ الضرب في ﺱ أس سالب ستة. وبتطبيق ذلك، يمكننا إعادة كتابة الإجابة على الصورة ﺱ ناقص اثنين ﺱ أس سالب ثلاثة زائد ١٠ﺱ أس سالب ستة. وهذه هي الإجابة النهائية.

وهكذا نكون قد تمكنا من توضيح هذه الإجابة باستخدام قاعدة القسمة. ‏ﺹ يساوي اثنين ﺱ أس سبعة ناقص ستة ﺱ أس خمسة زائد أربعة ﺱ تكعيب ناقص ثمانية الكل مقسوم على أربعة ﺱ أس خمسة. وفي هذه الحالة، فإن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺱ ناقص اثنين ﺱ أس سالب ثلاثة زائد ١٠ﺱ أس سالب ستة.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية