فيديو الدرس: حفظ الطاقة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطبق مبدأ حفظ الطاقة لحل مسائل متعلقة بالأجسام المتحركة.

١٨:١٢

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نطبق مبدأ حفظ الطاقة لحل مسائل متعلقة بالأجسام المتحركة. هيا نبدأ بتعريف حفظ الطاقة.

حفظ الطاقة يعني أن تظل الطاقة الكلية لنظام معزول ثابتة. وبصيغة المعادلة، يمكننا القول إن الطاقة الابتدائية الكلية للنظام، طاقة ﺃ، تساوي الطاقة النهائية الكلية للنظام، طاقة ﻥ. في هذا الفيديو، عندما نتحدث عن الطاقة الكلية للنظام، فإننا نتحدث عن طاقة الوضع زائد طاقة الحركة زائد الشغل المبذول ضد الاحتكاك.

لعلنا نتذكر أن طاقة وضع الجاذبية، ﺽ، لجسم ما تساوي ﻙﺩﻝ، حيث ﻙ كتلة الجسم مقيسة بالكيلوجرام، وﺩ عجلة الجاذبية مقيسة بالمتر لكل ثانية مربعة، وﻝ هو ارتفاع الجسم فوق نقطة مرجعية مقيسًا بالمتر. ونتذكر أيضًا أن طاقة حركة الجسم تساوي نصف ﻙﻉ تربيع، حيث ﻙ كما ذكرنا هي الكتلة مقيسة بالكيلوجرام، وﻉ هي سرعة الجسم مقيسة بالمتر لكل ثانية.

يمكن تحليل الشغل المبذول ضد الاحتكاك إلى قوة الاحتكاك مضروبة في الإزاحة، حيث تكون قوة الاحتكاك موازية للإزاحة. تقاس قوة الاحتكاك، ﺣ، بالنيوتن وتقاس الإزاحة بالمتر. ولأي كرة يتم إلقاؤها، تكون الطاقة الابتدائية الكلية طاقة وضع، وتكون الطاقة النهائية الكلية طاقة حركة، وذلك عندما تكون الكرة على وشك الاصطدام بالأرض. إذا كانت مقاومة الهواء ضئيلة، فيمكننا القول إن طاقة وضع الكرة عند إلقائها تساوي طاقة حركة الكرة قبل اصطدامها بالأرض مباشرة.

دعونا نطبق مبدأ حفظ الطاقة على بعض المسائل، وسنبدأ بجسم موضوع على سطح أملس مائل.

بدأ جسم في الانزلاق في اتجاه خط أكبر ميل لمستوى مائل أملس. عندما كان الجسم على قمة المستوى، كانت طاقة وضع الجاذبية له ١٨٣٠٫٥١ جول بالنسبة إلى قاعدة المستوى. عندما وصل إلى قاعدة المستوى، كانت سرعته ٨٫٦ أمتار لكل ثانية. أوجد كتلة الجسم.

عندما يكون الجسم على قمة المستوى المائل، تكون له طاقة وضع مقدارها ١٨٣٠٫٥١ جول. وعند وصوله إلى قاعدة المستوى المائل، تكون سرعته ٨٫٦ أمتار لكل ثانية. يمكننا هنا تطبيق مبدأ حفظ الطاقة لإيجاد كتلة الجسم المجهولة. ومن صيغة المعادلة، ينص هذا المبدأ على أن الطاقة الابتدائية الكلية لنظام تساوي الطاقة النهائية الكلية لنفس النظام.

بالرجوع إلى الشكل، نلاحظ أن الطاقة الابتدائية الكلية كانت طاقة وضع. وبما أن الجسم يكون في حالة حركة عندما يصل إلى قاعدة المستوى المائل، فستكون الطاقة النهائية الكلية طاقة حركة. لإيجاد الكتلة، علينا تحليل طاقة الحركة هذه. تذكر أن طاقة الحركة تساوي نصف ﻙﻉ تربيع، حيث ﻙ هي كتلة الجسم وﻉ هي سرعته. بالتعويض في الصيغة التحليلية لطاقة الحركة، يصبح لدينا طاقة الوضع عند قمة المستوى المائل تساوي نصف ﻙﻉ تربيع للجسم الموجود عند قاعدة المستوى المائل.

سنعوض الآن بالقيمتين المعطاتين لنا في المسألة؛ وهما طاقة الوضع التي تساوي ١٨٣٠٫٥١ والسرعة التي تساوي ٨٫٦. لعزل ﻙ في طرف بمفرده، نضرب الطرفين في اثنين. ويؤدي هذا إلى حذف النصف من الطرف الأيسر من المعادلة. وبعد ذلك، نقسم كلا الطرفين على ٨٫٦ تربيع. فيحذف هذا العامل من الطرف الأيسر للمعادلة. ويتبقى لدينا الحد ﻙ فقط في الطرف الأيسر من المعادلة. وبإجراء العمليات الحسابية في الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على ٤٩٫٥. إننا نريد إيجاد الكتلة، والتي تقاس بالكيلوجرام. إذن، كتلة الجسم المنزلق لأسفل المستوى المائل هي ٤٩٫٥ كيلوجرامًا.

في المسألة التالية، سنستخدم مبدأ حفظ الطاقة لحساب الشغل المبذول ضد الاحتكاك على مستوى مائل خشن.

قذف جسم لأعلى مستوى مائل خشن من قاعدته. وكانت طاقة حركة الجسم الابتدائية ٢٤٢ جول. استمر الجسم في الحركة إلى أن وصل إلى أقصى ارتفاع، ثم انزلق عائدًا إلى القاعدة. عندما وصل الجسم إلى القاعدة، كانت طاقة حركته ١٨٦ جول. أوجد الشغل المبذول ضد الاحتكاك ﺵ خلال الصعود، ومقدار طاقة وضع الجاذبية ﺽ التي يكتسبها الجسم عند وصوله إلى أقصى ارتفاع.

لقد رسمنا بالأسفل شكلًا لتمثيل المسألة. وعلى هذا الشكل، حددنا طاقتي الحركة الابتدائية والنهائية للجسم عند قاعدة المستوى المائل. وحددنا أيضًا المجهولين؛ وهما الشغل المبذول ضد الاحتكاك خلال الصعود وطاقة وضع الجاذبية للجسم عند أقصى ارتفاع وصل إليه. لدينا هنا متغيران مجهولان وسنحاول الحل لإيجاد قيمتيهما. دعونا نبدأ بإيجاد الشغل المبذول ضد الاحتكاك خلال الصعود.

يمكننا هنا تطبيق مبدأ حفظ الطاقة، والذي ينص على أن الطاقة الابتدائية الكلية لنظام تساوي الطاقة النهائية الكلية لنفس النظام. في البداية، كانت للجسم طاقة حركة فقط. لذا يمكننا التعويض عن الطاقة الابتدائية الكلية للنظام بطاقة الحركة الابتدائية. أما الطاقة النهائية الكلية للنظام فهي طاقة حركة الجسم عند قاعدة المستوى المائل زائد الشغل الكلي المبذول ضد الاحتكاك. والشغل الكلي المبذول ضد الاحتكاك يساوي ضعف الشغل المبذول ضد الاحتكاك خلال الصعود؛ لأن الجسم يرتفع لأعلى المستوى المائل ثم ينزلق عائدًا إلى القاعدة. ولهذا السبب، سنرمز إلى الشغل الكلي المبذول ضد الاحتكاك باثنين ﺵ.

بالتعويض بقيمتي طاقة الحركة الابتدائية وطاقة الحركة النهائية، سنكون جاهزين لإيجاد قيمة ﺵ. سنبدأ بطرح ١٨٦ من طرفي المعادلة، وهو ما يؤدي إلى حذف هذا الحد من الطرف الأيسر. إذن، سيصبح الطرف الأيمن من المعادلة ٥٦، والطرف الأيسر من المعادلة اثنين ﺵ. بعد ذلك، نقسم طرفي المعادلة على اثنين، وبذلك نحذف العامل الموجود في الطرف الأيسر من المعادلة. بقسمة ٥٦ على اثنين، نحصل على ٢٨. وحدة قياس الشغل هي الجول. إذن، الشغل المبذول ضد الاحتكاك خلال الصعود هو ٢٨ جول.

يمكننا استخدام مبدأ حفظ الطاقة مرة أخرى لإيجاد طاقة وضع الجاذبية للجسم عند أقصى ارتفاع وصل إليه. لا تزال الطاقة الابتدائية الكلية للنظام هي طاقة الحركة الابتدائية للجسم. بينما الطاقة النهائية الكلية للنظام عند أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم هي طاقة وضع الجاذبية ﺽ زائد الشغل المبذول ضد الاحتكاك خلال الصعود ﺵ. بالتعويض بقيمتي طاقة الحركة الابتدائية الكلية والشغل المبذول ضد الاحتكاك خلال الصعود، نكون جاهزين للحل لإيجاد قيمة ﺽ.

لعزل ﺽ في طرف بمفرده، علينا طرح ٢٨ من طرفي المعادلة، وهو ما يؤدي إلى حذف ٢٨ من الطرف الأيسر، وبذلك نجد أن طاقة وضع الجاذبية تساوي ٢١٤ جول. إذن، طاقة وضع الجاذبية ﺽ التي يكتسبها الجسم عند أقصى ارتفاع يصل إليه هي ٢١٤ جول.

في المثال التالي، سوف نطبق مبدأ حفظ الطاقة لنحسب التغير في طاقة جسم خلال السقوط الحر.

جسم كتلته تسعة كيلوجرامات سقط رأسيًا من نقطة على ارتفاع ٣٫٤ أمتار عن سطح الأرض. عند لحظة معينة، كانت سرعة الجسم ٣٫٩ أمتار لكل ثانية. أوجد التغير في طاقة وضع الجاذبية للجسم من هذه النقطة وصولًا إلى النقطة التي تبعد ٦٨ سنتيمترًا عن سطح الأرض. اعلم أن عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

سقط الجسم من ارتفاع ٣٫٤ أمتار. ونريد إيجاد التغير في طاقة وضع الجاذبية عندما تكون سرعة الجسم ٣٫٩ أمتار لكل ثانية وعندما يكون الجسم على ارتفاع ٦٨ سنتيمترًا فوق سطح الأرض. قبل أن نتمكن من إيجاد التغير في طاقة وضع الجاذبية للجسم، علينا أولًا إيجاد ارتفاعه عن سطح الأرض عندما تكون سرعته ٣٫٩ أمتار لكل ثانية. ولإيجاد الارتفاع المجهول، يمكننا استخدام مبدأ حفظ الطاقة الذي ينص على أن الطاقة الابتدائية الكلية للنظام تساوي الطاقة النهائية الكلية لنفس النظام.

الطاقة الابتدائية الكلية هي طاقة الوضع، حيث يسقط الجسم من ارتفاع فوق سطح الأرض. أما الطاقة النهائية الكلية فتتكون من طاقة وضع، حيث يكون الجسم على ارتفاع مجهول فوق سطح الأرض، وكذلك من طاقة حركة، لأن الجسم يصبح في حالة حركة. علينا أن نتذكر هنا أن طاقة الوضع لأي جسم تساوي كتلة الجسم مضروبة في عجلة الجاذبية مضروبة في ارتفاع الجسم عن سطح الأرض.

لكي نفرق بين الارتفاعين، يمكننا أن نسمي الارتفاع الابتدائي ﻝﺃ والارتفاع النهائي ﻝ. للتعويض عن طاقة حركة الجسم، علينا تذكر أن طاقة الحركة تساوي نصف مضروبًا في كتلة الجسم مضروبًا في سرعة الجسم تربيع. بالنظر إلى المعادلة التحليلية، يمكننا ملاحظة وجود ﻙ في كل حد من حدودها. وبما أن ﻙ لا تساوي صفرًا في هذه المسألة، يمكننا حذفها من جميع الحدود.

سنعوض بعد ذلك بالقيم التي نعرفها من المسألة، ﺩ يساوي ٩٫٨، والارتفاع الابتدائي يساوي ٣٫٤، والسرعة تساوي ٣٫٩. ليصبح الطرف الأيمن من المعادلة ٣٣٫٣٢، والطرف الأيسر من المعادلة ٩٫٨ في ﻝ زائد ٧٫٦٠٥. لعزل ﻝ في طرف بمفرده، يمكننا طرح ٧٫٦٠٥ من طرفي المعادلة، وهو ما يؤدي إلى حذف هذا الحد من الطرف الأيسر للمعادلة. وبطرح هذا الحد من الطرف الأيمن للمعادلة، نحصل على ٢٥٫٧١٥.

الخطوة الأخيرة لإيجاد قيمة ﻝ هي قسمة الطرفين على ٩٫٨، ليحذف بذلك العامل من الطرف الأيسر. ارتفاع الجسم عن الأرض عندما تكون سرعته ٣٫٩ أمتار لكل ثانية هو ٢٫٦٢٣٩٨ متر. والآن بعد أن عرفنا الارتفاع، يمكننا إيجاد التغير في طاقة الوضع عندما يرتفع الجسم ٢٫٦٢٣٩٨ متر، وعندما يرتفع ٦٨ سنتيمترًا عن سطح الأرض. التغير في طاقة الوضع، Δﺽ، يساوي طاقة الوضع النهائية ناقص طاقة الوضع الابتدائية. طاقة وضع الجاذبية تساوي ﻙﺩﻝ. إذن، يمكننا التعويض عن ﺽ النهائية بـ ﻙﺩﻝ النهائية، ونعوض عن ﺽ الابتدائية بـ ﻙﺩﻝ الابتدائية.

إننا نريد إيجاد التغير في طاقة وضع الجاذبية عندما يكون الجسم على ارتفاع ٢٫٦٢٣٩٨ متر، وأيضًا على ارتفاع ٦٨ سنتيمترًا فوق سطح الأرض. إذن، الارتفاع الابتدائي هو ٢٫٦٢٣٩٨ متر، والارتفاع النهائي هو ٦٨ سنتيمترًا. لكن هناك مشكلة. وحدتا القياس هنا مختلفتان؛ لدينا الأمتار مقابل السنتيمترات. ومن ثم، علينا تحويل ٦٨ سنتيمترًا إلى أمتار باستخدام عامل التحويل؛ وهو أن المتر الواحد يساوي ١٠٠ سنتيمتر. عند تحويل ٦٨ سنتيمترًا إلى أمتار عن طريق القسمة على ١٠٠، نحصل على ٠٫٦٨ متر.

لدينا هنا في حدي الطرف الأيسر من المعادلة ﻙ في ﺩ. وعليه، يمكننا إخراج العامل المشترك ﻙ في ﺩ وكتابته قبل المقدار. بالتعويض بالقيم المعطاة في المسألة، وهي الكتلة التي تساوي تسعة، وﺩ يساوي ٩٫٨، والارتفاع النهائي ٠٫٦٨، والارتفاع الابتدائي ٢٫٦٢٣٩٨، نجد أن التغير في طاقة الوضع يساوي سالب ١٧١٫٤٥٩ جول، وتوضح لنا الإشارة السالبة أن هناك فقدًا في الطاقة.

طلبت منا المسألة إيجاد التغير في طاقة الوضع، ولم تطلب منا معرفة إذا ما كانت الطاقة مفقودة أو مكتسبة. إذن، يمكننا أخذ القيمة المطلقة لطرفي المعادلة. التغير في طاقة وضع الجاذبية بين الموضعين هو ١٧١٫٤٥٩ جول.

في المسألة التالية سنستخدم مبدأ حفظ الطاقة مع مراعاة وجود احتكاك.

بدأ جسم كتلته ربع كيلوجرام في الانزلاق على السطح كما هو موضح في الشكل. السطحان ﺃﺏ وﺟﺩ أملسان. المستوى الأفقي ﺏﺟ خشن، ومعامل الاحتكاك الحركي له يساوي سبعة أعشار. إذا بدأ الجسم في الحركة من السكون، فأوجد المسافة التي قطعها الجسم على ﺏﺟ إلى أن توقف. اعلم أن عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

يمكننا أن نضيف على الشكل أن الكتلة تساوي ربع كيلوجرام، وأن ﻡﺣ، معامل الاحتكاك الحركي، يساوي سبعة أعشار. بإمكاننا هنا تطبيق مبدأ حفظ الطاقة على المسألة، وهو ينص على أن الطاقة الابتدائية الكلية للنظام تساوي الطاقة النهائية الكلية لنفس النظام.

في البداية عند الموضع ﺃ، يكون الجسم في حالة سكون، وعليه فإن الطاقة الوحيدة للجسم هي طاقة وضع الجاذبية. توقف الجسم في موضع ما على طول المستوى ﺏﺟ. إذن، الطاقة النهائية لا تتكون من طاقة وضع أو طاقة حركة، بل تتكون من الشغل المبذول ضد الاحتكاك. علينا أن نتذكر هنا أن طاقة وضع الجاذبية لجسم ما تساوي كتلة الجسم مضروبة في عجلة الجاذبية في ارتفاع الجسم عن سطح الأرض.

يمكننا التعويض بـ ﻙﺩﻝ عن طاقة الوضع في الصيغة التي لدينا. كما نتذكر أن الشغل المبذول ضد الاحتكاك يساوي قوة الاحتكاك في المسافة المقطوعة، وهو ما يسمح لنا بالتعويض عن الشغل بقوة الاحتكاك في المسافة. لم تخبرنا المسألة بقوة الاحتكاك، ولكنها ذكرت معامل الاحتكاك الحركي. إذن علينا استخدام الصيغة الخاصة بقوة الاحتكاك؛ وهي معامل الاحتكاك الحركي مضروبًا في قوة رد الفعل العمودي.

قوة رد الفعل العمودي هي القوة التي يؤثر بها السطح على جسم ما. عندما يتحرك جسم ما على سطح أفقي، كما في هذه المسألة، دون أن تؤثر عليه أي قوى رأسية باستثناء قوة الجاذبية وقوة رد الفعل العمودي، يمكننا القول إن قوة رد الفعل العمودي تساوي قوة الجاذبية، حيث قوة الجاذبية تساوي كتلة الجسم في عجلة الجاذبية.

بالنظر إلى المعادلة التحليلية، يمكننا ملاحظة وجود ﻙ وﺩ في طرفي المعادلة. وبما أنهما أعداد غير صفرية، يمكننا حذفهما. والآن، يمكننا التعويض بالقيم المعطاة في المسألة، حيث نعوض عن الارتفاع بأربعة وعن معامل الاحتكاك الحركي بسبعة أعشار. لعزل ﻑ في طرف بمفرده، يمكننا ضرب طرفي المعادلة في عشرة على سبعة. وسيؤدي هذا إلى حذف سبعة أعشار من الطرف الأيسر. سيصبح لدينا في الطرف الأيمن من المعادلة ٤٠ على سبعة. إذن، المسافة التي قطعها الجسم على ﺏﺟ إلى أن توقف هي ٤٠ على سبعة من المتر.

دعونا نراجع النقاط الرئيسية التي تناولناها في الدرس.

النقاط الرئيسية

ينص مبدأ حفظ الطاقة على أن الطاقة الكلية لنظام معزول تظل ثابتة. وبصيغة المعادلة، يمكننا القول إن مبدأ حفظ الطاقة ينص على أن طاقة ﺃ، أي الطاقة الابتدائية الكلية للنظام، تساوي طاقة ﻥ، وهي الطاقة النهائية الكلية للنظام. عند وجود احتكاك، يجب مراعاة الشغل المبذول ضد الاحتكاك.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.