تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: استخدام طريقة الكتلة السالبة لإيجاد مركز ثقل صفيحة الرياضيات

صفيحة منتظمة على شكل مستطيل ﺃﺏﺟﺩ، فيه ﺃﺏ = ٥٦ سم، ﺏﺟ = ٣٥ سم. تقع النقطتان ﻭ، ﻁ على ﺃﺏ؛ حيث ﺃﻭ = ﺏﻁ = ١٤ سم. قطع المثلث ﻡﻭﻁ من الصفيحة؛ حيث ﻡ مركز المستطيل. أوجد إحداثيات مركز ثقل الصفيحة المتبقية. إذا علقت الصفيحة تعليقًا حرًّا من النقطة ﺩ، فأوجد ظل الزاوية التي يصنعها ﺩﺃ مع الرأسي، ظا 𝜃، عندما تكون الصفيحة معلقة في حالة اتزان.

٠٧:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

صفيحة منتظمة على شكل مستطيل ﺃﺏﺟﺩ، فيه ﺃﺏ يساوي ٥٦ سنتيمترًا وﺏﺟ يساوي ٣٥ سنتيمترًا. تقع النقطتان ﻭ، ﻁ على ﺃﺏ؛ حيث ﺃﻭ يساوي ﺏﻁ يساوي ١٤ سنتيمترًا. قطع المثلث ﻡﻭﻁ من الصفيحة؛ حيث ﻡ مركز المستطيل. أوجد إحداثيات مركز ثقل الصفيحة المتبقية. إذا علقت الصفيحة تعليقًا حرًّا من النقطة ﺩ، فأوجد ظل الزاوية التي يصنعها ﺩﺃ مع الرأسي، ظا 𝜃، عندما تكون الصفيحة معلقة في حالة اتزان.

في هذا السؤال، مهمتنا الأولى هي إيجاد مركز الثقل. وفي هذا السيناريو، لدينا بالفعل صفيحتان. لدينا المستطيل الذي مركز ثقله عند مركزه الهندسي ﻡ، ولدينا هذا المثلث المقتطع الذي له مركز ثقل آخر عند مركزه الهندسي. الصفيحة المستطيلة كتلتها ﻙ واحد، وهي كتلة الصفيحة قبل اقتطاع المثلث. والمثلث المقتطع كتلته ﻙ اثنان. باستخدام طريقة الكتلة السالبة، يمكننا التعامل مع هذا المثلث باعتباره صفيحة منفصلة ذات كتلة سالبة تساوي سالب ﻙ اثنين. ويمكننا تمثيل هاتين الصفيحتين المنفصلتين باعتبارهما جسيمين كتلتاهما ﻙ واحد وسالب ﻙ اثنين ويقعان عند مركز ثقل الصفيحتين.

تذكر أنه لإيجاد مركز ثقل جسيمين، فإن الإحداثي ﺱ يساوي مجموع حاصلي ضرب كل من الكتلتين في إحداثيها ﺱ مقسومًا على الكتلة الكلية، وبالمثل نوجد الإحداثي ﺹ. في هذه الحالة يسهل إيجاد الإحداثي ﺱ لمركز الثقل. فبالنظر إلى المعطيات نجد أن ﺃﻭ يساوي ﺏﻁ، وهو ما يساوي ١٤ سنتيمترًا. وعليه فإن طول قاعدة المثلث يساوي ٥٦ ناقص ١٤ ناقص ١٤، وهو ما يساوي ٢٨ سنتيمترًا. ومن ثم فإن قاعدة هذا المثلث تتوسط الضلع العلوي للمستطيل. وبما أن الرأس المقابل للقاعدة يتطابق مع مركز المستطيل، إذن فهذا المثلث متساوي الساقين. ومن ثم فإن مركز ثقله أعلى مركز المستطيل مباشرة.

لدينا خط تماثل في الصفيحة، ويقع الإحداثي ﺱ لمركزي الثقل عند منتصف طول المستطيل، أي إنه يساوي ٥٦ على اثنين يساوي ٢٨. ولإيجاد الإحداثي ﺹ، سيتعين علينا إجراء العملية الحسابية الكاملة. أولًا: الجسيم الذي يمثل الصفيحة المثلثة المقتطعة كتلته سالبة. ومن ثم، علينا تغيير علامتي الزائد هاتين في الصيغة وجعلهما علامتي ناقص. بعد ذلك، علينا إيجاد كتلتي الجسيمين. وبما أن الصفيحة منتظمة فإن كثافتها ثابتة عند جميع نقاطها. ومن ثم تتناسب كتلتا الصفيحة المستطيلة والصفيحة المثلثة طرديًّا مع مساحتيهما.

في السؤال، علمنا أن ﺏﺟ يساوي ٣٥ سنتيمترًا. إذن مساحة المستطيل كاملًا تساوي ٥٦ في ٣٥، وهو ما يساوي ١٩٦٠ سنتيمترًا مربعًا. بالنسبة إلى المثلث، نعلم أن رأسه السفلي يتطابق مع مركز المستطيل. ومن ثم فإن ارتفاعه يساوي ٣٥ على اثنين سنتيمتر. إذن مساحة المثلث تساوي نصفًا في قاعدته في ارتفاعه، وهو ما يعطينا نصفًا في ٢٨ في ٣٥ على اثنين، ويساوي ٢٤٥ سنتيمترًا مربعًا.

والآن، علينا إيجاد الإحداثيين ﺹ لمركزي ثقل الصفيحتين المنفصلتين. هذا سهل بالنسبة إلى مركز ثقل المستطيل. الإحداثي ﺹ يقع في منتصف المستطيل؛ أي ٣٥ على اثنين. والآن نتذكر أن المركز الهندسي للمثلث يقع عند ثلث المسافة على طول الخط الواصل بين منتصف القاعدة والرأس المقابل لها. إذن، المسافة بين الضلع العلوي للمستطيل ومركز ثقل المثلث تساوي ثلثًا في ارتفاع المثلث، أي ٣٥ على اثنين، ويمكن تبسيطها لتكون ٣٥ على ستة. إذن، الإحداثي ﺹ لمركز ثقل المثلث يساوي ٣٥ ناقص ٣٥ على ستة، وهو ما يساوي ١٧٥ على ستة.

لدينا الآن كل ما نحتاجه لإيجاد الإحداثي ﺹ لمركز ثقل الصفيحة الكاملة. كتلتا الصفيحتين تساويان الكثافة، مضروبة في مساحتيهما، ﻡ واحد وﻡ اثنان. وبما أن الكثافة منتظمة، فإن الكثافة ثابت، وهو عامل مشترك بين جميع الحدود ويمكننا حذفه. يتبقى لنا بذلك مساحة الصفيحة المستطيلة، وهي ١٩٦٠، مضروبة في الإحداثي ﺹ لمركز ثقلها؛ أي ٣٥ على اثنين. وبما أننا نتعامل مع الصفيحة المثلثة باعتبارها كتلة سالبة، فإننا نطرح مساحة المثلث، ٢٤٥، مضروبة في الإحداثي ﺹ لمركز ثقلها؛ أي ١٧٥ على ستة. نقسم بعد ذلك على مساحة الصفيحة المتبقية، وهي ١٩٦٠ ناقص ٢٤٥. يمكن تبسيط ذلك كله ليكون ٩٥ على ستة. وهذا يعطينا إحداثيي مركز ثقل الصفيحة المتبقية، ٢٨، ٩٥ على ستة.

والآن، علينا إيجاد ظل الزاوية التي يصنعها ﺩﺃ مع الرأسي عند تعليق الصفيحة من النقطة ﺩ. وجدنا منذ قليل أن مركز ثقل الصفيحة هو ٢٨، ٩٥ على ستة، أي إنه هنا تقريبًا. عند تعليق الصفيحة من النقطة ﺩ في حالة اتزان، فإن مركز الثقل سيكون أسفل ﺩ مباشرة. ومن ثم سيكون هذا الخط المتقطع الأزرق هو الخط الرأسي. مطلوب منا إيجاد ظل هذه الزاوية؛ أي الزاوية المحصورة بين ﺩﺃ والرأسي. يمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية عن طريق رسم خط أفقي يمر بمركز الثقل. ظل هذه الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. هذان هما الإحداثيان ﺱ، ﺹ لمركز الثقل. إذن، لدينا ٢٨ على ٩٥ على ستة. يبسط ذلك ليعطينا الإجابة النهائية ظا 𝜃 يساوي ١٦٨ على ٩٥.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.