فيديو: امتحان الجبر والهندسة الفراغية الدور الثاني للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثامن ب

امتحان الجبر والهندسة الفراغية الدور الثاني للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثامن ب

٠٨:١٤

‏نسخة الفيديو النصية

أ ب ج د شكل رباعي؛ رؤوسه أ: تلاتة، وصفر، واتنين. وَ ب: ستة، واتنين، وخمسة. وَ ج: أربعة، وأربعة، وخمسة. وَ د: واحد، واتنين، واتنين. أ: اثبت أن أ ب ج د متوازي أضلاع، وأوجد مساحته. ب: أوجد متجه الوحدة العمودي على مستوى الشكل الرباعي.

هنبدأ بأول مطلوب عندنا وهو إننا نثبت إن الشكل الرباعي أ ب ج د ده متوازي أضلاع. ومطلوب كمان نوجد مساحته.

إمتى بنقدر نقول عَ الشكل الرباعي إنه متوازي أضلاع؟ لو تساوى فيه كل ضلعين متقابلين. هنبدأ نشوف المتجه أ ب، والمتجه د ج. المتجه أ ب هيبقى بيساوي المتجه ب، اللي هنعوّض عنه بإحداثيات النقطة ب. ناقص المتجه أ، اللي هنعوّض عنه بإحداثيات النقطة أ. وبإجراء عملية الطرح، هنلاقي إن المتجه أ ب يساوي تلاتة، واتنين، وتلاتة.

دلوقتي عايزين نشوف المتجه د ج؛ اللي هيساوي المتجه ج، وهنعوض عنه بإحداثيات النقطة ج. ناقص المتجه د، اللي هنعوّض عنه بإحداثيات النقطة د.

دلوقتي من الخطوتين واحد واتنين، قدِرنا نستنتج إن المتجه أ ب هيساوي المتجه د ج. يبقى كده قدِرنا نثبت إن أول ضلعين متقابلين في الشكل الرباعي اللي عندنا متساويين.

دلوقتي بقى عايزين نشوف المتجهين أ د، وَ ب ج. المتجه أ د هيساوي المتجه د ناقص المتجه أ. هنعوّض عن المتجه د بإحداثيات النقطة د، والمتجه أ بإحداثيات النقطة أ. فهنلاقي إن المتجه أ د يساوي سالب اتنين، واتنين، وصفر.

بنفس الطريقة هنشوف المتجه ب ج؛ هيساوي المتجه ج، اللي هو: أربعة، وأربعة، وخمسة. ناقص المتجه ب، اللي هنعوّض عنه بالنقطة ب، اللي هي: ستة، واتنين، وخمسة. وبإجراء عملية الطرح، هنلاقي إن المتجه ب ج أصبح يساوي سالب اتنين، واتنين، وصفر.

ومن الخطوتين تلاتة وأربعة، هنلاقي إن المتجه أ د يساوي المتجه ب ج.

فنقدر نقول بما إن المتجه أ ب يساوي المتجه د ج، والمتجه أ د يساوي المتجه ب ج. يعني كده قدِرنا نثبت إن الشكل الرباعي اللي عندنا كل ضلعين فيه متقابلين متساويين. إذن فالشكل الرباعي أ ب ج د متوازي أضلاع.

ويبقى كده قدِرنا نثبت الجزء الأول في المطلوب رقم أ. والمطلوب منّنا دلوقتي إن إحنا نوجد مساحة متوازي الأضلاع ده.

هنكتب الأول الأربع متجهات اللي أوجدناهم في الجزء السابق، واللي بيمثّلوا الأضلاع الأربعة لمتوازي الأضلاع اللي عندنا.

دلوقتي عايزين نشوف إزَّاي هنوجد مساحة متوازي الأضلاع اللي عندنا ده. عايزين نفتكر المعنى الهندسي لمعيار حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين. فكده هيبقى مساحة متوازي الأضلاع بتساوي معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب، وَ أ د. اللي هم الاتنين بيمثّلوا ضلعين متجاورين في متوازي الأضلاع اللي عندنا.

نبدأ الأول بإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب، وَ أ د. وده بنوجده عن طريق إننا بنكوّن محدّد. أول صف فيه بيبقى عبارة عن متجه وحدة في اتجاه المحور س، ومتجه وحدة في اتجاه المحور ص، ومتجه وحدة في اتجاه المحور ع.

أمّا الصف التاني فبيبقى عبارة عن إحداثيات المتجه أ ب، اللي هو: تلاتة، واتنين، وتلاتة. والصف التالت هيبقى عبارة عن إحداثيات المتجه أ د، اللي هي: سالب اتنين، واتنين، وصفر.

دلوقتي عايزين نوجد قيمة المحدّد اللي عندنا. هنبدأ نوجد قيمة المحدّد باستخدام عناصر الصف الأول. وما ننساش قاعدة إشارات المحدّد. فهنلاقي إن الحدّ الأول عندنا هيبقى عبارة عن متجه الوحدة في اتجاه المحور س؛ مضروب في اتنين في صفر، ناقص اتنين في تلاتة.

ما ننساش الحدّ التاني هتبقى إشارته سالبة. وبعدين متجه الوحدة في اتجاه المحور ص؛ هنضرب في تلاتة في صفر، ناقص سالب اتنين في تلاتة. بعد كده هنضرب متجه الوحدة ع في؛ تلاتة في اتنين، ناقص سالب اتنين في اتنين.

بعد ما نُجري العمليات الحسابية المطلوبة، هنلاقي إن قيمة المحدّد بتساوي سالب ستة في اتجاه متجه الوحدة س. ناقص ستة في اتجاه متجه الوحدة ص. زائد عشرة في اتجاه متجه الوحدة ع.

ما ننساش إحنا محتاجين نوجد المساحة؛ اللي هي عبارة عن معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب، وَ أ د. يبقى دلوقتي بعد ما أوجدنا حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب، وَ أ د؛ هنوجد بقى معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين دول.

دلوقتي حاصل الضرب الاتجاهي بينتج عنه كمية متجهة. يبقى لمّا نيجي نوجد معيار الكمية المتجهة دي … زيّ ما بنوجد معيار أيّ متجه، بيبقى عبارة عن الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركّبات المتجه ده في اتجاه محاور الإحداثيات. يعني هيساوي الجذر التربيعي لسالب ستة تربيع، زائد سالب ستة تربيع، زائد عشرة تربيع.

وبعد إجراء العمليات الحسابية والتبسيط؛ هنلاقي إن معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب، وَ أ د. هنلاقيه إنه بيساوي اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة وأربعين.

وزيّ ما قلنا إن مساحة متوازي الأضلاع عبارة عن معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب، وَ أ د. يعني بكده قدِرنا نوجد مساحة متوازي الأضلاع، وهي بتساوي اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة وأربعين. وبكده يبقى أنهينا الجزء أ، هنشوف دلوقتي الجزء ب.

المطلوب رقم ب؛ مطلوب منّنا إيجاد متجه الوحدة العمودي على مستوى الشكل الرباعي.

بصورة عامة لمّا يبقى عندنا أيّ متجهين بنعمل لهم ضرب اتجاهي. فحاصل الضرب الاتجاهي ده بيكون عبارة عن متجه عمودي على المستوى اللي بيحتوي المتجهين دول. فلو سمّينا المتجه ده بالمتجه ن، فنقدر نكتب إن المتجه الـ ن يساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ وَ ب.

أمّا لو عايزين نوجد متجه الوحدة العمودي على المستوى اللي بيحتوي المتجهين أ وَ ب. فهنقسم حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ وَ ب، على معيار حاصل الضرب الاتجاهي لنفس المتجهين.

هنطبّق بقى القاعدة دي عشان نوجد متجه الوحدة العمودي على مستوى الشكل الرباعي.

فنقدر نقول إن متجه الوحدة العمودي على المستوى اللي بيحتوي الشكل الرباعي. هيبقى بيساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ ب، وَ أ د؛ اللي هم عبارة عن ضلعين في الشكل الرباعي اللي عندنا. على معيار حاصل الضرب الاتجاهي لنفس المتجهين.

وإحنا أوجدنا قبل كده حاصل الضرب القياسي للمتجهين أ ب، وَ أ د؛ بسالب ستة في اتجاه متجه الوحدة س. ناقص ستة في اتجاه متجه الوحدة ص. زائد عشرة في اتجاه متجه الوحدة ع. على … معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين كان بيساوي اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة وأربعين.

واللي نقدر نكتبه بالصورة الكارتيزية أو الإحداثية بالشكل ده. هيبقى بيساوي سالب ستة على، اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة وأربعين. وسالب ستة على، اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة وأربعين. وعشرة على، اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة وأربعين.

وممكن نضرب كل مركّبة من المركّبات اللي عندنا، البسط والمقام بتاعها، في الجذر التربيعي لتلاتة وأربعين. فيصبح متجه الوحدة العمودي بالشكل ده. هيصبح يساوي سالب تلاتة في الجذر التربيعي لتلاتة وأربعين، على تلاتة وأربعين. وسالب تلاتة في الجذر التربيعي لتلاتة وأربعين، على تلاتة وأربعين. وخمسة في الجذر التربيعي لتلاتة وأربعين، على تلاتة وأربعين.

وبكده يبقى قدِرنا نوجد متجه الوحدة العمودي على مستوى الشكل الرباعي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.