فيديو: تطبيقات المتجهات

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو استخدام العمليات على المتجهات وحساب المثلثات في حل مشاكل المتجهات من خلال تطبيق في الملاحة الجوية.

٠٩:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على تطبيقات المتجهات. المتجهات لها تطبيقات كتير في حياتنا؛ لأن المتجهات هي عبارة عن أيّ كمية لها مقدار، ولها اتجاه. وبنقدر نستخدم جمع المتجهات، وحساب المثلثات، لحل مشاكل المتجهات اللي بتحتوي المثلثات، اللي غالبًا ما بتكون مثلثات مائلة.

يعني مثلًا لو أثّرْت على كورة بقوة، وكمان ضِفت قوة تانية. فالقوتين دول مع بعض، بنجمعهم وبيكوّنوا لنا قوة تالتة. تأثير القوتين دول، كل واحدة لوحدها ورا بعض، هو بنفس تأثير القوة المؤثّرة المحصلة. ومن التطبيقات كمان اللي مهمة في حياتنا، التطبيقات اللي بنستخدمها في الملاحة، والطائرات. نقلب الصفحة، وناخد مثال.

يتمّ توجيه طائرة بسرعة تلتمية وعشرة عقدة، في اتجاه خمسين درجة شمال شرق. وكانت الرياح تهبّ بسرعة تمنية وسبعين عقدة، في اتجاه مية خمسة وعشرين درجة شمال شرق. اوجد سرعة واتجاه الطائرة بالنسبة للأرض.

في السؤال ده عندنا سرعة باتجاه، وسرعة تانية باتجاه تاني. وعايز يوجد سرعة واتجاه الطائرة، بالنسبة للأرض. يعني مجموع السرعتين دول؛ محصلة السرعتين. وعايز يوجد اتجاه السرعة المحصلة. أول حاجة هنرسم شكل يعبّر عن سرعة توجيه الطائرة، وسرعة الرياح، بالشكل اللي قدامنا ده. أول حاجة سرعة توجيه الطائرة، اللي هي تلتمية وعشرة عقدة، بيبقى السهم خارج لبرّه كده. علشان دي سرعة توجيه؛ يعني بنطلع لبرّه بعيد عن القوة اللي بتقابلنا. اللي هي سرعة الرياح تمنية وسبعين عقدة، بتخبط في الطائرة، بتعترض الطائرة. فبالتالي السهم بيبقى داخل.

التلتمية وعشرة عقدة، بتعمل زاوية خمسين درجة مع الشمال؛ في شرق الشمال. والتمنية وسبعين عقدة، بتعمل مية خمسة وعشرين درجة شمال شرق. عايزين نوجد القوة المحصلة. فبالتالي هننقل متجه سرعة الرياح، اللي هو التمنية وسبعين عقدة. بحيث إن بداية المتجه ده، هتبقى مع نهاية متجه التلتمية وعشرة. علشان نقدر نستخدم قاعدة المثلث لإيجاد محصلة متجهين. واللي هي بتوضّح سرعة الطائرة بالنسبة للأرض.

بنرسم متجه بالظبط نفس الطول ونفس الاتجاه للتمنية وسبعين عقدة، موازي له. لغاية ما طرف المتجه تمنية وسبعين، اللي هو بدايته، تلتقي مع نهاية التلتمية وعشرة. من خواص التوازي، الزاوية اللي بيعملها التلتمية وعشرة، مع التمنية وسبعين. اللي هي هنا هنسميها 𝛾. بتساوي الزاوية اللي بتتعمل هنا، اللي هي 𝛾 برضو. نفس القيمة زاويتين داخلتين، ما بين خطين متوازيين، بيبقوا زاويتين متطابقتين.

باستخدام قاعدة المثلث، هنوجد المحصلة. اللي هي هتبقى بداية متجه التلتمية وعشرة، مع نهاية المتجه تمنية وسبعين عقدة. واللي هو هنسميه المتجه ج، يمثّل المحصلة. والزاوية ما بينه وما بين الشمال، هنسميها زاوية 𝜃. وهو ده المطلوب؛ اتجاه الطائرة … سرعة واتجاه الطائرة، بالنسبة للأرض؛ المتجه ج قيمته كام، طوله كام، وزاويته مع الشمال. هنعرّف زاوية هنا 𝛼، في المثلث. اللي هيبقى أطوال أضلاعه التلتمية وعشرة عقدة، هنسميها المتجه أ. والتمنية وسبعين عقدة، هنسميها المتجه ب. ومتجه المحصلة هو المتجه ج.

المثلث اللي أطوال أضلاعه المتجه أ وَ ب وَ ج … نقدر نستخدم حساب المثلثات، لإيجاد قيم الأطوال، اللي هي ج، وكمان الزوايا. هنا المثلث اللي قدامنا ده، فيه زاوية 𝛼 مجهولة، وزاوية 𝛾 المفروض إحنا هنعرف نجيب قيمتها. هنجيب قيمتها إزّاي؟

الزاوية اللي بيعملها التمنية وسبعين عقدة، مع الشمال، كانت مية خمسة وعشرين درجة. والزاوية اللي المتجه تلتمية وعشرة بيعملها مع الشمال، اللي هي الـ 𝛼 زائد 𝜃، قيمتها خمسين درجة. يبقى نقدر نجيب قيمة الـ 𝛾، هتساوي المية خمسة وعشرين درجة ناقص الخمسين درجة. هتساوي خمسة وسبعين درجة. يبقى قيمة الـ 𝛾، في المثلث اللي فيه أطوال أضلاع المتجه أ وَ ب وَ ج، فيه الزاوية خمسة وسبعين درجة. وعندنا طول ضلع تلتمية وعشرة، وتمنية سبعين؛ دول طولين ضلعين، وزاوية ما بينهم. يبقى نقدر نستخدم حساب المثلثات. نقلب الصفحة، ونشوف إزّاي هنوجد قيمة المتجه ج.

هنستخدم قانون جيب التمام، لإيجاد طول المتجه ج، اللي بيمثّل سرعة الطائرة بالنسبة للأرض. قانون جيب التمام بيقول: معيار المتجه ج تربيع يساوي معيار المتجه أ تربيع، زائد معيار المتجه ب تربيع. ناقص اتنين في معيار المتجه أ، في معيار المتجه ب، في الزاوية ما بينهم، اللي هي جتا 𝛾. معلوم قيمة طول المتجه أ، والمتجه ب، والزاوية ما بينهم. نقدر نحسب قيمة المتجه ج.

هتساوي تلتمية وعشرة تربيع، زائد تمنية وسبعين تربيع. ناقص اتنين في تلتمية وعشرة، في تمنية وسبعين، في جتا الزاوية ما بينهم، اللي هي جتا خمسة وسبعين درجة. بعد كده هنوجد الجذر التربيعي للقيمة اللي هنحسبها، اللي هي قيمة المتجه ج. اللي هي هتساوي تقريبًا ميتين تسعة وتسعين وأربعة من عشرة. وبناخد القيمة الموجبة من الجذر التربيعي بس؛ لأن دي أطوال. وبالتالي لازم تكون القيمة موجبة. إذن سرعة الطائرة بالنسبة للأرض، بتساوي تقريبًا ميتين تسعة وتسعين وأربعة من عشرة عقدة.

نقلب الصفحة، ونشوف إزّاي هنعرف اتجاه سرعة الطائرة، بالنسبة للأرض. علشان نحسب اتجاه سرعة الطائرة، اللي هي عايزين نحسب قيمة الزاوية 𝜃. دلوقتي المثلث اللي قدامنا، فيه معلوم التلات أضلاع. أطوالهم: تمنية وسبعين، وتلتمية وعشرة، ومتين تسعة وتسعين وأربعة من عشرة. وعارفين قيمة زاوية فيه، اللي هي خمسة وسبعين درجة. نقدر نستخدم قانون الجيب، لإيجاد الزوايا؛ باقي الزوايا اللي في المثلث. وإحنا عايزين نوجد قيمة الزاوية 𝛼؛ علشان نقدر نحسب منها قيمة الزاوية 𝜃.

قانون الجيب جا الـ 𝛼، على طول الضلع المقابل لها، اللي هو المتجه ب. بيساوي جا 𝛾، على طول الضلع المقابل للزاوية 𝛾، اللي هو المتجه ج. بمعلومية الزاوية 𝛾، وطول المتجه ج، وطول المتجه ب؛ نقدر نجيب الزاوية 𝛼. هنضرب طرفين في وسطين. يبقى المتجه ج، اللي قيمته ميتين تسعة وتسعين وأربعة من عشرة، في جا للـ 𝛼. هيساوي طول المتجه ب اللي هو تمنية وسبعين، في جا للـ 𝛾 هتبقى خمسة وسبعين درجة.

نقسم الطرفين على ميتين تسعة وتسعين وأربعة من عشرة. يبقى جا 𝛼 هتساوي تمنية وسبعين، في جا خمسة وسبعين درجة؛ على ميتين تسعة وتسعين وأربعة من عشرة. باستخدام الدالة العكسية للجيب … 𝛼 هتساوي الدالة العكسية للجيب. تمنية وسبعين، في جا خمسة وسبعين درجة؛ على ميتين تسعة وتسعين وأربعة من عشرة. هتساوي تقريبًا أربعتاشر وستة من عشرة درجة.

دي قيمة الزاوية 𝛼. عايزين نحسب الزاوية 𝜃. إحنا عارفين إن الـ 𝛼 زائد الـ 𝜃، تساوي خمسين درجة. يبقى الـ 𝜃 هتساوي خمسين درجة، ناقص قيمة الزاوية 𝛼، اللي هي أربعتاشر وستة من عشرة. اللي هي هتساوي خمسة وتلاتين وأربعة من عشرة درجة. يبقى سرعة الطائرة بالنسبة للأرض، بتساوي تقريبًا ميتين تسعة وتسعين وأربعة من عشرة عقدة، في اتجاه خمسة وتلاتين درجة للشمال الشرقي.

يبقى عرفنا في الفيديو ده إزّاي هنستخدم العمليات على المتجهات وحساب المثلثات، في تطبيقات المتجهات اللي موجودة في حياتنا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.