فيديو السؤال: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستقيمين في بعدين الرياضيات

أوجد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين الخطين المستقيمين الممثلين بالمتجه: ⟨−٩‎، −٣⟩ + ﻙ⟨−١‎، −٦⟩ والمتجه ⟨٧‎، −٧⟩ + ﻙ⟨٤‎، −١٢⟩.

٠٧:٣١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين الخطين المستقيمين الممثلين بالمتجه سالب تسعة، سالب ثلاثة زائد ﻙ في المتجه سالب واحد، سالب ستة، والمتجه سبعة، سالب سبعة، زائد ﻙ في المتجه أربعة، سالب ١٢.

مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد قياس زاوية حادة محصورة بين خطين مستقيمين، ويمكننا ملاحظة أن هذين الخطين المستقيمين معطيان على الصورة المتجهة. للإجابة عن هذا السؤال دعونا نبدأ بتذكر صيغة إيجاد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين أي خطين مستقيمين معطيين. نحن نعلم أنه إذا كانت 𝛼 هي الزاوية الحادة المحصورة بين خطين مستقيمين ميل كل منهما ﻡ واحد وﻡ اثنين على الترتيب، فإن ظا 𝛼 يساوي القيمة المطلقة لـ ﻡ واحد ناقص ﻡ اثنين مقسومًا على واحد زائد ﻡ واحد في ﻡ اثنين. يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قيمة 𝛼. كل ما علينا فعله هو تطبيق الدالة العكسية للظل على طرفي المعادلة.

يوجد شيء آخر مثير للاهتمام علينا الانتباه إليه في هذه الصيغة. يمكن أن يحدث أحد أمرين. إذا كان المستقيمان متعامدين، فإن ﻡ واحد في ﻡ اثنين سيساوي سالب واحد، وفي هذه الحالة مقام الطرف الأيمن من المعادلة يساوي صفرًا. وبهذا يكون ظا 𝛼 غير معرف، ما يعني أن قياس 𝛼 يساوي ٩٠ درجة. بدلًا من ذلك، قد يكون أحد الخطين المستقيمين رأسيًّا. وفي هذه الحالة لا يمكننا استخدام هذه الصيغة لأن ميل هذا الخط المستقيم سيكون غير معرف. وسنحتاج إلى استخدام طريقة مختلفة.

علينا التأكد أيضًا من أن المستقيمين متقاطعان؛ لأنه إذا كان المستقيمان متوازيين فلن تكون هناك زاوية محصورة بينهما. وإذا كان المستقيمان منطبقين يمكننا القول إن قياس 𝛼 يساوي صفرًا. لتطبيق هذه الصيغة إذن للإجابة عن هذا السؤال، علينا إيجاد ميل كل من المستقيمين. ويمكننا فعل ذلك باسترجاع إحدى النتائج. إذا كان لدينا مستقيم ما ﻝ على الصورة المتجهة؛ أي يمثله المتجه ﻕ زائد ﻙ في متجه الاتجاه ﻱ، حيث ﻱ هو المتجه ﺃ، ﺏ، فإننا نعلم أن ميل هذا المستقيم هو ﺏ مقسومًا على ﺃ، بشرط أن يكون ﺃ لا يساوي صفرًا. وإذا كانت قيمة ﺃ تساوي صفرًا، فإننا نعلم أن المستقيم رأسي. يمكننا استخدام ذلك لإيجاد الميل لكلا المستقيمين.

دعونا نوجد الآن ميل المستقيم الأول. متجه اتجاه هذا المستقيم هو سالب واحد، سالب ستة. هذا يعني أن ميل هذا المستقيم؛ أي ﻡ واحد، يساوي سالب ستة مقسومًا على سالب واحد، وهو ما يساوي ستة. يمكننا حساب ميل المستقيم الثاني بالطريقة نفسها، حيث إن متجه الاتجاه لهذا المستقيم هو المتجه أربعة، سالب ١٢. ميل هذا المستقيم؛ أي ﻡ اثنين، يساوي سالب ١٢ مقسومًا على أربعة، وهو يساوي سالب ثلاثة. نلاحظ هنا أن المستقيمين لا بد أن يتقاطعا، لأن ميلي المستقيمين مختلفان.

بعد ذلك نعوض بقيمتي هذين الميلين في المعادلة ونعيد ترتيبها لإيجاد قيمة 𝛼. وهكذا نجد أن ظا 𝛼 يساوي القيمة المطلقة لستة ناقص سالب ثلاثة مقسومًا على واحد زائد ستة في سالب ثلاثة. والآن كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة الطرف الأيسر من هذه المعادلة. ستة ناقص سالب ثلاثة في البسط هو نفسه ستة زائد ثلاثة، وهو ما يساوي تسعة. وفي المقام لدينا واحد زائد ستة في سالب ثلاثة؛ أي واحد ناقص ١٨، وهو ما يساوي سالب ١٧. لدينا الآن القيمة المطلقة لتسعة مقسومًا على سالب ١٧. وأخيرًا القيمة المطلقة لتسعة على سالب ١٧ هي ببساطة تسعة على ١٧. إذن لقد أوضحنا أن ظا 𝛼 يساوي تسعة على ١٧.

يمكننا إيجاد قيمة 𝛼 بأخذ الدالة العكسية للظل لطرفي المعادلة. وبكتابة هذا على الآلة الحاسبة، بعد التأكد من ضبطها على وضع الدرجات، نجد أن قيمة 𝛼 تساوي ٢٧٫٨٩٧ درجة مع توالي الأرقام. يمكننا أن نتوقف هنا. لكن يمكننا أيضًا كتابة الإجابة بدلالة الدرجات والدقائق والثواني. ولفعل ذلك علينا في البداية تذكر أن هناك ٦٠ دقيقة في الدرجة الواحدة و٦٠ ثانية في الدقيقة. ومن ثم يمكننا استخدام ذلك لتحويل قياس الزاوية وكتابته بالدرجات والدقائق والثواني.

نلاحظ أن هناك ٢٧ درجة في قياس الزاوية هذا، لذا سنكتب ٢٧ درجة ثم نفكر في الجزء العشري المتبقي من هذا القياس. وهو يساوي ٠٫٨٩٧ درجة مع توالي الأرقام. نحن نريد تحويل الجزء العشري المتبقي من قياس الزاوية هذا ليصبح بالدقائق. وكما نعلم هناك ٦٠ دقيقة في الدرجة. لذا نضرب قياس الزاوية هذا في ٦٠ لنحوله إلى دقائق. وباستخدام القيمة الدقيقة، نجد أن هذا يساوي ٥٣٫٨٣٦ دقيقة مع توالي الأرقام. بذلك نلاحظ أن عدد الدقائق في الجزء المتبقي من قياس الزاوية هذا يساوي ٥٣ دقيقة. ومن ثم إذا كتبنا ٥٣ دقيقة، فسيتبقى لدينا الجزء العشري ٠٫٨٣٦ دقيقة مع توالي الأرقام. وعلينا تحويله إلى ثوان.

لتحويل قياس زاوية من دقائق إلى ثوان علينا أن نضربه في ٦٠. مرة أخرى نستخدم القيمة الدقيقة لنحصل على ٥٠٫١٧٥ ثانية مع توالي الأرقام. بعد ذلك يمكننا تقريب الإجابة. سنقرب الإجابة لأقرب منزلة عشرية. نحن نعلم أن الرقم العشري الثاني هو سبعة. يعني هذا أنه علينا تقريب القيمة لأعلى. إذن إجابة السؤال هي ٢٧ درجة و٥٣ دقيقة و٥٠٫٢ ثانية لأقرب منزلة عشرية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.