فيديو السؤال: حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين على شبكة رسم الفيزياء

يوضح الشكل المتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي ‪1‬‏. احسب ‪A ⋅ B‬‏.

٠٤:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل المتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. احسب حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏.

في هذا السؤال، لدينا المتجهان، ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏، في صورة سهمين مرسومين على الشكل. ومطلوب منا إيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين، ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏. لنبدأ بتذكر تعريف حاصل الضرب القياسي لمتجهين. سنتناول متجهين عامين، نسميهما ‪𝐂‬‏ و‪𝐃‬‏. ولنفترض أن هذين المتجهين يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. إذن، يمكننا كتابة هذين المتجهين بدلالة مركبتيهما، أي مركبة ‪𝑥‬‏ التي تتضمن حرف ‪𝑥‬‏ أسفلها مضروبة في ‪𝐢‬‏ هات، زائد مركبة ‪𝑦‬‏ التي تتضمن حرف ‪𝑦‬‏ أسفلها مضروبة في ‪𝐣‬‏ هات.

تذكر أن ‪𝐢‬‏ هات هو متجه الوحدة في اتجاه محور ‪𝑥‬‏، وأن ‪𝐣‬‏ هات هو متجه الوحدة في اتجاه محور ‪𝑦‬‏. بعد ذلك، نجد أن حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐂‬‏ في ‪𝐃‬‏ يساوي مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐂‬‏ مضروبة في مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐃‬‏ زائد مركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐂‬‏ مضروبة في مركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐃‬‏. إذن، بوجه عام، يمكننا القول إن حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي حاصل ضرب مركبتي ‪𝑥‬‏ زائد حاصل ضرب مركبتي ‪𝑦‬‏ لهذين المتجهين. يوضح هذا التعبير الخاص بحاصل الضرب القياسي للمتجهين أننا إذا أردنا حساب حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏، فعلينا إيجاد مركبتي ‪𝑥‬‏ ومركبتي ‪𝑦‬‏ للمتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏.

المتجهان ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ مرسومان على هيئة سهمين على الشكل. وعلمنا من السؤال أن طول ضلع كل مربع في الشبكة يساوي واحدًا. إذا أضفنا مجموعة من المحاور إلى الشكل بحيث تكون نقطة الأصل عند ذيل المتجهين، فيمكننا بسهولة عد المربعات التي يشغلها كل متجه في اتجاه المحور ‪𝑥‬‏ واتجاه المحور ‪𝑦‬‏ بسهولة. وبما أننا نعرف أن طول ضلع كل مربع يساوي واحدًا، فإن عدد المربعات يعطينا قيمتي مركبتي ‪𝑥‬‏ ومركبتي ‪𝑦‬‏ مباشرة. لنبدأ بالمتجه ‪𝐀‬‏.

نلاحظ أن المتجه ‪𝐀‬‏ يمتد بمقدار ثلاث وحدات في الاتجاه الموجب من محور ‪𝑥‬‏، وبمقدار أربع وحدات في الاتجاه الموجب من محور ‪𝑦‬‏. وهذا يعني أن مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏ تساوي ثلاثة، ومركبة ‪𝑦‬‏ تساوي أربعة. إذن، يمكننا كتابة المتجه ‪𝐀‬‏ بدلالة مركبتيه كالآتي: ثلاثة في ‪𝐢‬‏ هات زائد أربعة في ‪𝐣‬‏ هات. الآن، لنفعل الشيء نفسه مع المتجه ‪𝐁‬‏. نلاحظ أن المتجه ‪𝐁‬‏ يمتد بمقدار وحدتين في الاتجاه السالب من محور ‪𝑥‬‏، وبمقدار سبع وحدات في الاتجاه الموجب من محور ‪𝑦‬‏. إذن، مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏ تساوي سالب اثنين، ومركبة ‪𝑦‬‏ تساوي موجب سبعة. ويمكننا كتابة المتجه ‪𝐁‬‏ بدلالة مركبتيه كالآتي: سالب اثنين ‪𝐢‬‏ هات زائد سبعة ‪𝐣‬‏ هات.

والآن بعد أن أصبح لدينا المتجهان ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ بدلالة مركبتيهما، فإننا مستعدون لحساب حاصل الضرب القياسي لهما. بالنظر إلى التعبير العام لحاصل الضرب القياسي لمتجهين، سنلاحظ أن الحد الأول في هذا التعبير هو حاصل ضرب مركبتي ‪𝑥‬‏ للمتجهين. إذن، في هذه الحالة، نضرب مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏، وهي ثلاثة؛ في مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏، وهي سالب اثنين. بعد ذلك، نضيف الحد الثاني، الذي يساوي حاصل ضرب مركبتي ‪𝑦‬‏ للمتجهين. في هذه الحالة، هذا يساوي مركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏، وهي أربعة؛ مضروبة في مركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏، وهي سبعة.

الخطوة الأخيرة المتبقية لدينا هي إيجاد قيمة هذا التعبير. الحد الأول، ثلاثة في سالب اثنين، يساوي سالب ستة؛ والحد الثاني، أربعة في سبعة، يساوي 28. وبجمع سالب ستة و28، نحصل على الناتج 22. إذن، إجابة هذا السؤال هي أن حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ يساوي 22.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.