فيديو الدرس: تمثيل الدوال الخطية بيانيًا الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل الدوال الخطية بيانيًا.

٢٤:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل الدوال الخطية بيانيًا. سوف نحدد ميل الخط وطول الجزء المقطوع من المحور ﺹ، وسوف نتعلم كذلك كيف نستخدم جدول قيم لنرسم تمثيلًا بيانيًا لدالة.

لنبدأ بتناول تعريف الدالة الخطية. الصورة العامة للدالة الخطية هي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، أو ربما تأتي أيضًا على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ. تحتوي الدالة الخطية على متغيرين ﺱ وﺹ، ولا تحتوي على قوة أعلى لـ ﺱ غير ﺱ أس واحد. في كل من صورتي الدالة الخطية هنا، يمثل الحرف ﻡ، وهو معامل ﺱ، ميل الخط. يشير ميل الخط إلى مقدار انحدار هذا الخط. ويشير الثابت، ﺏ أو ﺟ، إلى طول الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذه الدالة الخطية. دعونا نلق نظرة على بعض الدوال الخطية المرسومة.

لنبدأ بواحدة من أبسط الدوال الخطية، الخط ﺹ يساوي ﺱ، وفيها نلاحظ أن الميل، وهو معامل ﺱ، يساوي واحدًا. ولا يوجد حد ثابت في نهاية هذه الدالة؛ ما يعني أن طول الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي صفرًا. ونلاحظ أن الخط يمر بالمحور ﺹ عند النقطة صفر، صفر. وبمقارنة هذا الخط بالخط ﺹ يساوي ﺱ زائد اثنين، نجد أن الميل ما يزال واحدًا كما هو. لكن طول الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي موجب اثنين، ونرى من خلال التمثيل البياني أن الخط يقطع المحور ﺹ عند اثنين.

وعليه، إذا أردنا أن نرسم تمثيلًا بيانيًا للدالة ﺹ يساوي ﺱ ناقص واحد، فكيف سيبدو ذلك؟ حسنًا، سيكون ميل الخط هو نفسه ميل الخطين الآخرين. لكن هذه المرة، طول الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي سالب واحد. إذا كنت تريد أن تعرف كيف نوجد طول الجزء المقطوع من ﺹ لخط مستقيم، فإنه إذا كانت لديك الدالة مكتوبة، يمكن أن تحدد ذلك من المعادلة المكتوبة على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ. وإذا كانت لديك الدالة مرسومة فقط، يمكنك أن تحدد طول الجزء المقطوع من ﺹ عن طريق النظر إلى الموضع الذي يقطع فيه الخط المحور ﺹ.

سنرى الآن كيف أن تغيير ميل الدالة يؤدي إلى تغيير شكل التمثيل البياني لهذه الدالة. لنبدأ بالخط المرجعي ﺹ يساوي ﺱ، نلاحظ أنه عندما نمثل الدالة عند ﺹ يساوي اثنين ﺱ، يكون هذا الخط أكثر انحدارًا. بعبارة أخرى، معامل ﺱ هنا، وهو الميل، أكبر من معامل ﺱ في الخط ﺹ يساوي ﺱ. لكل وحدة على المحور ﺱ، يتجه الخط ﺹ يساوي ﺱ لأعلى بمقدار وحدة على المحور ﺹ. وبمقارنة هذا الخط بالخط ﺹ يساوي اثنين ﺱ، نجد أنه لكل وحدة على المحور ﺱ، يتجه الخط لأعلى بمقدار وحدتين على المحور ﺹ.

إذن، إذا أردنا أن نمثل الدالة ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ بيانيًا، فإنه لكل وحدة على المحور ﺱ، يتجه الخط لأعلى بمقدار ثلاث وحدات على المحور ﺹ، وسيبدو هكذا. ونلاحظ أن بما أنه لا يحتوي أي من هذه التمثيلات البيانية الثلاثة على حد ثابت؛ فهذا يعني أن جميعها يمر بالمحور ﺹ عند النقطة صفر. طول الجزء المقطوع من ﺹ يساوي صفرًا. ماذا يحدث إذا كان الميل سالبًا؛ على سبيل المثال، الدالة ﺹ يساوي سالب ﺱ؟ نلاحظ أن الخط الذي ميله سالب يتجه للأسفل من اليسار إلى اليمين.

والآن، يمكن أن نتناول كيفية تحديد ميل الخط. عادة ما يشار إلى ميل الخط على أنه فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات، حيث يمثل فرق الصادات الزيادة أو النقصان في قيم ﺹ. وفرق السينات يمثل الزيادة أو النقصان في قيم ﺱ. وإذا كان لدينا زوجا الإحداثيات ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنين، ﺹ اثنين، فيمكننا أن نحسب الميل باستخدام الصيغة ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد.

فإذا اخترنا زوجي الإحداثيات واحد، ثلاثة؛ وصفر، واحد على هذا الخط، فيمكن أن نجعل أيًا منهما الزوج الإحداثي ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ أو ﺱ اثنين، ﺹ اثنين ونعوض بهذه القيم في المعادلة. لدينا هنا ﺹ اثنين، وقيمته واحد، ناقص ﺹ واحد، وقيمته ثلاثة، على ﺱ اثنين، وقيمته صفر، ناقص ﺱ واحد، وقيمته واحد. ويبسط هذا إلى سالب اثنين على سالب واحد؛ ما يعني أن ميل هذا الخط يساوي اثنين. إذا أردنا أن نستخدم فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات، فسوف نجد أن فرق الصادات يساوي اثنين وفرق السينات يساوي واحدًا، لنحصل بذلك على اثنين على واحد، وهو ما يساوي اثنين.

والآن، يمكننا أن نرى كيف نمثل دالة خطية بيانيًا. الطريقة الأولى هي استخدام جدول قيم. في هذه الطريقة، نأخذ بضعة قيم لـ ﺱ ونحسب قيم ﺹ المناظرة لها. على سبيل المثال، إذا أردنا أن نمثل ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ زائد واحد بيانيًا، فيمكننا أن نختار قيم ﺱ: صفر وواحد واثنين. بعد ذلك، سنعوض بهذه القيم في الدالة لحساب قيم ﺹ. هنا، أول قيمة لـ ﺹ لدينا هي ﺹ يساوي ثلاثة في صفر زائد واحد؛ وهو ما يعني أن ﺹ يساوي واحدًا. إذا عوضنا بقيمة ﺱ الثانية — وهي ﺱ يساوي واحدًا — في الدالة لدينا، فإننا نحصل على ثلاثة في واحد زائد واحد، ويساوي أربعة. ثم نعوض بآخر قيمة وهي ﺱ يساوي اثنين، لنحصل بذلك على ﺹ يساوي ثلاثة في اثنين زائد واحد، وهو ما يساوي ستة زائد واحد، أي سبعة.

وهكذا، أصبح لدينا ثلاثة أزواج إحداثية تقع على هذا الخط وهي: صفر، واحد؛ وواحد، أربعة؛ واثنان، سبعة. والآن، علينا أن نرسم المحور ونعين موضع هذه الأزواج الإحداثية الثلاثة، ثم نرسم خطًا يمر بها. وميزة جدول القيم أنه يتيح لنا الحصول على إحداثيات الخط حتى لو لم نكن متأكدين كيف سيبدو هذا الخط قبل أن نبدأ، وهذا يقودنا إلى الطريقة الثانية التي يمكن أن نستخدمها لتمثيل دالة خطية بيانيًا. وذلك عن طريق تحديد خصائص الدالة عندما تكون مكتوبة على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ.

على سبيل المثال، إذا كنا رسمنا منحنى الدالة ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ زائد واحد، فكنا سنعرف منه أن الميل يساوي ثلاثة، بمعنى أنه لكل وحدة على المحور ﺱ، يتجه الخط لأعلى بمقدار ثلاث وحدات في اتجاه المحور ﺹ. وبما أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي واحدًا، فإن الخط يقطع المحور ﺹ عند النقطة صفر، واحد. علينا أن ننتبه جيدًا عند استخدام هذه الطريقة، ونتذكر أن الميل الموجب يعني أن الخط ينحدر للأعلى من اليسار إلى اليمين. والميل السالب يعني أن الخط ينحدر للأسفل من اليسار إلى اليمين.

والآن، لنطبق ما تعلمناه على أمثلة على بعض الأسئلة. في السؤال الأول، سنعرف بشكل أوضح كيف نكمل جدول قيم.

اعتبر الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ثمانية ﺱ ناقص ١١. أكمل الجدول. حدد النقاط الثلاث الواقعة على الخط المستقيم ﺹ يساوي ثمانية ﺱ ناقص ١١.

إذن، لدينا هنا الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ثمانية ﺱ ناقص ١١. والمطلوب هو إيجاد القيم الثلاث المجهولة لـ ﺹ، وذلك عن طريق التعويض في الدالة ﺩ(ﺱ). لإيجاد قيمة ﺹ عند ﺱ يساوي سالب واحد، سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب واحد في الدالة. وبذلك، نحصل على ثمانية في سالب واحد ناقص ١١. وبما أن ثمانية في سالب واحد يساوي سالب ثمانية؛ إذن، يصبح لدينا سالب ثمانية ناقص ١١، وهو ما يساوي سالب ١٩. وهي أول قيمة مجهولة في الجدول. بالنسبة إلى القيمة المجهولة الثانية، سنعوض بـ ﺱ يساوي صفرًا في الدالة، فنحصل على ثمانية في صفر ناقص ١١، وهو ما يساوي صفر ناقص ١١، وهو ما يساوي سالب ١١. وهكذا نكون حصلنا على القيمة الثانية في الجدول.

بالنسبة إلى القيمة الأخيرة في الجدول، علينا أن نعوض بـ ﺱ يساوي واحدًا، فنحصل على ثمانية في واحد ناقص ١١، وهو ما يساوي ثمانية ناقص ١١، أي سالب ثلاثة. إذن، إجابة الجزء الأول من السؤال هي أن القيم الثلاث في الجدول هي سالب ١٩ وسالب ١١ وسالب ثلاثة. والهدف من إنشاء جدول قيم للدالة هو الحصول على أزواج إحداثية. أول زوج إحداثي هو سالب واحد، سالب ١٩. والثاني هو صفر، سالب ١١. والثالث هو واحد، سالب ثلاثة.

عندما ننظر إلى الشكل لنحدد الزوج الإحداثي سالب واحد، سالب ١٩، فإننا نقرأ أولًا الإحداثي ﺱ حيث نتجه نحو سالب واحد ثم نتجه للأسفل في اتجاه المحور ﺹ حتى سالب ١٩. وهكذا، يمكننا أن نحدد أن النقطة ﻁ ستقع على الخط. بالنسبة إلى الزوج الإحداثي صفر، سالب ١١، لن نتحرك على المحور ﺱ، وسنتجه للأسفل حتى سالب ١١. وهكذا، يمكننا أن نحدد أن النقطة ﺣ أيضًا ستقع على الخط الذي يمثل هذه الدالة. وبالنسبة إلى الزوج الإحداثي الثالث، يمكن أن نحدده إذا اتجهنا على المحور ﺱ حتى واحد ثم اتجهنا للأسفل حتى سالب ثلاثة، وهذه هي النقطة ﺯ. إذن، النقاط الثلاث هي ﻁ وﺣ وﺯ. وإذا طلب منا الآن أن نمثل هذه الدالة بيانيًا بعد أن حصلنا على الأزواج الإحداثية الثلاثة، فسنحدد مواضعها. ثم نرسم خطًا مستقيمًا يمر بالنقاط الثلاث.

في المثال التالي، سنعرف ما الذي علينا فعله إذا لم تكن الدالة معطاة على الصورة العامة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ.

لديك المعادلة ثلاثة ﺹ يساوي ستة ﺱ زائد ثلاثة على اثنين. أعد ترتيب المعادلة لتصبح على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ. ما الميل والجزء المقطوع من المحور ﺹ للمعادلة؟ استخدم الميل والجزء المقطوع لتحديد التمثيل البياني الصحيح للمعادلة.

لنبدأ حل هذا السؤال بإلقاء نظرة على الجزء الأول. مطلوب منا إعادة ترتيب المعادلة لتصبح على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ. تذكر أن هذه الصورة، ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ أو ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، هي الصورة العامة التي تتيح لنا معرفة الأجزاء الرئيسية في التمثيل البياني. نلاحظ أن المعادلة المعطاة تحتوي على ﺹ وﺱ مثلما تحتوي الصورة العامة على ﺹ وﺱ. الاختلاف هنا هو أن لدينا ثلاثة ﺹ بدلًا من ﺹ فقط. إذن، علينا قسمة كلا طرفي المعادلة على ثلاثة.

معنى هذا أننا سنقسم في الطرف الأيسر على اثنين مضروبًا في ثلاثة. وبما أن اثنين في ثلاثة يساوي ستة، فإن ﺹ يساوي ستة ﺱ زائد ثلاثة على ستة. لكي نبسط هذا الكسر، يمكننا أن نكتب الطرف الأيسر على الصورة ستة ﺱ على ستة زائد ثلاثة على ستة. وهذا يكافئ ﺹ يساوي ﺱ زائد نصف. وبهذا نكون قد أعدنا ترتيب المعادلة لتصبح على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ. بالنسبة إلى الجزء الثاني من السؤال، تذكر أنه عندما تكون لدينا الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ، فإن معامل ﺱ، وهو الحرف ﻡ، يمثل الميل أو الانحدار في المعادلة. ويمثل الحد الثابت ﺟ الجزء المقطوع من المحور ﺹ.

إذن، عندما نكتب المعادلة على هذه الصورة، وهي ﺹ يساوي ﺱ زائد نصف، فإن الميل سيتم تمثيله بمعامل ﺱ، وهو هنا يساوي واحدًا. والجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي موجب واحد على اثنين، والذي يمكن أن نكتبه نصفًا. وبهذا نكون قد أجبنا عن الجزء الثاني من السؤال. يمكننا الآن أن ننظر إلى خيارات التمثيلات البيانية لنجيب عن الجزء الثالث من السؤال. عرفنا أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ في التمثيل البياني لدينا سيكون عند نصف. نرى في التمثيل البياني الأول أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي نصفًا؛ لأن الخط يقطع المحور ﺹ عند نصف. إذن، قد تكون هذه إجابة محتملة.

في التمثيل البياني الثاني، يقطع الخط المحور ﺹ عند سالب نصف. ولذا، سنستبعد التمثيل البياني الثاني. في التمثيل البياني الثالث، الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي واحدًا؛ إذن، سنستبعده. والجزء المقطوع من المحور ﺹ في التمثيل البياني الرابع يساوي سالب واحد. والجزء المقطوع من المحور ﺹ في الشكل الأخير يساوي سالب نصف. إذن، هذا غير صحيح أيضًا. وبذلك، تتبقى لنا إجابة واحدة، لكن من الضروري أن نتحقق من أن الميل يساوي واحدًا.

تذكر أنه لكي نحسب ميل الخط بين زوجين من الإحداثيات ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنين، ﺹ اثنين، علينا أن نحسب ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. يمكن أن نختار أي زوجين من الإحداثيات يقعان على الخط. لدينا هنا صفر، نصف وواحد، ثلاثة على اثنين. لا يهم أن نحدد أي زوج إحداثي هو ﺱ واحد، ﺹ واحد وأيهما هو ﺱ اثنين، ﺹ اثنين. إذن، لنحسب الميل، لدينا ثلاثة على اثنين ناقص نصف على واحد ناقص صفر. بما أن ثلاثة على اثنين ناقص نصف يساوي واحدًا، وواحد ناقص صفر يساوي واحدًا، فإننا نحصل على واحد على واحد، وهو ما يعني أن الميل يساوي واحدًا فعلًا. إذن، الإجابة هي أن التمثيل البياني الأول هو الذي يمثل المعادلة ثلاثة ﺹ يساوي ستة ﺱ زائد ثلاثة على اثنين.

من خلال إنشاء جدول للقيم، حدد أي من التمثيلات البيانية الآتية يمثل المعادلة ﺹ يساوي نصف ﺱ زائد واحد.

في هذا السؤال، المطلوب هو إنشاء جدول قيم. ويمكن أن نستفيد منه في رسم التمثيلات البيانية للدوال. عند إنشاء جدول لقيم ﺱ وﺹ، سنحصل على مجموعات من الأزواج الإحداثية تقع على التمثيل البياني. ما قيم ﺱ التي سنختارها إذن؟ نلاحظ أن كل التمثيلات البيانية في الخيارات مرسومة تقريبًا من ﺱ يساوي سالب أربعة وﺱ يساوي أربعة. إذن، من المعقول أن نختار بضعة قيم تقع داخل هذا النطاق.

لكي نحسب قيمة ﺹ لكل قيمة من قيم ﺱ، علينا أن نعوض في المعادلة ﺹ يساوي نصف ﺱ زائد واحد. ومن ثم، نجد أنه عند ﺱ يساوي سالب اثنين، فإن ﺹ يساوي نصفًا في سالب اثنين زائد واحد. نصف في سالب اثنين يساوي سالب واحد. ومن ثم، يصبح لدينا ﺹ يساوي سالب واحد زائد واحد، وهو ما يساوي صفرًا. وهكذا، نجد أنه عند ﺱ يساوي سالب اثنين، فإن ﺹ يساوي صفرًا. وعند ﺱ يساوي سالب واحد، فإن ﺹ يساوي نصفًا في سالب واحد زائد واحد. نصف في سالب واحد يساوي سالب نصف، زائد واحد. وهكذا نكون قد حصلنا على قيمتين أخريين في الجدول.

نستمر هكذا لإكمال القيم في الجدول. وبعد أن نكمل جدول القيم، سنتمكن من تحديد أزواج الإحداثيات التي تقع على الخط. لنأخذ أول زوج من الإحداثيات سالب اثنين، صفر؛ ونلاحظ أن هذا الزوج الإحداثي يقع على الخط في التمثيلين البيانيين (ج) و(هـ) فقط. عند تعيين الزوج الإحداثي الثاني سالب واحد، نصف؛ نلاحظ أن لدينا في التمثيل البياني (ج) سالب واحد، سالب نصف؛ مما يعني أننا يمكن أن نستبعد الخيار (ج). ونجد أن التمثيل البياني (هـ) يمر بالزوج الإحداثي سالب واحد، نصف. كما يمر أيضًا بالأزواج الإحداثية صفر، واحد؛ وواحد، ثلاثة على اثنين؛ واثنين، اثنين. إذن، التمثيل البياني (هـ) يمثل المعادلة ﺹ يساوي نصف ﺱ زائد واحد.

رأينا في هذا المثال كيف نستخدم جدول قيم لرسم التمثيل البياني لمعادلة الدالة. في المثال التالي، سنستخدم خصائص المعادلة لنتعرف على معادلة دالة من تمثيلها البياني.

حدد أي الدوال التالية ممثلة بالتمثيل البياني الموضح؟ الخيار (أ)، ‏ﺹ يساوي ثلاثة على اثنين ﺱ زائد اثنين. الخيار(ب)، ‏ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد اثنين على ثلاثة. الخيار (ج)، ‏ﺹ يساوي اثنين على ثلاثة ﺱ ناقص اثنين. الخيار (د)، ‏ﺱ يساوي اثنين على ثلاثة ﺹ زائد اثنين. الخيار (هـ)، ‏ﺹ يساوي اثنين على ثلاثة ﺱ زائد اثنين.

لنتذكر أن الصورة العامة للمعادلة الخطية هي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ أو ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ، حيث يمثل الحد الثابت ﺏ أو ﺟ الجزء المقطوع من المحور ﺹ للتمثيل البياني للدالة. وتمثل قيمة ﻡ ميل الخط. وبذلك، إذا حسبنا الميل والجزء المقطوع من المحور ﺹ للدالة المرسومة، فسنتمكن من تحديد الدالة. تذكر أنه إذا كان لدينا زوجا الإحداثيات ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنين، ﺹ اثنين، فإن الميل يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد.

يمكن أن نختار أي زوجين من الإحداثيات على الخط ليكونا ﺱ واحد وﺹ واحد، وﺱ اثنين وﺹ اثنين. لكن أسهل طريقة هي أن تختار زوجين إحداثيين بقيم صحيحة. نلاحظ أن كلًا من النقطتين صفر، اثنين وثلاثة، أربعة تقعان على الخط. لا يهم أي زوج إحداثي هو ﺱ واحد، ﺹ واحد وأيهما هو ﺱ اثنين، ﺹ اثنين. لإيجاد الميل، سنعوض بقيم ﺹ اثنين وﺹ واحد، فنحصل على أربعة ناقص اثنين على قيم ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد، وهي ثلاثة ناقص صفر. وبتبسيط الكسر، نجد أن الميل يساوي اثنين على ثلاثة.

لإيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺹ، ننظر إلى التمثيل البياني لنرى أين يقطع الخط المحور ﺹ. وهو ما يحدث عند ﺹ يساوي اثنين. والآن، يمكن أن نعوض بقيمتي الميل والجزء المقطوع من المحور ﺹ في المعادلة العامة. وجدنا أن الميل ﻡ يساوي اثنين على ثلاثة والجزء المقطوع من المحور ﺹ، وهو ﺏ، يساوي اثنين. وهكذا تكون الإجابة هي الخيار (هـ)، حيث ﺹ يساوي اثنين على ثلاثة ﺱ زائد اثنين.

لنلخص الآن ما تعلمناه في هذا الفيديو. تعلمنا أنه يمكن تمثيل الدالة الخطية بالمعادلة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ أو ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ. وذلك حيث تمثل قيمة ﻡ الميل أو الانحدار. وتشير قيمة الثابت ﺏ أو ﺟ إلى طول الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذا الخط. ميل الخط يساوي فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات. ويمكن أن نحسبه أيضًا عن طريق ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد وذلك باستخدام زوجي الإحداثيات ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنين، ﺹ اثنين. ورأينا أنه من الممكن أن نرسم دالة إما عن طريق إنشاء جدول قيم وتعيين أزواج الإحداثيات أو عن طريق فحص المعادلة وإيجاد قيمتي الميل والجزء المقطوع من المحور ﺹ. وتعد الطريقة الثانية أصعب قليلًا، ولكنها تصبح أسهل كثيرًا كلما تدربنا على تمثيل الدوال الخطية بيانيًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.