فيديو السؤال: إيجاد تعبير مكافئ لدالة الجيب التكعيبية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

عبر عن قيمة جا تكعيب 𝜃 بدلالة جيوب مضاعفات 𝜃.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد تعبير لـ جا تكعيب 𝜃 بدلالة جيوب مضاعفات الزاوية 𝜃. قد نرغب في استخدام صيغة ضعف الزاوية للجيب لمحاولة إعادة كتابة دالة الجيب تكعيب بدلالة ذلك. وهذا قد يفيد، لكنه صعب وسيتطلب الكثير من التجريب. وفي الواقع، توجد طريقة أسهل.

لفعل ذلك، علينا أولًا استرجاع نظرية ديموافر. تنص هذه النظرية على أنه لأي قيمة صحيحة لـ ﻥ وقيمة حقيقية لـ 𝜃، فإن جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 الكل أس ﻥ يساوي جتا ﻥ𝜃 زائد ﺕ جا ﻥ𝜃. وهذه إحدى صور النظرية فقط. فتوجد العديد من الصيغ المكافئة المختلفة. وثمة بعض النتائج المباشرة المفيدة لهذه النظرية ستساعدنا في الإجابة عن هذا السؤال. وهذه النتائج جديرة بالحفظ.

إذا افترضنا أن العدد المركب جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 يساوي ﻉ، فوفقًا لنظرية ديموافر، ﻉ أس ﻥ يساوي جتا ﻥ𝜃 زائد ﺕ في جا ﻥ𝜃. ويمكننا إثبات النتيجتين التاليتين لأي قيمة صحيحة لـ ﻥ. ‏ﻉ أس ﻥ زائد واحد على ﻉ أس ﻥ يساوي اثنين في جتا ﻥ𝜃، وﻉ أس ﻥ ناقص واحد على ﻉ أس ﻥ يساوي اثنين ﺕ جا ﻥ𝜃.

لإثبات هاتين النتيجتين، نتذكر أن واحدًا على ﻉ أس ﻥ يساوي ﻉ أس سالب ﻥ. ويمكننا تطبيق نظرية ديموافر لأي قيمة صحيحة لـ ﻥ. النتيجة التي تعنينا هنا هي النتيجة الموجودة بالأسفل. وهذا لأنها ستساعدنا على إيجاد تعبير لـ جا تكعيب 𝜃. سنبدأ بجعل قيمة ﻥ تساوي واحدًا. بجعل قيمة ﻥ تساوي واحدًا في النتيجة الموجودة بالأسفل، نحصل على اثنان ﺕ جا 𝜃 يساوي ﻉ ناقص واحد على ﻉ.

نعلم أن المطلوب منا في السؤال إيجاد تعبير لـ جا تكعيب 𝜃. لذا، علينا تكعيب طرفي هذا التعبير. وبعد ذلك، نعيد الترتيب لإيجاد تعبير يصف جا تكعيب 𝜃. دعونا نبدأ بتبسيط الطرف الأيمن من هذا التعبير. سنحتاج إلى تكعيب كل عامل على حدة. وهذا يعطينا ثمانية في ﺕ تكعيب مضروبًا في جا تكعيب 𝜃. وفي الطرف الأيسر من التعبير، نلاحظ أن لدينا عددين داخل القوسين، الكل مرفوع لقوة ما. وهذا مقدار ذو حدين.

يمكننا إذن كتابة التعبير بالكامل والضرب باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، أو يمكننا استخدام نظرية ذات الحدين. وتذكر أن هذه النظرية تنص على أن ﺃ زائد ﺏ الكل أس ﻥ يساوي المجموع من ﺭ يساوي صفرًا إلى ﻥ لـ ﻥ توافيق ﺭ في ﺃ أس ﺭ مضروبًا في ﺏ أس ﻥ ناقص ﺭ، حيث ﻥ عدد صحيح موجب. سنفعل ذلك باستخدام نظرية ذات الحدين. بفك التعبير، نحصل على ثلاثة توافيق صفر في ﻉ تكعيب زائد ثلاثة توافيق واحد في ﻉ تربيع مضروبًا في سالب واحد على ﻉ زائد ثلاثة توافيق اثنين في ﻉ مضروبًا في سالب واحد على ﻉ الكل تربيع زائد ثلاثة توافيق ثلاثة مضروبًا في سالب واحد على ﻉ الكل تكعيب.

والآن يمكننا البدء في التبسيط. تذكر أولًا أن ﺕ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد. إذن، ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. هذا يعني أن ﺕ تكعيب يساوي سالب ﺕ. إذن، يمكننا تبسيط الطرف الأيمن من المعادلة لنحصل على سالب ثمانية ﺕ في جا تكعيب 𝜃. ويمكننا تبسيط كل حد في الطرف الأيسر من المعادلة على حدة. أولًا، ثلاثة توافيق صفر يساوي واحدًا، ومن ثم فإن الحد الأول هو ﻉ تكعيب.

لتبسيط الحد التالي، تذكر أنه يمكن كتابة سالب واحد على ﻉ على صورة سالب ﻉ أس سالب واحد. وتذكر أنه لضرب حدين لهما الأساس نفسه، نجمع الأسين. في حالة الأسين هنا، اثنان ناقص واحد يساوي واحدًا. وعليه، نحصل على ﻉ أس واحد، وهو ما يساوي ﻉ. والمعامل سيكون ثلاثة توافيق واحد مضروبًا في سالب واحد، وهو ما يساوي سالب ثلاثة.

يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد الحد التالي. لكن هذه المرة لدينا سالب واحد على ﻉ الكل تربيع. يبسط ذلك ليصبح ﻉ أس سالب اثنين. وعليه، ﻉ في ﻉ أس سالب اثنين يساوي ﻉ أس سالب واحد. والمعامل يساوي ثلاثة توافيق اثنين، وهو ما نعلم أنه يساوي ثلاثة. إذن، الحد الثالث لدينا يساوي ثلاثة ﻉ أس سالب واحد.

وأخيرًا، في الحد الأخير، يمكننا توزيع التكعيب على ما بداخل القوسين. ونحصل بذلك على سالب واحد على ﻉ تكعيب. وثلاثة توافيق ثلاثة يساوي واحدًا. إذن، الحد الأخير يساوي سالب واحد على ﻉ تكعيب. إذن، تصبح المعادلة سالب ثمانية ﺕ جا تكعيب 𝜃 يساوي ﻉ تكعيب ناقص ثلاثة ﻉ زائد ثلاثة ﻉ أس سالب واحد ناقص واحد على ﻉ تكعيب. ويمكننا ملاحظة شيء مثير للاهتمام. لدينا ﻉ تكعيب ناقص واحد على ﻉ تكعيب. وهذه بالضبط إحدى عبارات نظرية ديموافر، مع جعل قيمة ﻥ تساوي ثلاثة. وفي الواقع، هذه ليست المرة الوحيدة التي نلاحظ فيها ذلك. تذكر أنه يمكننا إعادة كتابة ﻉ أس سالب واحد على صورة واحد على ﻉ.

وعليه، يمكننا إعادة كتابة الحد الثالث على الصورة ثلاثة مقسومًا على ﻉ. ونكتب ذلك على الصورة ﻉ أس ﻥ ناقص واحد على ﻉ أس ﻥ. نريد أن تكون قيمة ﻥ واحدًا. ويمكننا أن نأخذ إما ثلاثة وإما سالب ثلاثة عاملًا مشتركًا. سنأخذ العامل سالب ثلاثة. بأخذ العامل سالب ثلاثة عاملًا مشتركًا وإعادة ترتيب المعادلة، نحصل على سالب ثمانية ﺕ جا تكعيب 𝜃 يساوي ﻉ تكعيب ناقص واحد على ﻉ تكعيب ناقص ثلاثة في ﻉ ناقص واحد على ﻉ.

صرنا جاهزين الآن لكتابة هذا التعبير بدلالة جيوب مضاعفات 𝜃. لفعل ذلك، علينا استخدام نظرية ديموافر مرة أخرى. بجعل قيمة ﻥ تساوي ثلاثة، فإن ﻉ تكعيب ناقص واحد على ﻉ تكعيب يساوي اثنين ﺕ في جا ثلاثة 𝜃. وبجعل قيمة ﻥ تساوي واحدًا، فإن ﻉ ناقص واحد على ﻉ يساوي اثنين ﺕ جا 𝜃.

بالتعويض بهذين المقدارين وتذكر أن علينا ضرب اثنين ﺕ جا 𝜃 في سالب ثلاثة، نحصل على المعادلة التالية. سالب ثمانية ﺕ جا تكعيب 𝜃 يساوي اثنين ﺕ جا ثلاثة 𝜃 ناقص ستة ﺕ جا 𝜃. والآن، كل ما علينا فعله هو إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة جا تكعيب 𝜃. لفعل ذلك، نقسم طرفي المعادلة على سالب ثمانية ﺕ. ولتسهيل تبسيط ذلك، سنقسم كل حد على حدة في الطرف الأيسر من المعادلة على سالب ثمانية ﺕ. وبذلك نحصل على جا تكعيب 𝜃 يساوي اثنين ﺕ جا ثلاثة 𝜃 الكل على سالب ثمانية ﺕ زائد سالب ستة ﺕ جا 𝜃 الكل مقسوم على سالب ثمانية ﺕ.

والآن يمكننا البدء في التبسيط. في كلا الحدين، لدينا العامل المشترك ﺕ في البسط والمقام. وبالمثل، يشترك الحدان الأول والثاني في العامل اثنين في البسط والمقام. إذن، يمكننا حذف ذلك. وأخيرًا، في الحد الثاني، يمكننا حذف العامل المشترك سالب واحد في البسط والمقام. وهذا يعطينا جا ثلاثة 𝜃 الكل على سالب أربعة زائد ثلاثة جا 𝜃 الكل على أربعة. ويمكننا ترك الإجابة بهذا الشكل. لكننا سنعيد ترتيب هذين الحدين وسنأخذ الربع عاملًا مشتركًا، وهو ما يعطينا الإجابة النهائية وهي ربع مضروب في ثلاثة جا 𝜃 ناقص جا ثلاثة 𝜃.

إذن، استطعنا في هذا السؤال استخدام نظرية ديموافر للتعبير عن جا تكعيب 𝜃 بدلالة جيوب مضاعفات 𝜃. فتوصلنا إلى أن جا تكعيب 𝜃 يساوي ربعًا في ثلاثة جا 𝜃 ناقص جا ثلاثة 𝜃.