فيديو الدرس: المصفوفات الموسعة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نفسر المصفوفات الموسعة، ونمثل أنظمة المعادلات الخطية في صورة مصفوفة موسعة. واحدة من أقدم المسائل العامة في الرياضيات هي أن نتمكن من حل نظام معادلات خطية في متغيرات متعددة. وأبسط مثال غير بديهي على ذلك هو نظام مكون من معادلتين خطيتين في متغيرين. وفيما يأتي مثال على ذلك.

لننظر إلى المعادلتين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يساوي واحدًا، واثنان ﺱ ناقص ﺹ يساوي ثلاثة. في هذه الحالة، ﺱ وﺹ هما المتغيران المطلوب إيجادهما، ويشار إلى العددين المضروبين في هذين المتغيرين باسم المعاملات. ومن ثم معامل الحد المشتمل على ﺱ في المعادلة الأولى هو واحد، ومعامل الحد المشتمل على ﺹ هو ثلاثة. وفي المعادلة الثانية، معامل الحد المشتمل على ﺱ هو اثنان، ومعامل الحد ﺹ هو سالب واحد. عادة ما يشار إلى هذا النظام، الذي يحتوي على معادلتين ومتغيرين، باسم المعادلات الآنية.

تصبح الطرق التي عرضناها لحل هذه المعادلات الآنية أكثر تعقيدًا عندما يتسع النظام ليشمل المزيد من المعادلات التي تحتوي على عدد أكبر من المتغيرات. على سبيل المثال، انظر النظام المحتوي على ثلاث معادلات خطية في ثلاثة متغيرات وهو الموضح هنا. يتطلب حل هذا النظام من المعادلات الخطية خطوات أكثر بكثير من المثال الأول. ولتجنب أي أخطاء، نستخدم طريقة أكثر تنظيمًا. وتسمى طريقة اختزال الصفوف أو طريقة جاوس-جوردان للحذف. تهدف هذه الطريقة إلى حذف جميع التفاصيل الدخيلة؛ أولًا عن طريق وضع المعاملات من نظام المعادلات الخطية داخل مصفوفة؛ بحيث يناظر كل عنصر من عناصر هذه المصفوفة معاملًا واحدًا فقط.

لننظر إلى نظام المعادلات الخطية خمسة ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي اثنين، وثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ يساوي ستة. نلاحظ أن الحدين المشتملين على ﺱ ومعامليهما يظهران أحدهما أسفل الآخر مباشرة. وينطبق الأمر نفسه على الحدين المشتملين على ﺹ. في هذه الحالة، يمكننا كتابة المعاملات في مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، كما هو موضح؛ حيث العمود الأيمن يماثل معاملي الحدين المشتملين على ﺱ، والعمود الأيسر يماثل معاملي الحدين المشتملين على ﺹ. ويعتبر هذا الشكل صحيحًا؛ لأنه عند ضرب هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين في مصفوفة العمود التي تحتوي على العنصرين ﺱ وﺹ، على الترتيب، تكون النتيجة مصفوفة رتبتها اثنان في واحد، عنصراها هما خمسة ﺱ زائد اثنين ﺹ وثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ، كما في المعادلتين الأصليتين.

افترض الآن أننا نريد تضمين كل المعلومات عن نظام من معادلتين. الحدان في الطرف الأيسر من المعادلتين تمت محاذاتهما أيضًا. ويمكننا تمثيل ذلك في المصفوفة، كما هو موضح؛ حيث يمثل الخط الرأسي علامة يساوي. هذه الطريقة لحل المعادلات تصبح أكثر أهمية عندما يزداد عدد المعادلات أو عدد المتغيرات. لنتناول الآن تعريفًا منهجيًّا.

المصفوفتان اللتان عرضناهما سابقًا تعرفان بمصفوفة المعاملات والمصفوفة الموسعة. نبدأ بالنظر إلى نظام معادلات خطية عام في المتغيرات ﺱ واحد، وﺱ اثنين، وهكذا، والمعاملات ﺃ ﺱﺹ. يمكن كتابة هذا النظام كما هو موضح. نحصل من ذلك على مصفوفة المعاملات الآتية، وكذلك على المصفوفة الموسعة، كما هو موضح. على الرغم من أن توضيح هذه العملية بأكملها خارج نطاق هذا الفيديو، إلا أنه يمكننا استخدام هاتين المصفوفتين لحل أنظمة المعادلات. هيا نتناول الآن بعض الأمثلة المحددة.

أوجد المصفوفة الموسعة لنظام المعادلات الآتي: ﺱ زائد خمسة ﺹ يساوي ثلاثة، وثلاثة ﺱ زائد خمسة ﺹ يساوي واحدًا.

نبدأ بإعادة كتابة نظام المعادلات، وتلوين المتغيرين ﺱ وﺹ بلونين مختلفين. لدينا معادلتان في متغيرين، وهاتان المعادلتان مرتبتان بالفعل؛ بحيث يظهر الحدان المشتملان على ﺱ فيها أولًا متبوعين بالحدين المشتملين على ﺹ، ثم علامة يساوي في كل معادلة. هذا يعني أن المصفوفة الموسعة بها صفان وثلاثة أعمدة، كما هو موضح. نبدأ بالنظر إلى معاملي الحدين المشتملين على ﺱ. في المعادلة الأولى، معامل الحد المشتمل على ﺱ هو واحد. وفي المعادلة الثانية، المعامل هو ثلاثة. وهو ما يعني أن العمود الأيمن من المصفوفة يحتوي على العددين واحد وثلاثة. أما العمود التالي، فيحتوي على معاملي ﺹ، وهما في هذه الحالة خمسة وخمسة. وأخيرًا، تكتمل المصفوفة بالقيمتين في الطرف الأيسر من المعادلتين، وهما ثلاثة وواحد. عند قراءة المصفوفة الموسعة بعد استكمالها صفًّا تلو الآخر، نجد أنها تساوي واحدًا، خمسة، ثلاثة، ثلاثة، خمسة، واحدًا. وهذا يناظر نظام المعادلتين ﺱ زائد خمسة ﺹ يساوي ثلاثة، وثلاثة ﺱ زائد خمسة ﺹ يساوي واحدًا.

في هذا المثال، كان نظام المعادلات مكتوبًا في صورة مناسبة؛ حيث الحد الأول من كل معادلة هو الحد المشتمل على ﺱ، يليه الحد المشتمل على ﺹ، ثم علامة يساوي بعدهما مباشرة. ونتيجة لهذا، كانت كتابة المصفوفة الموسعة المناظرة مهمة سهلة ومباشرة إلى حد ما. وينطبق الأمر ذاته في حال كان لدينا مصفوفة موسعة، وطلب منا كتابة نظام المعادلات الخطية المناظر لها.

لنتناول الآن مثالًا من هذا النوع.

أوجد نظام معادلات من المصفوفة الموسعة الآتية: سبعة، اثنان، سالب سبعة، سالب خمسة، أربعة، ستة.

نبدأ بافتراض أن متغيري هذا النظام هما ﺱ وﺹ؛ حيث ﺱ يناظر العمود الأول، وﺹ يناظر العمود الثاني. في هذه الحالة، يتخذ نظام المعادلات الخطية الصورة الموضحة؛ حيث تكتب القيم الناقصة باستخدام المصفوفة الموسعة. يحتوي العمود الأول من المصفوفة الموسعة على المعاملين سبعة وسالب خمسة. وهما معاملا الحدين المشتملين على ﺱ في نظام المعادلات. يتضمن العمود الأوسط من المصفوفة الموسعة القيمتين اثنين وأربعة، وهما معاملا الحدين المشتملين على ﺹ. وأخيرًا، نستخدم العمود الذي في أقصى اليسار في المصفوفة الموسعة لكتابة العنصرين الناقصين المتبقيين في النظام. وهما سالب سبعة وستة، على الترتيب.

إذن المصفوفة المعطاة: سبعة، اثنان، سالب سبعة، سالب خمسة، أربعة، ستة، تناظر نظام المعادلتين: سبعة ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي سالب سبعة، وسالب خمسة ﺱ زائد أربعة ﺹ يساوي ستة. من المهم أن نلاحظ هنا أنه بما أن المثال لم يشترط تحديدًا استخدام المتغيرين ﺱ وﺹ، كان بإمكاننا استخدام متغيرات أخرى بسهولة، مثل ﺃ وﺏ. من ثم، كانت معادلتنا ستصبح سبعة ﺃ زائد اثنين ﺏ يساوي سالب سبعة وسالب خمسة ﺃ زائد أربعة ﺏ يساوي ستة.

في المثالين الأولين، تعاملنا فقط مع مصفوفات موسعة يكون فيها جميع العناصر لا تساوي صفرًا. ولاحظنا أيضًا أن المعادلات مكتوبة بطريقة تساعدنا جدًّا على الحل. سنتناول الآن مثالًا لا يتضمن أيًّا من هاتين الحالتين.

أوجد المصفوفة الموسعة لنظام المعادلات الآتي: ثمانية ﺱ ناقص ثلاثة ﻉ ناقص سبعة يساوي صفرًا، وستة ﺹ زائد ثلاثة ﺱ يساوي صفرًا، وسبعة ﻉ ناقص ستة ﺹ زائد ثمانية يساوي صفرًا.

بالنظر إلى نظام المعادلات المعطى، نلاحظ أنه مكتوب على صورة لا تساعدنا كثيرًا. لتقليل احتمال وقوعنا في خطأ عند تكوين المصفوفة الموسعة، نبدأ بإعادة كتابة نظام المعادلات الخطية. سنفعل ذلك عن طريق محاذاة الحدود المشتملة على ﺱ وﺹ وﻉ، ومحاذاة الحدود الثابتة بعضها أسفل بعض. بإضافة سبعة إلى كلا طرفي المعادلة الأولى، يصبح لدينا ثمانية ﺱ ناقص ثلاثة ﻉ يساوي سبعة. وبما أنه لا يوجد حد مشتمل على ﺹ سنترك هنا فراغًا. المعادلة الثانية لا تحتوي على حد مشتمل على ﻉ. ويمكننا إعادة كتابتها على الصورة ثلاثة ﺱ زائد ستة ﺹ يساوي صفرًا. بطرح ثمانية من كلا طرفي المعادلة الثالثة ثم إعادة ترتيب الطرف الأيمن، نحصل على سالب ستة ﺹ زائد سبعة ﻉ يساوي سالب ثمانية. ونلاحظ أنه لا يوجد في هذه المعادلة حد مشتمل على ﺱ.

بعد إعادة كتابة المعادلات، نجد أن النظام يحتوي على ثلاث معادلات في ثلاثة متغيرات. ومن ثم، فإن المصفوفة الموسعة تكون رتبتها ثلاثة في أربعة. العمود الأول من المصفوفة الموسعة يحتوي على معاملات ﺱ. وهي ثمانية، وثلاثة، وصفر. أما العمود الثاني، فيحتوي على معاملات ﺹ: صفر، وستة، وسالب ستة. بعد ذلك، لدينا معاملات ﻉ: سالب ثلاثة وصفر وسبعة. وأخيرًا، نضيف الثوابت في الطرف الأيسر من المعادلات: سبعة، وصفر، وسالب ثمانية. إذن المصفوفة الموسعة لنظام المعادلات: ثمانية ﺱ ناقص ثلاثة ﻉ ناقص سبعة يساوي صفرًا، وستة ﺹ زائد ثلاثة ﺱ يساوي صفرًا، وسبعة ﻉ ناقص ستة ﺹ زائد ثمانية يساوي صفرًا هي: ثمانية، صفر، سالب ثلاثة، سبعة، ثلاثة، ستة، صفر، صفر، صفر، سالب ستة، سبعة، سالب ثمانية.

في المثال الأخير سنلقي نظرة على عكس هذه العملية؛ حيث يعطينا السؤال مرة أخرى مصفوفة موسعة، ويطلب منا إيجاد نظام المعادلات.

من المصفوفة الموسعة: اثنان، صفر، سالب تسعة، خمسة، صفر، أربعة، سالب تسعة، خمسة، سالب أربعة، سالب تسعة، صفر، صفر، أوجد نظام المعادلات.

نبدأ بافتراض أن المتغيرات المناظرة للأعمدة الأول والثاني والثالث هي ﺱ وﺹ وﻉ، على الترتيب. هذا يعني أن علينا كتابة العناصر الناقصة في النظام الآتي المكون من ثلاث معادلات تحتوي على ثلاث قيم مجهولة. العمود الأول في المصفوفة الموسعة يناظر معاملات ﺱ. وهي: اثنان، وصفر، وسالب أربعة. العمود الثاني يناظر معاملات ﺹ: صفر، وأربعة، وسالب تسعة. أما العمود الثالث: سالب تسعة، وسالب تسعة، وصفر، فهو يضم معاملات ﻉ. وأخيرًا، العناصر الموجودة في العمود الأيسر من المصفوفة تناظر العناصر الموجودة في الطرف الأيسر من المعادلات. وهي خمسة، وخمسة، وصفر.

يمكننا تبسيط هذه المعادلات بتجاهل أي حد له المعامل صفر. كذلك جمع سالب تسعة هو نفسه طرح تسعة. لذا يمكننا الآن إعادة كتابة المعادلة الأولى على الصورة: اثنان ﺱ ناقص تسعة ﻉ يساوي خمسة. وبالطريقة نفسها، تصبح المعادلة الثانية: أربعة ﺹ ناقص تسعة ﻉ يساوي خمسة، وتصبح المعادلة الثالثة: سالب أربعة ﺱ ناقص تسعة ﺹ يساوي صفرًا. إذن المصفوفة الموسعة: اثنان، صفر، سالب تسعة، خمسة، صفر، أربعة، سالب تسعة، خمسة، سالب أربعة، سالب تسعة، صفر، صفر تناظر نظام المعادلات: اثنان ﺱ ناقص تسعة ﻉ يساوي خمسة، وأربعة ﺹ ناقص تسعة ﻉ يساوي خمسة، وسالب أربعة ﺱ ناقص تسعة ﺹ يساوي صفرًا.

رأينا في هذا الفيديو أن التحويل بين نظام معادلات خطية والمصفوفة الموسعة المناظرة عادة ما يكون عملية بسيطة. بمجرد كتابة نظام المعادلات الخطية في المصفوفة الموسعة الصحيحة، يمكننا حل نظام المعادلات من خلال التعامل مع المصفوفة الموسعة باستخدام العمليات الصفية جزءًا من طريقة جاوس-جوردان للحذف. مع ذلك، وكما ذكرنا من قبل، هذا الجزء خارج عن نطاق هذا الفيديو. لنلخص الآن النقاط الرئيسية.

رأينا في هذا الفيديو أنه يمكننا كتابة نظام عام من المعادلات الخطية بدلالة مصفوفته الموسعة، أو العكس. ورأينا أن في مصفوفة المعاملات لنظام المعادلات الخطية، الذي يحتوي على ﻡ من المعادلات في ﻥ من المتغيرات، فإن مصفوفة المعاملات تحتوي على ﻡ من الصفوف وﻥ من الأعمدة؛ ومن ثم فإن رتبتها هي ﻡ في ﻥ. بينما تحتوي المصفوفة الموسعة لهذا النظام على ﻡ من الصفوف وﻥ زائد واحد من الأعمدة، وهو ما يعني أن رتبتها ﻡ في ﻥ زائد واحد.

عند كتابة نظام المعادلات الخطية في صورة مصفوفة موسعة، من الضروري أن تظهر المتغيرات بالترتيب نفسه في كل معادلة قبل كتابة معاملات هذا النظام في المصفوفة الموسعة. إحدى طرق المساعدة في هذه العملية هي تلوين المتغيرات. إذا ظهرت كمية لا تمثل متغيرًا ولا معاملًا لمتغير، فيجب أن تظهر في الطرف الأيسر من المعادلة قبل تكوين المصفوفة الموسعة. وأخيرًا، إذا لم يظهر أحد المتغيرات في إحدى المعادلات، فإن معامل هذا المتغير يساوي صفرًا، ومن المفترض أن تكون قيمة العنصر المناظر في المصفوفة الموسعة تساوي صفرًا.