فيديو: إثبات أن ‪1 = 2‬‏ باستخدام أساسيات علم الجبر

في هذا الفيديو سوف نعرض دليلًا جبريًا واضحًا على أن 1 يساوي 2، ثم نبحثه سطرًا بسطر لنكتشف خطأ منطقيًا في الحل.‎

٠٦:٥٥

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنستخدم بعض أساسيات علم الجبر لإثبات أن واحدًا يساوي اثنين. حسنًا، ربما كان هذا شيئا عجيبًا ولكن لنري.

أولًا، لنعين متغيرين، 𝑝 و𝑞. وسنفترض أن قيمة 𝑝 مساوية لقيمة 𝑞. هذا يعطينا المعادلة 𝑝 يساوي 𝑞. والآن، لنأخذ تلك المعادلة ونضرب طرفيها في 𝑝. إذن، 𝑝 في 𝑝 يساوي 𝑝 في 𝑞، أو ببساطة 𝑝𝑝 يساوي 𝑝𝑞. لكن مهلًا! 𝑝𝑝 يعني 𝑝 في 𝑝 أو 𝑝 تربيع، لذا يمكننا القول إن 𝑝 تربيع يساوي 𝑝 في 𝑞 أو 𝑝𝑞.

والآن لنطرح 𝑞 تربيع من طرفي المعادلة. وبما أننا قد فعلنا الشيء نفسه على طرفي المعادلة؛ لذا فالمعادلة لا تزال سليمة. 𝑝 تربيع ناقص 𝑞 تربيع يساوي 𝑝𝑞 ناقص 𝑞 تربيع. وعندما يكون لدينا مربع عدد مطروحًا منه مربع عدد آخر، فإننا نسمي هذا فرقًا بين مربعين. ويمكننا أن نحلل هذا التعبير على النحو الآتي: 𝑝 تربيع ناقص 𝑞 تربيع يساوي 𝑝 ناقص 𝑞 في 𝑝 زائد 𝑞.

لنلق نظرة على الآتي: موجب 𝑝 في موجب 𝑞 يساوي موجب 𝑝 تربيع؛ وموجب 𝑝 في موجب 𝑞 يساوي موجب 𝑝𝑞؛ وسالب 𝑞 في موجب 𝑝 يساوي سالب 𝑞𝑝؛ وسالب 𝑞 في موجب 𝑞 يساوي سالب 𝑞 تربيع. و𝑝𝑞 يعني 𝑝 مضروبة في 𝑞 و𝑞𝑝 يعني 𝑞 مضروبة في 𝑝. ولكن الضرب عملية تبادلية، وهذا يعني أنه لا يهم الترتيب الذي نضرب به الأعداد بعضها في بعض. إذن ضرب 𝑝 في 𝑞 يعطينا النتيجة نفسها التي يعطينا إياها ضرب 𝑞 في 𝑝، وهذا يعني أننا نستطيع إعادة التعبير عن 𝑞𝑝 لتصبح 𝑝𝑞.

وهكذا فإن التعبير الرياضي أصبح الآن كالتالي: 𝑝 تربيع زائد 𝑝𝑞 ناقص 𝑝𝑞 ناقص 𝑞 تربيع. يمكن شطب زائد 𝑝𝑞 مع ناقص 𝑝𝑞 حيث الناتج لا شيء. وقد أثبتنا من قبل أن 𝑝 تربيع ناقص 𝑞 تربيع يساوي 𝑝 ناقص 𝑞 في 𝑝 زائد 𝑞. وهذا يعني أننا نستطيع كتابة الطرف الأيسر للمعادلة على هذا النحو. لدينا الآن 𝑝 ناقص 𝑞 في 𝑝 زائد 𝑞 يساوي 𝑝𝑞 ناقص 𝑞 تربيع.

وهكذا نكون قد حللنا الطرف الأيسر للمعادلة. لكن على الطرف الأيمن، نرى كذلك أن الحدين بينهما عامل مشترك هو 𝑞؛ لذا يمكننا تحليل هذا الطرف أيضًا. لدينا الآن إذن 𝑝 ناقص 𝑞 في 𝑝 زائد 𝑞 يساوي 𝑞 في 𝑝 ناقص 𝑞. والآن سنلاحظ أن لدينا 𝑝 ناقص 𝑞 في كلا طرفي المعادلة؛ لذا فإذا قسمنا كلا الطرفين على 𝑝 ناقص 𝑞، فسنحصل على 𝑝 ناقص 𝑞 في البسط والمقام في كلا الطرفين، ويمكننا شطبهما.

𝑝 ناقص 𝑞 على 𝑝 ناقص 𝑞 على الطرف الأيسر يساوي واحدًا، وبالمثل على الطرف الأيمن. إذن لدينا على الطرف الأيسر واحد في 𝑝 زائد 𝑞 على واحد، وهو ما يساوي 𝑝 زائد 𝑞. وعلى الطرف الأيمن، لدينا 𝑞 في واحد على واحد، وهذا يساوي 𝑞. وهذا يعني أن 𝑝 زائد 𝑞 يساوي 𝑞.

والآن لنتذكر؛ لقد قلنا في البداية إن 𝑝 يساوي 𝑞، وهذا يعني أن بإمكاننا وضع 𝑞 بدلًا من 𝑝 في المعادلة، وهو ما يعطينا 𝑞 زائد 𝑞 يساوي 𝑞. حسنًا، 𝑞 زائد 𝑞 يساوي ببساطة اثنين 𝑞. إذن الآن اثنان 𝑞 يساوي 𝑞. والآن يمكننا قسمة كلا الطرفين على 𝑞؛ على اليسار، 𝑞 على 𝑞 يساوي واحدًا؛ وبالمثل على اليمين، 𝑞 على 𝑞 يساوي واحدًا. ويكون الناتج اثنين في واحد على واحد على اليسار، وهذا يساوي اثنين؛ وواحدًا على واحد على اليمين، وهو ما يساوي واحدًا فقط.

ها قد حصلنا على الإثبات إذن! اثنان يساوي واحدًا، أو بالأحرى، واحد يساوي اثنين. ها قد حطمنا الرياضيات! لا داعي للاستمرار إذن! ولكن حسنًا، أوقف الفيديو، وتفحص الإثبات سطرًا سطرًا، وانظر إن كنت تستطيع إيجاد أي أخطاء في المنطق الذي اتبعناه.

بالطبع واحد لا يساوي اثنين. ولو كان الأمر كذلك، لسمعنا به حتمًا في نشرات الأخبار. لذا دعونا نتفحص حلنا للمسألة سطرًا سطرًا، ونر ما إذا أمكننا استنباط ما حدث. أولا، لا توجد مشكلة في تحديد متغيرين هما 𝑝 و𝑞 وجعلهما متساويين. ولا مشكلة على الإطلاق بضرب كلا طرفي المعادلة في العدد نفسه، وهو 𝑝. وبالتأكيد 𝑝 تربيع يساوي 𝑝 في 𝑝، لذا فهذا أيضًا صحيح.

كذلك فإن طرح العدد نفسه من كلا طرفي المعادلة يبقي طرفيها متساويين، إذن، لا مشكلة في ذلك أيضًا. وقد نظرنا في تحليل الفرق بين مربعين ببعض التفصيل في الإثبات السابق، وهذا أيضًا لا بأس به على الإطلاق. كما أن التحليل بأخذ العامل المشترك 𝑞 على الطرف الأيمن للمعادلة لا بأس به إطلاقًا.

وعند الانتقال من الخطوة السادسة إلى الخطوة السابعة، قسمنا كلا طرفي المعادلة على 𝑝 ناقص 𝑞. حسنًا، قد يكون لا بأس بهذا عادة، لكننا قلنا في البداية إن 𝑝 يساوي 𝑞. إذن فإن 𝑝 ناقص 𝑞 يساوي ناتج طرح عدد من نفسه؛ وهو صفر. إذن نحن نقسم كلا طرفي المعادلة على صفر. وهذه مشكلة. فمثلًا، ما ناتج قسمة واحد على صفر؟ مهما كان عدد المرات التي نضيف فيها الصفر إلى نفسه، فلن نصل أبدًا إلى واحد.

أي شيء مقسوم على صفر هو كمية غير معرفة. لذا فعندما نقسم في المعادلات، علينا التأكد من أن ما نقسم عليه لا يساوي صفرًا. دعونا أيضًا ننظر إلى الأمر بطريقة مختلفة قليلًا. في السطر السادس، كان لدينا 𝑝 ناقص 𝑞 في 𝑝 زائد 𝑞، ولكن 𝑝 ناقص 𝑞 يساوي صفرًا. إذن فالطرف الأيسر يعني في الحقيقة صفرًا في 𝑝 زائد 𝑞، و𝑝 ناقص 𝑞 يساوي صفرًا على الطرف الأيمن أيضًا، أي إنه يصبح 𝑞 في صفر.

إذن فما نقوله هو أن لدينا هنا صفرًا في عدد يساوي عددًا في صفر. وبما أن حاصل ضرب صفر في عدد يساوي صفرًا، وحاصل ضرب عدد في صفر يساوي صفرًا، فإننا نقول هنا إن صفرًا يساوي صفرًا. وهذا صحيح لا شك. ولكن ذلك لا يعني أن الأشياء التي نضربها في صفر متساوية أيضًا. لذا فعند الانتقال من السطر السادس إلى السابع، فإننا لا نعلم ما إذا كان 𝑝 زائد 𝑞 يساوي 𝑞. كل ما نعرفه هو أن صفرًا في 𝑝 زائد 𝑞 يساوي صفرًا في 𝑞. وهذا يعني أن كل ذلك خاطئ؛ أي إننا لم نثبت أن واحدًا يساوي اثنين، بل أثبتنا أن صفرًا في واحد يساوي صفرًا في اثنين. مرحى! يبدو أن عالم الرياضيات لا يزال قائمًا ومستقرًا في نهاية الأمر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.