تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حساب نهايات الدوال النسبية عند ما لا نهاية جبريًّا

سوزان فائق

يوضح الفيديو استخدام خاصية نهاية دالة المقلوب، وخصائص النهايات، لحساب نهايات الدوال النسبية عند اللانهاية جبريًّا، وأمثلة توضيحية.

١٤:٣٨

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم في الفيديو ده على حساب نهاية الدوال النسبية عند المالانهاية جبريًّا.

نهاية الدالة تعني قيمة الدالة لمّا بنقترب من قيمة معينة للـ س. يعني الـ س لما بتقترب من الـ أ، بيبقى فيه سلوك معيّن للدالة، اللي هو قيمة الدالة لما بتقترب من القيمة دي. علشان نحسب نهايات الدوال، بنستخدم خصائص المجموع والفرق والضرب والقسمة وخاصية الضرب في ثابت. علشان نحسب نهاية دالة نسبية عند المالانهاية، بنحتاج كمان إلى خاصية اسمها نهايات دالة المقلوب. ودالة المقلوب اللي هي بتبقى بالشكل ده، هي د س تساوي واحد على ر س؛ حيث ر س دالة خطية. وَ ر س لا تساوي صفر. نشوف إيه هي خاصية نهاية دالة المقلوب عند المالانهاية.

إن نهاية دالة المقلوب عند موجب أو سالب ما لا نهاية، دايمًا قيمتها بتبقى صفر. يعني لمّا هنرسم دالة س تساوي واحد على س، هتبقى بالشكل اللي قدامنا ده. لما الـ س تئول للمالانهاية، اللي هو اللي الاتجاه ده؛ يبقى قيمة الـ ص بتنزل للصفر. ولما الـ س بتئول للسالب ما لا نهاية، الـ ص كمان بتنزل للصفر. يبقى لأي عدد صحيح موجب ن، فإن نهاية الدالة واحد على س أُس ن بتساوي صفر. لما الـ س هتئول للموجب ما لا نهاية، أو السالب ما لا نهاية. الخاصية دي مع خصائص حساب النهايات، هنجمّعهم مع بعض بالشكل ده. اللي همّ الدالة الثابتة لو كانت دالة س تساوي ل، يعني قيمة ثابتة على طول؛ فإن نهاية دالة س لما س بتئول للـ أ هي تساوي ل. ودالة المقلوب اللي اتكلمنا عنها دلوقتي لأي ن عدد صحيح موجب، فإن نهاية واحد على س أُس ن، لما الـ س تئول لموجب أو سالب ما لا نهاية؛ فدايمًا قيمتها صفر.

عندنا خاصية المجموع أو الفرق اللي هي نهاية دالة س زائد أو ناقص ر س، لمّا الـ س بتئول للـ أ. بناخد لوحد … الـ د س لوحدها نجيب لها نهايتها، ونجمعها أو نطرحها على نهاية ر س عند النقطة لما الـ س تئول للـ أ. وعندنا كمان خاصية الضرب في عدد ثابت، اللي هي نهاية ك لما تكون مضروبة في د س، لما الـ س بتئول للـ أ. هتساوي … الـ ك في نهاية د س لما الـ س بتئول للـ أ. وعندنا خاصية كمان. نهاية دالة س على ر س، اللي هي خاصية القسمة، لما الـ س بتئول للـ أ. هنجيب نهاية البسط لوحده على نهاية المقام لوحده. يعني نهاية د س لما الـ س بتئول للـ أ، على نهاية ر س لما الـ س بتئول لِـ أ. بشرط إن نهاية ر س لمّا الـ س بتئول للـ أ لا تساوي صفر. بنستخدم الخواص دي في حساب نهايات الدوال النسبية عند المالانهاية. وبتُستخدم نهايات دالة المقلوب عند المالانهاية لحساب نهايات الدوال النسبية عند المالانهاية. وذلك بقسمة كل حدّ في بسط ومقام الدالة النسبية على أعلى قوة لمتغير الدالة.

يعني بنستفيد من نهاية الدالة المقلوبة عند المالانهاية، بإن إحنا نقسم كل حدّ في بسط ومقام الدالة النسبية، على أعلى قوة لمتغير الدالة. نقلب الصفحة ونشوف إزَّاي.

احسب كل نهاية مما يأتي:

أول واحدة: نهاية أربعة س زائد خمسة على تمنية س ناقص تلاتة، لما الـ س تئول للمالانهاية.

دي دالة نسبية عايزين نحسب قيمة النهاية لها عند المالانهاية. يبقى هنقسم كل حدّ على أعلى قوة، وهو س. أربعة س زائد خمسة على تمنية س ناقص تلاتة. هنقسم كل حدّ على س. يعني هتساوي … نهاية أربعة س على س، زائد خمسة على س. ده في البسط. على، تمنية س على س، ناقص تلاتة على س، في المقام. هنبسّط الكلام ده. هيساوي نهاية لما الـ س تئول للمالانهاية … البسط أربعة س على س، هتبقى أربعة زائد، خمسة على س. تمنية س على س هتبقى تمنية ناقص، تلاتة على س.

هنستخدم خصائص القسمة والمجموع والفرق والضرب في ثابت؛ عشان نحسب النهاية دي. يعني هتساوي نهاية أربعة … ده اللي هو نهاية دالة ثابتة، لما الـ س تئول للمالانهاية. زائد … نهاية خمسة على س، لما الـ س هتئول للمالانهاية. على … نهاية تمنية، لما الـ س تئول للمالانهاية. ناقص نهاية تلاتة على س، لما الـ س هتئول للمالانهاية.

يبقى كده استخدمنا خاصية المجموع والفرق والقسمة. وهنا دي فيها خمسة على س؛ يعني هتبقى خمسة في نهاية واحد على س، اللي هي خاصية الضرب في ثابت. والمقام بنفس الطريقة. نهاية تلاتة على س لما الـ س تئول للمالانهاية، هتبقى بالشكل ده. هنجيب نهاية كل حدّ. نهاية الأربعة لما الـ س بتئول للمالانهاية دي دالة ثابتة؛ يبقى نفس القيمة. زائد خمسة … في نهاية واحد على س لما الـ س بتئول للمالانهاية دي قيمتها صفر. مقلوب دالة بنجيب نهايته عند المالانهاية؛ عشان كده قيمتها صفر.

بعد كده المقام هيبقى نهاية التمنية اللي هي دالة ثابتة. يبقى نفس القيمة اللي هي التمنية. ناقص تلاتة … نهاية واحد على س لما الـ س بتئول للمالانهاية هتبقى صفر. يبقى كده قيمة النهاية للدالة كلها أربعة على تمنية، اللي هي هتساوي نُص.

ممكن علشان نتأكد إن الحل بتاعنا سليم نمثّل الدالة بيانيًّا. هتبقى بالشكل ده. لما الـ س تئول للمالانهاية، هيبقى قيمة الدالة ص تساوي نص. لمّا بنحسب النهايات مش دايمًا بنستخدم الآلة الحاسبة ونعتمد على نتايجها؛ لأن فيه أوقات لمّا الدالة بتقترب من عدد معيّن، بتسلك سلوك مش جيد. لما بتقرّب لنقطة معينة. يعني ممكن تقلّ بسرعة أوي، أو تكبر بسرعة أوي. وبيبقى سلوكها غير متوقَّع. فعلشان كده الآلة الحاسبة مش بتبقى دقيقة في حل النهايات. وبيبقى الأحسن لينا إن إحنا نستخدم الطرق الجبرية، كل امّا بنقدر نستخدمها في إيجاد قيم النهايات.

نقلب الصفحة ونكمّل المثال.

نحسب نهاية ستة س تربيع ناقص س على تلاتة س أُس تلاتة زائد الواحد، لما الـ س بتئول للسالب ما لا نهاية.

أول خطوة دي دالة نسبية. وعايزين نحسب النهاية عند سالب ما لا نهاية. يبقى هنقسم كل حدّ على أعلى قوى، وهو س تكعيب. يبقى الدالة ستة س تربيع على س تكعيب. ناقص س على س تكعيب. على تلاتة س تكعيب على س تكعيب. زائد واحد على س تكعيب.

هنبسّط الكلام ده. س تربيع هنختصرها مع الـ س تكعيب، هيتبقّي ستة على س. وَ س على س تكعيب، هتبقى ناقص واحد على س تربيع. والمقام هيبقى الـ س تكعيب، هنختصرها مع الـ س تكعيب. هيتبقّى لنا تلاتة زائد واحد على س تكعيب. الكلام ده كله هنجيب له النهاية لما الـ س تئول للسالب ما لا نهاية. بعد كده هنوزّع النهاية بخصائص المجموع والفرق والضرب في ثابت. يبقى هنساوي نهاية ستة على س ثابت في واحد على س، لما الـ س هتئول لسالب ما لا نهاية. ناقص نهاية واحد على س تربيع، لما الـ س هتئول لسالب ما لا نهاية. على نهاية التلاتة لما الـ س هتئول للسالب ما لا نهاية دي دالة ثابتة. زائد نهاية واحد على س تكعيب لما الـ س هتئول للسالب ما لا نهاية.

هنستخدم نهاية الدالة الثابتة ودالة المقلوب عند المالانهاية. يبقى الناتج عندنا هيساوي ستة في نهاية دالة مقلوب. يبقى ستة في صفر؛ لأن الـ س هتئول للسالب ما لا نهاية. ناقص نهاية واحد على س تربيع، دالة مقلوب عند المالانهاية، يبقى قيمتها صفر. على … نهاية التلاتة دي دالة ثابتة. يبقى تلاتة زائد نهاية واحد على س تكعيب لما الـ س تئول لسالب ما لا نهاية؛ هتبقى صفر. يبقى النتيجة هتساوي صفر.

هنقلب الصفحة وناخد مثال كمان.

نهاية خمسة س أُس أربعة على تسعة س أُس تلاتة زائد اتنين س، لما س تئول للمالانهاية. أول خطوة عندنا نقسم كل حدّ على أعلى قوة، وهو س أُس أربعة. يبقى هنساوي نهاية لما الـ س تئول للمالانهاية. خمسة س أُس أربعة على س أُس أربعة. تسعة س تكعيب على س أُس أربعة. زائد اتنين س على س أُس أربعة. هنختصر الـ س أُس أربعة مع س أُس أربعة. يبقى هيتبقّى عندنا في البسط خمسة … على س أُس تلاتة على س أُس أربعة يبقى تسعة على س. زائد س مع س أُس أربعة، هيتبقّى اتنين على س تكعيب. الكل ده هنجيب له النهاية لما الـ س تئول للمالانهاية.

بعد كده هنستخدم خصائص القسمة والمجموع والفرق والضرب في ثابت. يبقى هنساوي نهاية خمسة للـ س، لما تئول للمالانهاية على التسعة. في نهاية واحد على س، لما الـ س تئول للمالانهاية. زائد اتنين في نهاية واحد على س تكعيب، لما الـ س هتئول للمالانهاية. البسط دالة ثابتة يبقى قيمتها خمسة. تسعة في نهاية واحد على س يبقى تسعة في صفر. زائد اتنين في نهاية واحد على س تكعيب، لما س تئول للمالانهاية؛ هتبقى في صفر. يبقى الناتج خمسة على صفر. وحيث أن نهاية المقام طلعت صفر، فإننا نكون طبّقنا خطأ خاصية القسمة؛ لأن المقام لازم نهايته لا تساوي صفر. إلا أننا نعلم أنه عنده قسمة العدد خمسة على قيم صغيرة موجبة تقترب من الصفر، فإن الناتج سيكون كبيرًا بشكل غير محدود. أي أن النهاية هي ما لا نهاية.

كده اتكلمنا على نهاية الدوال النسبية في تلات حالات مختلفة للتلات أمثلة اللي اتكلمنا عنهم. هنقلب الصفحة ونلخّصهم.

الحالة الأولانية كانت نهاية أربعة س زائد خمسة على تمنية س ناقص تلاتة. كانت لما الـ س تئول للمالانهاية بتساوي نص. نهاية ستة س تربيع ناقص س على تلاتة س تكعيب زائد واحد لما الـ س تئول لسالب ما لا نهاية؛ طلعت صفر. نهاية خمسة س أُس أربعة على تسعة س أُس تلاتة زائد اتنين س لما الـ س بتئول للمالانهاية؛ طلعت ما لا نهاية. دول التلات حالات للدوال النسبية. تلات حالات عند حساب نهايات الدوال النسبية، عندما تقترب س من المالانهاية. أول حالة لما تكون درجة البسط أكبر من درجة المقام، ودي كانت الحالة رقم تلاتة. درجة البسط أقل من درجة المقام، دي كانت الحالة رقم اتنين. ودرجة البسط تساوي درجة المقام، ودي كانت الحالة رقم واحد في المثال المحلول.

هناخد بالنا إن لما تكون درجة البسط أكبر من درجة المقام، كان الحل بيساوي ما لا نهاية. ولما كانت درجة البسط أقل من درجة المقام، كان النهاية تساوي صفر. والحالة الوحيدة اللي كان بيطلع فيها رقم، كانت درجة البسط تساوي درجة المقام. وكان قيمة النهاية مساوية لناتج قسمة معاملي الحدّين الأعلى في البسط والمقام. يعني الأربعة س والتمنية س كانت النهاية بتساوي ناتج القسمة أربعة على تمنية، اللي هي كانت بتساوي نص. يبقى درجة البسط أكبر من درجة المقام، هتبقى النهاية هتساوي ما لا نهاية. درجة البسط أقل من درجة المقام، يبقى النهاية هتساوي صفر. درجة البسط تساوي درجة المقام، يبقى النهاية مساوية لناتج قسمة معاملي الحدين الأعلى في البسط والمقام.

اتكلمنا في الفيديو ده عن حساب نهايات الدوال النسبية. واتكلّمنا عن التلات حالات اللي بنحسب فيهم النهايات. وعرفنا يعني إيه دالة المقلوب. وإزَّاي بنجيب نهاية دالة المقلوب عندما المالانهاية.