نسخة الفيديو النصية
هل النسبة بين السرعات المناظرة للخطوط الآتية في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن هي نفسها لأي خطين متجاورين؟
كما نرى، لدينا في هذا السؤال تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن. وهو تمثيل بياني يوضح المسافة على المحور الرأسي أو المحور 𝑦 مقابل الزمن على المحور الأفقي أو المحور 𝑥. توجد أربعة خطوط مختلفة مرسومة على هذا التمثيل البياني، ومطلوب منا المقارنة بين السرعات المناظرة لهذه الخطوط. سنشير إلى السرعة المناظرة للخط الأحمر بـ 𝑉𝑟، وتلك المناظرة للخط الأزرق 𝑉𝑏، وللخط الأخضر 𝑉𝑔، وللخط البرتقالي 𝑉𝑜. علينا معرفة إذا ما كانت النسبة بين هذه السرعات هي نفسها لأي خطين متجاورين على التمثيل البياني.
من التمثيل البياني، نلاحظ أن الخط الأحمر مجاور للخط الأزرق، والنسبة بين السرعتين المناظرتين لهما تساوي 𝑉𝑟، وهي سرعة الخط الأحمر، مقسومة على 𝑉𝑏، وهي سرعة الخط الأزرق. الخط الأزرق مجاور أيضًا للخط الأخضر، والنسبة بين هاتين السرعتين تساوي 𝑉𝑏 مقسومة على 𝑉𝑔. وأخيرًا، يمكننا ملاحظة أن الخط الأخضر مجاور للخط البرتقالي أيضًا، والنسبة بين هاتين السرعتين تساوي 𝑉𝑔 مقسومة على 𝑉𝑜. كل نسبة من هذه النسب الثلاث للسرعات تمثل النسبة بين سرعتي خطين متجاورين على التمثيل البياني. إذن عندما يطلب منا السؤال تحديد إذا ما كانت النسبة بين السرعات هي نفسها لأي خطين متجاورين، فهذا يماثل سؤالنا إذا ما كانت هذه النسب الثلاث لها القيمة نفسها أم لا.
ومن ثم، للإجابة عن هذا السؤال، علينا إيجاد قيمة كل نسبة من هذه النسب الثلاث لنرى إذا ما كانت متساوية أم لا. إذا وجدنا أن كل هذه النسب لها القيمة نفسها؛ أي إذا علمنا أن علاقة التساوي هذه صحيحة، فهذا يعني أن النسبة بين السرعات هي نفسها لأي خطين متجاورين. وعلى العكس من ذلك، إذا تبين لنا أن العبارة غير صحيحة، فهذا يعني أن النسبة بين السرعات ليست هي نفسها لأي خطين متجاورين. لإيجاد قيمة كل نسبة من هذه النسب الثلاث، دعونا نبدأ بإيجاد قيمة كل سرعة من السرعات الأربع.
نسترجع هنا أن سرعة الجسم تعرف بأنها معدل تغير المسافة التي يقطعها هذا الجسم خلال زمن معين. هذا يعني أنه إذا تحرك جسم مسافة مقدارها Δ𝑑، واستغرق زمنًا مقداره Δ𝑡 لفعل ذلك، فإن السرعة المتوسطة لهذا الجسم خلال هذا الزمن، والتي سنسميها 𝑉، تساوي Δ𝑑 مقسومة على Δ𝑡. يمكننا أيضًا كتابة هذا الكسر بطريقة أخرى. إذا تحرك الجسم بين الزمن 𝑡 واحد والزمن 𝑡 اثنين، من المسافة 𝑑 واحد إلى المسافة 𝑑 اثنين، فإن سرعته المتوسطة 𝑉 تساوي 𝑑 اثنين ناقص 𝑑 واحد مقسومًا على 𝑡 اثنين ناقص 𝑡 واحد.
بما أن التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يوضح المسافة على المحور الرأسي مقابل الزمن على المحور الأفقي، فإذا كانت 𝑡 واحد، 𝑑 واحد و𝑡 اثنان، 𝑑 اثنان هي إحداثيات نقطتين تقعان على خط مستقيم مرسوم على تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن، فهذا يعني أن هذا التعبير يساوي التغير في الإحداثي الرأسي بين هاتين النقطتين مقسومًا على التغير في الإحداثي الأفقي بين النقطتين ذاتهما. بعبارة أخرى، يعطينا هذا التعبير ميل خط مستقيم مرسوم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن. يمكننا القول إذن إن سرعة الجسم تساوي ميل الخط المستقيم المناظر لهذه السرعة على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن.
الخط المستقيم خط له ميل ثابت. هذا يعني أن الميل له القيمة نفسها عند كل النقاط الواقعة على طول الخط المستقيم. إذن فالخط المستقيم المرسوم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يمثل سرعة ثابتة. نلاحظ أن جميع الخطوط الأربعة المرسومة على التمثيل البياني خطوط مستقيمة، ومن ثم فإن جميعها يمثل حركة بسرعة ثابتة. وفي حالة الحركة بسرعة ثابتة، تكون السرعة المتوسطة هي نفسها السرعة عند أي نقطة أثناء هذه الحركة. هذا يعني أنه يمكننا دون تردد استخدام هذا التعبير للسرعة المتوسطة 𝑉، بالإضافة إلى إحداثيات أي نقطتين تقعان على كل خط مستقيم، لحساب كل سرعة من السرعات الأربع. دعونا الآن نفرغ بعض المساحة على الشاشة لنتمكن من فعل ذلك.
يمكننا ملاحظة أن الخطوط الأربعة الموضحة على التمثيل البياني تمر بنقطة الأصل. هذا يعني أن قيمة الزمن عند هذه النقطة تساوي صفر ثانية، وقيمة المسافة تساوي صفر متر. وهذا يعني أنه يمكننا استخدام نقطة الأصل بوصفها النقطة الأولى في كل من الخطوط الأربعة، وهو ما يعطينا 𝑡 واحدًا يساوي صفر ثانية، و𝑑 واحدًا تساوي صفر متر في كل الحالات الأربع. دعونا نبدأ بإيجاد قيمة 𝑉𝑟. وهي السرعة المناظرة للخط الأحمر.
فيما يخص النقطة الثانية على هذا الخط الأحمر، سنختار هذه النقطة لأن الخط المستقيم عند هذه النقطة يتقاطع مع خط رأسي وآخر أفقي بشبكة الرسم، وهو ما سيسهل تحديد قيمة كل من الزمن والمسافة. بالتحرك لأسفل على طول خط شبكة الرسم الرأسي حتى نصل إلى محور الزمن، يمكننا ملاحظة أن هذه النقطة تقع عند زمن مقداره أربع ثوان. إذن في حالة هذا الخط الأحمر، تلك هي قيمة 𝑡 اثنين. بعد ذلك، إذا تحركنا بداية من النقطة نحو محور المسافة على طول خط شبكة الرسم الأفقي، فسنلاحظ أن الجسم عند هذه النقطة قد قطع مسافة مقدارها ثمانية أمتار. وهذا يعطينا قيمة الكمية 𝑑 اثنين.
يمكننا الآن أخذ هذه القيم الأربع للكميات 𝑡 واحد و𝑑 واحد و𝑡 اثنين و𝑑 اثنين، والتعويض بها في هذه المعادلة لحساب السرعة 𝑉𝑟. نجد أن 𝑉𝑟 تساوي ثمانية أمتار، أي قيمة المسافة 𝑑 اثنين، ناقص صفر متر، أي قيمة المسافة 𝑑 واحد، مقسومًا على أربع ثوان، أي الزمن 𝑡 اثنين، ناقص صفر ثانية. وهو الزمن 𝑡 واحد. في البسط، ثمانية أمتار ناقص صفر متر يساوي ثمانية أمتار. وبالمثل في المقام، أربع ثوان ناقص صفر ثانية يساوي أربع ثوان. إذن 𝑉𝑟 تساوي ثمانية أمتار مقسومًا على أربع ثوان. هذا يعني أن السرعة تساوي مترين لكل ثانية.
والآن دعونا نطبق الخطوات نفسها على الخط الأزرق. هذا يعني إيجاد قيمة 𝑉𝑏. كما فعلنا من قبل، نستخدم نقطة الأصل بوصفها النقطة الأولى. إذن لدينا 𝑡 واحد يساوي صفر ثانية، و𝑑 واحد يساوي صفر متر. فيما يخص النقطة الثانية على الخط الأزرق، سنختار هذه النقطة هنا. يمكننا ملاحظة أن هذه النقطة لها قيمة الزمن نفسها التي كانت للخط الأحمر، وهي أربع ثوان. وعليه، كما وجدنا سابقًا، 𝑡 اثنان يساوي أربع ثوان. بعد ذلك بالتحرك أفقيًّا نحو محور المسافة، يمكننا ملاحظة أنه عند النقطة الثانية على الخط الأزرق، المسافة المقطوعة تساوي أربعة أمتار. إذن، هذه قيمة الكمية 𝑑 اثنين.
والآن إذا أخذنا هذه القيم الأربع وعوضنا بها في هذه المعادلة، فسنحصل على هذا التعبير للسرعة 𝑉𝑏. في البسط، لدينا أربعة أمتار ناقص صفر متر، وهو ما يساوي أربعة أمتار. وفي المقام، لدينا أربع ثوان ناقص صفر ثانية، وهو ما يساوي أربع ثوان. إذن، السرعة 𝑉𝑏 تساوي أربعة أمتار مقسومًا على أربع ثوان. وهذا يساوي مترًا واحدًا لكل ثانية.
والآن، دعونا ننتقل إلى الخط الأخضر ونوجد مقدار السرعة 𝑉𝑔. عند استخدام نقطة الأصل بوصفها النقطة الأولى على هذا الخط المستقيم، نحصل على 𝑡 واحد يساوي صفر ثانية، و𝑑 واحد يساوي صفر متر، بالضبط كما كان لدينا من قبل. بعد ذلك، فيما يخص النقطة الثانية على الخط الأخضر، سنختار هذه النقطة هنا. يمكننا ملاحظة أنه كما هي الحال مع النقطتين الأخريين، قيمة الزمن لهذه النقطة الثانية على الخط الأخضر تساوي أربع ثوان. إذن مرة أخرى، لدينا 𝑡 اثنان يساوي أربع ثوان.
بالتحرك أفقيًّا بداية هذه النقطة، نجد أننا نصل إلى محور المسافة عند ارتفاع مترين. وهذا يعطينا قيمة 𝑑 اثنين. بعد ذلك، بالتعويض بهذه القيم الأربع في هذه المعادلة، نحصل على هذا التعبير للسرعة 𝑉𝑔. متران ناقص صفر متر مقسومًا على أربع ثوان ناقص صفر ثانية يساوي مترين مقسومين على أربع ثوان. عند حساب قيمة ذلك، سنجد أن 𝑉𝑔 تساوي 0.5 متر لكل ثانية.
وأخيرًا، علينا إيجاد قيمة 𝑉𝑜. وهي السرعة المناظرة للخط البرتقالي. بما أننا نستخدم نقطة الأصل بوصفها النقطة الأولى، فسيكون مرة أخرى 𝑡 واحد يساوي صفر ثانية، و𝑑 واحد تساوي صفر متر. فيما يخص النقطة الثانية على الخط البرتقالي، يمكننا اختيار هذه النقطة هنا التي لها قيمة الزمن نفسها، وهي أربع ثوان، مثلما كانت الحال مع النقطة الواقعة على كل خط من الخطوط الثلاثة الأخرى. لكننا لن نختار هذه النقطة لأن عندها لا يتقاطع الخط البرتقالي مع خط شبكة الرسم الأفقي. عوضًا عن ذلك، سنختار هذه النقطة هنا؛ لأنها تتقاطع مع خط رأسي وآخر أفقي بشبكة الرسم، ما يسهل تحديد القيمتين باستخدام المحورين. وعليه، نجد أن قيمة الزمن تساوي ثماني ثوان، وقيمة المسافة تساوي مترين. إذن هاتان هما قيمتا الكميتين 𝑡 اثنين و𝑑 اثنين، على الترتيب.
بعد ذلك، باستخدام هذه القيم الأربع في هذه المعادلة، نجد أن 𝑉𝑜 تساوي مترين ناقص صفر متر مقسومًا على ثماني ثوان ناقص صفر ثانية. وهذا يساوي مترين مقسومًا على ثماني ثوان. وبحساب قيمة ذلك، نجد أن السرعة 𝑉𝑜 تساوي 0.25 متر لكل ثانية.
والآن بعدما أوجدنا قيم السرعات الأربع المناظرة للخطوط الأربعة على التمثيل البياني، أصبحنا مستعدين لحساب كل نسبة من هذه النسب الثلاث بين سرعتي كل خطين متجاورين. لكن أولًا، علينا إفراغ بعض المساحة على الشاشة.
دعونا نبدأ بهذه النسبة الأولى، 𝑉𝑟 مقسومة على 𝑉𝑏. عند التعويض عن 𝑉𝑟 بمترين لكل ثانية، وعن 𝑉𝑏 بمتر واحد لكل ثانية، تصبح هذه النسبة مترين لكل ثانية مقسومًا على متر لكل ثانية. بعد ذلك نلاحظ أن الوحدتين تحذفان من البسط والمقام، وتتبقى لدينا كمية لا بعدية. بحساب قيمة اثنين على واحد، نجد أن هذه النسبة الأولى تساوي اثنين.
يمكننا الآن فعل الشيء نفسه مع هاتين النسبتين الأخريين. عندما نعوض بقيم السرعات، نحصل على هذين التعبيرين. مرة أخرى، في كل تعبير منهما، تحذف الوحدتان من البسط والمقام. وعليه، في هذا التعبير، يصبح لدينا واحد مقسومًا على 0.5، وهو ما يساوي اثنين. وفي هذا التعبير، يصبح لدينا 0.5 مقسومًا على 0.25، وهو ما يساوي اثنين أيضًا. بذلك نكون قد أوجدنا أن كل هذه النسب الثلاث لها القيمة نفسها، وهي اثنان. هذا يعني أن العبارة صحيحة. من ثم، إجابة هذا السؤال هي: نعم، النسبة بين السرعات المناظرة للخطوط الآتية في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن هي نفسها لأي خطين متجاورين.
