فيديو السؤال: استخدام التمثيل البياني للإزاحة مقابل الزمن لتفسير السرعة المتجهة والسرعة القياسية الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يوضح التمثيل البياني كيفية تغير إزاحة جسمين بتغير الزمن. الأسهم الرمادية في التمثيل البياني لها الطول نفسه. هل يتحرك الجسمان بالسرعة المتجهة نفسها؟ هل يتحرك الجسمان بالسرعة القياسية نفسها؟

بإلقاء نظرة على هذا التمثيل البياني، نجد أنه يمثل الإزاحة مقابل الزمن. لدينا إزاحة جسمين مقابل الزمن؛ أحدهما ممثل بالخط الأحمر والآخر بالخط الأزرق. يمكننا ملاحظة أن هذه الخطوط تفصل بينها هذه الأسهم الثلاثة. وهذه الأسهم الثلاثة يشار إليها في المسألة باسم «الأسهم الرمادية». وتخبرنا معطيات المسألة بأن للأسهم الثلاثة الطول نفسه. بعبارة أخرى، هذه المسافة هنا تساوي هذه المسافة هنا تساوي هذه المسافة هنا. بمعرفة ذلك، نريد أن نعرف إذا ما كان هذان الجسمان الممثلان في هذا التمثيل البياني يتحركان بالسرعة المتجهة نفسها أم لا وإذا ما كانا يتحركان بالسرعة القياسية نفسها أم لا.

لنبدأ بسؤال السرعة المتجهة. يمكننا أن نتذكر أن السرعة المتجهة بوجه عام تعرف بأنها الإزاحة مقسومة على الزمن. بالرجوع إلى التمثيل البياني، هذا يعني أنه إذا قسمنا إزاحة هذين الجسمين على الزمن المستغرق لقطع هذه الإزاحة، فإن تلك النسبة أو ذلك الكسر؛ أي الإزاحة مقسومة على الزمن، يساوي السرعة المتجهة للجسم. وفي هذا التمثيل البياني، فإن الإزاحة على الزمن تساوي ميل هذين الخطين.

وللتبسيط ليس إلا، لنفترض أن هذا الخط الأحمر يمثل جسمًا أحمر اللون، وأن الخط الأزرق يمثل جسمًا أزرق اللون. إذن، عندما نتحدث عن الجسم الأحمر، فإننا نشير إلى هذا الخط. وعندما نقول الجسم الأزرق، فإننا نتحدث عن هذا الخط.

على أي حال، للإجابة عن هذا السؤال؛ أي إذا ما كانت السرعة المتجهة لهذين الجسمين متساوية، فسنجد أن علينا المقارنة بين ميلي هذين الخطين لمعرفة ذلك. على وجه التحديد، سيكون علينا المقارنة بين ميلي الخطين الأحمر والأزرق خلال هذه الفترة الزمنية وخلال هذه الفترة الزمنية أيضًا. لنقسم تحليلنا إلى جزأين نظرًا لأن ميلي هذين الخطين يتغيران خلال هاتين الفترتين الزمنيتين.

بالنظر إلى هذه الفترة الزمنية الأولى، نلاحظ أن الجسم الأحمر يبدأ بإزاحة تساوي صفرًا، ثم خلال هذه الفترة الزمنية، يصل إلى إزاحة كلية ممثلة بطول أحد هذه الأسهم. وخلال تلك الفترة الزمنية نفسها، ينتهي المطاف بالجسم الأزرق بإزاحة تساوي صفرًا. لكنه يبدأ بإزاحة سالبة هنا. وبما أن الخطين يفصل بينهما في البداية أحد هذه الأسهم الثلاثة المتساوية الطول، فإننا نعرف أن الإزاحة الابتدائية للجسم الأزرق تقل عن الصفر بالمقدار نفسه الذي تزيد به الإزاحة النهائية للجسم الأحمر عن الصفر. وهذه ليست سوى طريقة أخرى للتعبير عن أن هذا السهم وهذا السهم لهما الطول نفسه.

إذن، خلال هذه الفترة الزمنية المحددة، التي يمكن أن نطلق عليها ‪𝑡‬‏ واحد، تزداد إزاحة الجسم الأحمر بمقدار طول أحد هذه الأسهم، وبالمثل، تزداد إزاحة الجسم الأزرق بالمقدار نفسه، وهو ما يعني أن التغير في إزاحة الجسم الأحمر تساوي التغير في إزاحة الجسم الأزرق. إنهما يبدآن من موضعين مختلفين، لكن التغيرين في إزاحتيهما خلال هذه الفترة الزمنية متساويان.

وبما أننا نتحدث عن هذه الإزاحة خلال الفترة الزمنية نفسها لكلا الجسمين، فهذا يعني أنه في هذا الكسر، يكون كل من البسط والمقام متساويين بالنسبة للجسمين الأحمر والأزرق خلال الفترة الزمنية ‪𝑡‬‏ واحد. يمكننا القول إذن، إنه خلال الفترة الزمنية الأولى، التي أطلقنا عليها ‪𝑡‬‏ واحد، يتحرك الجسمان الأحمر والأزرق بالسرعة المتجهة نفسها.

والآن، لنلق نظرة على الفترة الزمنية الثانية. يمكننا أن نطلق على هذه الفترة الزمنية ‪𝑡‬‏ اثنان. مرة أخرى، سننظر إلى ميلي الخطين الأحمر والأزرق خلال هذه الفترة الزمنية. مجددًا، يفصل بين هذين الخطين في البداية مسافة معينة، وهي ارتفاع أحد الأسهم، وفي النهاية تفصل بينهما تلك المسافة نفسها. إذن، يمكن تمثيل التغير في إزاحة الجسم الأحمر خلال الفترة الزمنية الثانية بهذا السهم. ويمكن تمثيل التغير في إزاحة الجسم الأزرق بهذا السهم. إن طولي هذين السهمين متساويان؛ الأمر الذي يعني أن التغيرين في إزاحتي الجسمين الأحمر والأزرق متساويان، ولكن لكل منهما موضع مختلف خلال هذه الفترة الزمنية. فبإمكاننا ملاحظة أن أحدهما؛ أي الجسم الأزرق، تكون إزاحته النهائية سالبة، وأن الآخر؛ أي الجسم الأحمر، تكون إزاحته النهائية صفرًا.

والآن، لاحظ أن ميلي هذين الخطين سالبان خلال الفترة الزمنية الثانية، في حين أنهما موجبان خلال الفترة الزمنية الأولى. على الرغم من هذا التغير، يمكننا ملاحظة أن الجسمين الأحمر والأزرق يتغيران بالكيفية نفسها خلال كل فترة زمنية من هاتين الفترتين. وهذا يعني أن ميل هذه القطعة من الخط الأحمر يساوي ميل هذه القطعة من الخط الأزرق، وأن ميل هذه القطعة من الخط الأحمر يساوي ميل هذه القطعة من الخط الأزرق.

استنادًا إلى معادلة السرعة المتجهة، يمكننا ملاحظة أن هذا يعني أنه خلال الفترة الزمنية ‪𝑡‬‏ اثنان، يتحرك الجسمان بالسرعة المتجهة نفسها. والآن، عند النظر إلى هاتين الفترتين الزمنيتين المختلفتين، نلاحظ أن هاتين السرعتين المتجهتين ليستا متساويتين. إذن، إذا أردنا، يمكننا إضافة رمزين سفليين إليهما ليصبحا ‪𝑣‬‏ واحد و‪𝑣‬‏ اثنين، لتوضيح أنهما مختلفتين. على الرغم من هذا الاختلاف، يمكننا القول إنه خلال أي فترة زمنية موضحة في التمثيل البياني، بما في ذلك التمثيل البياني بأكمله، يتحرك الجسمان بالسرعة المتجهة نفسها. إذن، هذه إجابة السؤال الأول. يتحرك هذان الجسمان بالسرعة المتجهة نفسها.

ننتقل إلى السؤال التالي: هل يتحرك الجسمان بالسرعة القياسية نفسها؟ يمكننا أن نتذكر أن السرعة المتجهة كمية متجهة لها مقدار واتجاه. ثمة اسم آخر لمقدار السرعة المتجهة وهو السرعة القياسية. لذا يمكننا القول إن السرعة المتجهة لها سرعة قياسية واتجاه. إن السرعة القياسية موجبة دائمًا. ولا تأخذ اتجاه حركة الجسم في الحسبان.

والآن، لنر ما يعنيه هذا. بما أن هذين الجسمين يتحركان بالسرعة المتجهة نفسها، فهذا يعني أن مقداريهما، وكذلك اتجاهيهما، متساويان. يجب استيفاء هذين الشرطين لكي نقول إنهما يتحركان بالسرعة المتجهة نفسها. لكن إذا كان لهما المقدار نفسه، وهما كذلك بالفعل، فلا بد أنهما يتحركان بالسرعة القياسية نفسها؛ لأن السرعة القياسية مرادف لمقدار السرعة المتجهة. يمكننا إذن الإجابة سريعًا عن السؤال الثاني بنعم؛ لأنه عند أي زمن، إذا تحرك جسمان بالسرعة المتجهة نفسها، فلا بد أنهما يتحركان بالسرعة القياسية نفسها أيضًا.