نسخة الفيديو النصية
إذا كان 𝜔 هو الجذر البدائي السداسي للعدد واحد، فأي التعبيرات الآتية تكافئ 𝜔 زائد 𝜔 تربيع زائد 𝜔 تكعيب؟ (أ) 𝜔 أس أربعة زائد 𝜔 أس خمسة زائد 𝜔 أس ستة. (ب) واحد ناقص 𝜔 أس أربعة ناقص 𝜔 أس خمسة. (ج) واحد. (د) سالب واحد في واحد زائد 𝜔 أس أربعة زائد 𝜔 أس خمسة. (هـ) نصف في 𝜔 تربيع زائد 𝜔 أس أربعة زائد 𝜔 أس ستة.
في هذا السؤال، نعلم أن 𝜔 جذر بدائي سداسي للعدد واحد. وعلينا استخدام هذا المعطى لتحديد تعبير مكافئ لـ 𝜔 زائد 𝜔 تربيع زائد 𝜔 تكعيب. بما أن 𝜔 جذر بدائي سداسي للعدد واحد، والتعبير المعطى لدينا يتضمن جمع قوى 𝜔، فيمكننا البدء بتذكر نتيجة مفيدة جدًا عن مجموع قوى جذور العدد واحد. نتذكر أنه إذا كان ﻥ عددًا صحيحًا أكبر من واحد، وﻉ جذرًا بدائيًا نونيًا للعدد واحد، فإن واحدًا زائد ﻉ زائد ﻉ تربيع، وهكذا نستمر في الجمع حتى نصل إلى ﻉ أس ﻥ ناقص واحد، يساوي صفرًا. سنستخدم هذه الحقيقة لإيجاد تعبير مكافئ للتعبير المعطى في السؤال.
أولًا، نعلم أن 𝜔 جذر بدائي سداسي للعدد واحد، لذا سنجعل قيمة ﻥ تساوي ستة. ثم باستخدام 𝜔 كجذر بدائي للعدد واحد، نحصل على واحد زائد 𝜔 زائد 𝜔 تربيع زائد 𝜔 تكعيب زائد 𝜔 أس أربعة زائد 𝜔 أس خمسة يساوي صفرًا. وبالطبع، نريد استخدام هذه المعادلة لإيجاد تعبير لـ 𝜔 زائد 𝜔 تربيع زائد 𝜔 تكعيب. ويمكننا ملاحظة أن التعبير المعطى يظهر بالفعل داخل التعبير الموجود لدينا. لذا سنعيد ترتيب معادلتنا لكي نجعله المتغير التابع. سنفعل ذلك عن طريق طرح واحد من كلا طرفي المعادلة. أيضًا سنطرح 𝜔 أس أربعة من كلا طرفي المعادلة. ونطرح 𝜔 أس خمسة من طرفي المعادلة.
عند القيام بذلك، نحصل على 𝜔 زائد 𝜔 تربيع زائد 𝜔 تكعيب يساوي سالب واحد ناقص 𝜔 أس أربعة ناقص 𝜔 أس خمسة. والآن يمكننا تبسيط ذلك أكثر. يمكننا ملاحظة أن جميع الحدود الثلاثة الموجودة في الطرف الأيسر من المعادلة تشترك في العامل سالب واحد. إذن، سنخرج العامل المشترك سالب واحد. هذا يعطينا سالب واحد في واحد زائد 𝜔 أس أربعة زائد 𝜔 أس خمسة. ويمكننا أن نرى أن هذا يماثل الإجابة المعطاة في الخيار (د). إذن، يمكننا الانتهاء والتوقف هنا. ولكن ثمة أمر علينا الإشارة إليه هنا.
ربما نتساءل لماذا تتحقق هذه المتطابقة في الأساس؟ وإحدى الطرق للتأكد من صحتها هي تناولها هندسيًا. سنرسم هذه المتطابقة على مخطط أرجاند. أولًا، سنستخدم حقيقة أخرى عن جذور العدد واحد. إذا كان ﻉ جذرًا نونيًا للعدد واحد، فإن مقياس ﻉ سيساوي واحدًا. وفي الحقيقة، يمكننا إثبات صحة هذا مباشرة. أولًا، إذا كان ﻉ جذرًا نونيًا للعدد واحد، فإن ﻉ أس ﻥ سوف يساوي واحدًا. ثم سنحسب المقياس لطرفي هذه المعادلة. وهذا يعطينا مقياس ﻉ أس ﻥ يساوي مقياس واحد. وبالطبع، مقياس واحد يساوي واحدًا. ومقياس ﻉ أس ﻥ يساوي مقياس ﻉ الكل أس ﻥ.
والآن علينا استخدام حقيقة أن مقياس أي عدد دائمًا يساوي قيمة غير سالبة. هذا لأن المقياس يمثل المسافة بين النقطة الموجودة لدينا ونقطة الأصل على مخطط أرجاند، والمسافات لا يمكن أن تكون سالبة أبدًا. إذن، لدينا عدد غير سالب مرفوع للقوة ﻥ يساوي واحدًا. وهذا يعني أن مقياس ﻉ يجب أن يساوي واحدًا. إذن، لنفكر فيما تناولناه. لقد أوضحنا أنه بالنسبة لأي جذر نوني للعدد واحد، مقياس هذا العدد يجب أن يساوي واحدًا. وإذا كان مقياسه يساوي واحدًا، فإن المسافة بينه وبين نقطة الأصل على مخطط أرجاند تساوي واحدًا. بعبارة أخرى، تقع كل الجذور النونية للعدد واحد على دائرة الوحدة التي يقع مركزها عند نقطة الأصل على مخطط أرجاند.
وسيكون علينا استخدام معلومة أخرى. نعرف كيف نوجد جميع الجذور النونية للعدد واحد. وعلى وجه التحديد، يمكننا كتابتها على الصورة القطبية. سنكتبها على الصورة جتا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ زائد ﺕ في جا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ، حيث ﻙ عدد صحيح بين صفر وﻥ ناقص واحد. إذن، نعرف أن جميع جذور العدد واحد تقع على دائرة الوحدة. ونعلم شيئًا آخر؛ وهو سعة كل جذر. وجميع هذه السعات على الصورة اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ، حيث ﻙ عدد صحيح بين صفر وﻥ ناقص واحد. يمكننا إذن رسمها على مخطط أرجاند. سنستخدم القيمة ﻥ يساوي ستة. وعندما ﻥ يساوي ستة، ستكون السعات مضاعفات اثنين 𝜋 مقسومًا على ستة، ويمكننا التبسيط لنحصل على 𝜋 على ثلاثة.
إذن في هذه الحالة، سنحصل على ست نقاط على دائرة الوحدة على مسافات متساوية لأن الفرق بين كل سعة والسعة التي تليها هي 𝜋 على ثلاثة. سنرسم شكلًا يبدو هكذا. عند هذه النقطة، يوجد عدة خيارات مختلفة للجذور البدائية للعدد واحد. سنختار الجذور البدائية للعدد واحد لتكون عند ﻙ يساوي واحدًا. وفي الواقع لا يهم أيًا من الجذور البدائية للعدد واحد اخترنا، لأننا سنحصل على الإجابة نفسها. الحقيقة الوحيدة التي سنستخدمها هي أنه يمكن استخدام الجذور البدائية للعدد واحد لإيجاد كل الجذور الأخرى للعدد واحد.
الآن نريد جمع كل جذور العدد واحد هذه معًا على مخطط أرجاند. حسنًا، يمكننا فعل ذلك مباشرة باستخدام صيغة جذور العدد واحد، وهذا سيفي بالغرض. لكن، يمكننا أيضًا القيام بذلك هندسيًا. نتذكر أنه يمكننا جمع النقاط معًا على مخطط أرجاند بأن نتناول، بدلًا من ذلك، المتجهات على مخطط أرجاند. على سبيل المثال، بجمع المتجهين الموضحين على مخطط أرجاند، يمكننا إيجاد قيمة واحد زائد 𝜔. لكن يوجد حيلة يمكننا استخدامها لتسهيل هذه العمليات الحسابية. سنبدأ بتحريك المتجه الممتد من نقطة الأصل إلى 𝜔 بحيث يمتد من 𝜔 أس خمسة إلى واحد.
بعد ذلك، سنفعل شيئًا شبيهًا جدًا بالمتجه الذي يشير من نقطة الأصل إلى واحد. سنحركه بحيث يشير من 𝜔 أس أربعة إلى 𝜔 أس خمسة. هذا يعطينا طريقة مختلفة للنظر إلى واحد زائد 𝜔. فهو بالضبط نفس المتجه الذي يشير من 𝜔 أس أربعة إلى واحد. ولكن تذكر أن علينا إيجاد شيء مكافئ لجمع كل هذه القيم معًا. لذا علينا إضافة المزيد من المتجهات إلى المخطط. هيا نبدأ بإضافة المتجه من نقطة الأصل إلى 𝜔 تربيع. مرة أخرى، يمكننا تبسيط ذلك بتحريك المتجه. سننقله ليشير من واحد إلى 𝜔. بعد ذلك، نريد تضمين 𝜔 تكعيب في المجموع، إذن علينا إضافة المتجه الآتي. وإحدى طرق فعل ذلك هي أن نحرك المتجه ليشير من 𝜔 إلى 𝜔 تربيع.
والآن بدأنا نرى النمط. بالقيام بالأمر نفسه الذي فعلناه من قبل، يمكننا إضافة الجذرين الأخيرين للعدد واحد لمخططنا. وبعد تحريك المتجهين، سنحصل على شكل يبدو كما يلي. في النهاية كونت المتجهات شكلًا سداسيًا منتظمًا داخل دائرة الوحدة. وفي الواقع، يمكننا إثبات صحة ذلك مباشرة من منطلق حقيقة أن الفرق بين كل سعة والسعة التي تليها هي 𝜋 على ثلاثة، وتقع على دائرة الوحدة. والآن يمكننا أن نتساءل: ما الذي يحدث عندما نجمع كل جذور الوحدة هذه معًا؟ نعلم أنه يمكننا فعل ذلك بجمع المتجهات معًا. حسنًا، إذا بدأنا من واحد ثم جمعنا كل المتجهات معًا، فسنجد أننا سننتهي عند واحد. وإذا بدأنا وانتهينا عند النقطة نفسها، فإن المركبتين الأفقية والرأسية للمتجه يجب أن تساويا صفرًا.
بعبارة أخرى، نظرًا لأن هذا المتجه يساوي صفرًا، يجب أن يكون مجموع كل جذور العدد واحد هذه مساويًا للصفر أيضًا. هذا يعطينا سببًا هندسيًا يجعل مجموع كل جذور العدد واحد هذه يساوي صفرًا. وبهذا نكون تمكنا من استخدام هذه النتيجة لتوضيح أنه إذا كان 𝜔 جذرًا بدائيًا سداسيًا للعدد واحد، فإن 𝜔 زائد 𝜔 تربيع زائد 𝜔 تكعيب يساوي سالب واحد في واحد زائد 𝜔 أس أربعة زائد 𝜔 أس خمسة، وهو التعبير المعطى بالخيار (د).
