فيديو السؤال: إيجاد العجلة ورد الفعل العمودي لحركة جسم على مستوى أفقي أملس حيث تؤثر عليه قوة مائلة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

وضع جسم كتلته ٣٧ كيلوجرامًا على سطح أفقي أملس، حيث تؤثر قوة مقدارها ٧٢ نيوتن على الجسم ويصنع خط عملها زاوية قياسها ٦٠ درجة مع الرأسي لأسفل. أوجد عجلة الجسم ﺟ، ومقدار رد الفعل العمودي ﺭ. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

دعونا نبدأ برسم مخطط جسم حر يوضح كل معطيات هذا السؤال. لدينا هنا جسم يرتكز على سطح أفقي أملس. وتعني كلمة «أملس» أنه لا توجد قوى احتكاك بين الجسم والسطح علينا مراعاتها. علمنا بعد ذلك أن كتلة الجسم تساوي ٣٧ كيلوجرامًا. وباستخدام قانون نيوتن الثاني للحركة الذي ينص على أن القوة تتناسب مع عجلة الجسم، أو بعبارة أخرى، القوة تساوي الكتلة في العجلة، يمكننا القول إن قوة وزن الجسم المؤثرة لأسفل، وهي كتلته مضروبة في عجلة الجاذبية، تساوي ٣٧ﺩ. نفترض بوجه عام أن ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

لنفكر بعد ذلك في القوة الخارجية المؤثرة على الجسم. مقدار هذه القوة يساوي ٧٢ نيوتن، وتؤثر بزاوية قياسها ٦٠ درجة لأسفل من الرأسي. ولقد أوضحنا أن قوة الوزن لأسفل تؤثر رأسيًّا لأسفل. ومن ثم، فإن قياس الزاوية المحصورة بين القوتين المعطاتين تساوي ٦٠ درجة. إذن وفقًا لقانون نيوتن الثالث للحركة، بما أن الجسم يؤثر بقوة لأسفل على السطح الأفقي، فإن السطح يؤثر على الجسم بقوة مساوية في المقدار ومضادة في الاتجاه. سنسمي هذا ﺭ للإشارة إلى رد الفعل العمودي، على الرغم من أنه يسمى أحيانًا ﻥ.

حسنًا، لدينا الآن كل القوى، ونريد إيجاد عجلة الجسم ﺟ. سنفترض أنه بسبب الاتجاه الذي تؤثر فيه القوة التي مقدارها ٧٢ نيوتن، فإن الجسم سيتسارع نحو اليمين. وسنعرف ذلك على أنه ﺟ متر لكل ثانية مربعة كما هو مذكور في السؤال. إذن سنستخدم مرة أخرى معادلة القوة الكلية أو القوة المحصلة وهي تساوي الكتلة في العجلة. بما أن القوة التي مقدارها ٧٢ نيوتن تؤثر بزاوية ما، فسنعوض عنها بمركبتها التي تؤثر في اتجاه مواز للسطح الأفقي، بعبارة أخرى، تؤثر في نفس اتجاه العجلة. وللقيام بذلك، سنستخدم حقيقة أن الخطين الرأسي والأفقي يلتقيان بزاوية قياسها ٩٠ درجة، و٩٠ ناقص ٦٠ يساوي ٣٠.

بعد ذلك، يمكننا تمثيل هذا على أنه مثلث قائم الزاوية. دعونا نسم الضلع الذي نحاول إيجاده ﺱ، ونعلم أن طول الوتر يساوي ٧٢ نيوتن. وهذا يتيح لنا الربط بين هذين القياسين باستخدام نسبة جيب التمام. ‏جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وفي هذا السؤال، جتا ٣٠ يساوي ﺱ على ٧٢. إذن، ﺱ يساوي ٧٢ في جتا ٣٠. وفي الواقع، نعلم أن جتا ٣٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. إذن، يمكننا كتابة ذلك على الصورة ٧٢ في جذر ثلاثة على اثنين، وهو ما يساوي ٣٦ جذر ثلاثة أو ٣٦ جذر ثلاثة نيوتن. وبذلك، نكون قد حسبنا مركبة القوة التي مقدارها ٧٢ نيوتن وتؤثر في نفس اتجاه العجلة.

وبما أن السطح أملس، فإننا نفترض أنه لا توجد أي قوى احتكاك أخرى، إذن، القوة المحصلة المؤثرة على الجسم في الاتجاه الأفقي تساوي ٣٦ جذر ثلاثة نيوتن. بالتعويض بذلك في الصيغة ﻕ يساوي ﻙﺟ؛ حيث كتلة الجسم تساوي ٣٧ كيلوجرامًا، نحصل على ٣٦ جذر ثلاثة يساوي ٣٧ﺟ. يمكننا الآن قسمة كلا الطرفين على ٣٧، وسنجد أن العجلة تساوي ٣٦ جذر ثلاثة على ٣٧، أي ١٫٦٨٥ وهكذا مع توالي الأرقام، أو ١٫٦٩ متر لكل ثانية مربعة بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين.

أصبح لدينا الآن العجلة، ولكن ثمة جزء آخر في هذا السؤال. وهو يطلب منا إيجاد مقدار رد الفعل العمودي ﺭ. وللقيام بذلك، نفترض أنه في الاتجاه الرأسي، يكون الجسم في حالة اتزان. وإذا تحقق ذلك، فإن المجموع الكلي للقوى المؤثرة في هذا الاتجاه سيساوي صفرًا. قوة رد الفعل العمودي ﺭ تؤثر لأعلى، ومن ثم، يكون لدينا قوتان تؤثران رأسيًّا لأسفل. توجد قوة الوزن المؤثرة لأسفل التي مقدارها ٣٧ﺩ، لكن توجد أيضًا مركبة القوة التي مقدارها ٧٢ نيوتن التي تؤثر في هذا الاتجاه. دعونا نسم ذلك ﺹ.

مرة أخرى، باستخدام حساب المثلثات القائمة الزاوية، أو باستخدام نظرية فيثاغورس، يمكننا تكوين تعبير لـ ﺹ. نجد هنا أن جا ٣٠ يساوي ﺹ على ٧٢، ما يعني أن ﺹ يساوي ٧٢ جا ٣٠ أو ٣٦ نيوتن. وبذلك، يكون لدينا مقدارا القوتين المؤثرتين لأسفل. فلدينا قوة مقدارها ٣٧ﺩ نيوتن، وهي قوة الوزن المؤثرة لأسفل، وقوة مقدارها ٣٦ نيوتن، وهي المركبة المؤثرة لأسفل للقوة التي مقدارها ٧٢ نيوتن. وإذا افترضنا أن الاتجاه لأعلى هنا هو الاتجاه الموجب، فسنجد أن مجموع القوى في هذا الاتجاه يساوي صفرًا. إذن، ﺭ ناقص ٣٧ﺩ ناقص ٣٦ يساوي صفرًا. وبإضافة ٣٧ﺩ و٣٦ إلى كلا الطرفين، نحصل على ﺭ يساوي ٣٧ﺩ زائد ٣٦. وبما أن ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، يصبح لدينا ٣٧ في ٩٫٨ زائد ٣٦، وهو ما يساوي ٣٩٨٫٦، أو ٣٩٨٫٦٠ نيوتن. إذن، ﺟ يساوي ١٫٦٩ متر لكل ثانية مربعة، وﺭ يساوي ٣٩٨٫٦٠ نيوتن.