فيديو الدرس: المتتابعات الهندسية الرياضيات

في هذا الدرس نعرف المتتابعات الهندسية ونحددها ونستكشفها من خلال مجموعة من الأمثلة. ونتعلم كيف نوجد النسبة المشتركة (أساس المتتابعة الهندسية) بين الحدود (بتناول أمثلة تتضمن قيمًا موجبة وسالبة وكسرية)، ونستخدمها لكتابة صيغة عامة للحد النوني في المتتابعة.

٢١:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول المتتابعات الهندسية، وسوف نرى كيف يمكننا كتابة صيغة عامة لمتتابعة هندسية معينة. بعد ذلك، سوف نجيب عن بعض الأسئلة المعتادة. دعونا نبدأ بالتعريف. تسمى متتابعة الأعداد متتابعة هندسية إذا كان كل حد فيها مضروبًا في النسبة المشتركة (أساس المتتابعة الهندسية) نفسها للحصول على الحد التالي. على سبيل المثال، لدينا متتابعة الأعداد ثلاثة، ستة، ١٢، ٢٤، وهكذا. في هذه المتتابعة، ثلاثة هو الحد الأول. وفي كل مرة، للحصول على العدد التالي في المتتابعة، فإننا نضاعف كل حد. لذا، فإن النسبة المشتركة تساوي اثنين. للحصول على حد، فإننا نضرب ببساطة الحد السابق في اثنين.

في مثال آخر، لدينا المتتابعة ١٠، ١٥، ٢٢٫٥، ٣٣٫٧٥، وهكذا، والحد الأول في المتتابعة هو ١٠. وعلينا ضرب كل حد في المتتابعة في ١٫٥ للحصول على الحد التالي. ومن ثم، فإن النسبة المشتركة هي ١٫٥. لدينا مثال آخر، وهو المتتابعة سبعة، سبعة أعشار، سبعة على ١٠٠، سبعة على ١٠٠٠، وهكذا. حسنًا، في هذه المتتابعة، نجد أن الحد الأول هو سبعة. وعلينا ضرب كل حد في عشر للحصول على الحد التالي. ومن ثم، فإن النسبة المشتركة هي عشر. ومثال آخر على ذلك هو المتتابعة ٣٢، سالب ١٦، ثمانية، سالب أربعة. في هذه المتتابعة، الحد الأول هو ٣٢. وعلينا ضرب كل حد في سالب نصف للحصول على الحد التالي. إذن، النسبة المشتركة هي سالب نصف. وبذلك، يتضح أن النسبة المشتركة يمكن أن تكون موجبة أو سالبة، ويمكن أن تكون عددًا صحيحًا أو كسرًا أو عددًا عشريًّا. توجد كل أنواع الاحتمالات لما يمكن أن يكون عليه.

بناء على المكان الذي تعيش فيه، يوجد العديد من أنماط الترميز التي تستخدم عادة في المتتابعات الهندسية. على سبيل المثال، يطلق بعض الأشخاص على الحد الأول ﺃ أو ﺡ واحد أو ﺡ وبين قوسين واحد. لكن في هذا الفيديو، سنستخدم ما هو معتاد، وهو أن ﺡ واحد هو الحد الأول. وبالمثل، توجد عدة طرق مختلفة للتعبير عن الحد النوني. فيمكن أن يكون ﺡﻥ أو ﺡ وبين قوسين ﻥ. لكننا سنستخدم هذا الرمز في هذا الفيديو. ولحسن الحظ، يبدو أن معظم الأشخاص يستخدمون ﺭ لتمثيل النسبة المشتركة. لذا، هذا ما سنستخدمه مرة أخرى.

دعونا نكتب أول خمسة حدود في متتابعة هندسية، حدها الأول ﺡ واحد يساوي ١٢، والنسبة المشتركة ﺭ تساوي ثلثًا.

حسنًا، نحن نعلم أن الحد الأول هو ١٢. لذا، دعونا نكتب ذلك؛ الحد الأول هو ١٢. والنسبة المشتركة تساوي ثلثًا، وهو ما يعني أنه علينا ضرب كل حد في ثلث للحصول على الحد التالي. إذن، للحصول على الحد الثاني، علينا ضرب ١٢ في ثلث. وثلث العدد ١٢ هو أربعة. وللحصول على الحد الثالث، علينا أن نضرب الحد الثاني في ثلث. فنحصل على أربعة في ثلث، وهو ما يساوي أربعة على ثلاثة، أي أربعة أثلاث. وللحصول على الحد الرابع، علينا أن نضرب ذلك في ثلث. وأربعة أثلاث في ثلث يساوي أربعة أتساع. إذن، الحد الرابع يساوي أربعة أتساع. وبعد ذلك، دعونا نفعل ذلك مرة أخرى. أربعة أتساع في ثلث يساوي أربعة على ٢٧. وتستمر هذه العملية إلى ما لا نهاية. وتستمر هذه المتتابعة الهندسية لعدد المرات التي تريد أن تكتب فيها الحدود.

بالرجوع إلى الترميز مرة أخرى، تذكر أن ﺡ واحد، وهو الحد الأول، يساوي ١٢؛ وﺡ اثنين، وهو الحد الثاني، يساوي أربعة؛ وﺡ ثلاثة، وهو الحد الثالث، يساوي أربعة أثلاث؛ وﺡ أربعة، وهو الحد الرابع، يساوي أربعة أتساع؛ وﺡ خمسة، وهو الحد الخامس، يساوي أربعة على ٢٧، وهكذا. للحصول على الحد الثاني، ضربنا الحد الأول في النسبة المشتركة. وللحصول على الحد الثالث، ضربنا الحد الثاني في النسبة المشتركة. إذن، فإن ﺡ ثلاثة يساوي ﺡ اثنين في ﺭ. لكن تذكر أن ﺡ اثنين يساوي ﺡ واحد في ﺭ. لذا، يمكننا التعويض عن ﺡ اثنين هنا بـ ﺡ واحد في ﺭ. ‏ﺡ اثنان يساوي ﺡ واحد في ﺭ. وبعد ذلك، نضرب هذا في ﺭ لنحصل على ﺡ ثلاثة.

وللحصول على ﺡ أربعة، ضربنا ﺡ ثلاثة في النسبة المشتركة. لكن تذكر أن ﺡ ثلاثة يساوي ﺡ واحد في ﺭ في ﺭ. لذا، ضربنا ذلك في ﺭ لنحصل على ﺡ أربعة. وبالمثل، فإننا نضرب ذلك في ﺭ مرة أخرى للحصول على الحد التالي. إذن، ﺡ خمسة يساوي ﺡ واحد في ﺭ في ﺭ في ﺭ في ﺭ. ويمكننا الآن كتابة ذلك على صورة أسية. بدلًا من كتابة ﺭ في ﺭ في ﺭ في ﺭ، يمكننا كتابة ﺭ أس أربعة. ومن ثم، فإن ﺡ واحد يساوي ١٢ أو ﺡ واحد، وﺡ اثنين يساوي ﺡ واحد في ﺭ أس واحد، وﺡ ثلاثة يساوي ﺡ واحد في ﺭ أس اثنين، وﺡ أربعة يساوي ﺡ واحد في ﺭ أس ثلاثة، وهكذا.

سنكمل هذه المتتابعة بقولنا إن ﺡ واحد يساوي ﺡ واحد في واحد. لكن بدلًا من كتابة العدد واحد، سنقول ﺭ أس صفر. وتذكر أن أي شيء أس صفر يساوي واحدًا. وهكذا، أصبح لدينا الآن نمط ما. الحد الأول هو الحد الأول مضروبًا في ﺭ أس صفر. والحد الثاني هو الحد الأول مضروبًا في ﺭ أس واحد. والحد الثالث هو الحد الأول مضروبًا في ﺭ أس اثنين. والحد الرابع هو الحد الأول مضروبًا في ﺭ أس ثلاثة. والحد الخامس هو الحد الأول مضروبًا في ﺭ أس أربعة. إذن، قوة ﺭ تكون أقل من رقم الحد في المتتابعة بمقدار واحد.

إذا قلنا إن ﻥ هو رقم الحد في المتتابعة، فإن الحد النوني ﺡﻥ يساوي الحد الأول في ﺭ مرفوعًا لقوة تقل عن ﻥ بمقدار واحد. وهذا يعطينا ﺡﻥ يساوي ﺡ واحد في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد، أي أقل من ﻥ بمقدار واحد. وبذلك، أصبح لدينا الآن صيغة بسيطة تخبرنا بأي حد في المتتابعة. لذا، ليس علينا الاستمرار في الضرب في ثلث. وإنما يمكننا الانتقال مباشرة إلى هذا الحد في المتتابعة.

هيا نتناول مثالًا على ذلك.

دعونا نستخدم الصيغة العامة لإيجاد قيمة الحد السابع في هذه المتتابعة المحددة.

نحن نعلم أن الحد العام ﺡﻥ يساوي ﺡ واحد في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد. وهذا يساوي الحد الأول مضروبًا في النسبة المشتركة مرة أخرى حتى أس ﻥ ناقص واحد. حسنًا، يخبرنا السؤال أن الحد الأول هو ١٢. إذن، فإن ﺡ واحد يساوي ١٢. والنسبة المشتركة هي ثلث. ومن ثم، الصيغة العامة لهذه المتتابعة المحددة هي ﺡﻥ يساوي ١٢ في ثلث أس ﻥ ناقص واحد. ولإيجاد الحد السابع، نضع ﻥ يساوي سبعة. وﺡ سبعة، أي الحد السابع، يساوي ١٢ في ثلث أس سبعة ناقص واحد. سبعة ناقص واحد يساوي ستة. لذا، فإن الحد السابع يساوي ١٢ في ثلث أس ستة. وثلث أس ستة يساوي واحدًا على ٧٢٩. وهذا يعطينا ١٢ في واحد على ٧٢٩، وهو ما يساوي أربعة على ٢٤٣. دعونا الآن نلق نظرة على سؤال آخر.

اكتب الحد الأول والنسبة المشتركة للمتتابعة الهندسية الآتية: ١٠، سالب خمسة، خمسة على اثنين، سالب خمسة على أربعة، وهكذا.

من الواضح أن الحد الأول يساوي ١٠. إذن، فإن ﺡ واحد يساوي ١٠، وكان ذلك سهلًا. والنسبة المشتركة هي القيمة التي نضربها في كل حد للحصول على الحد التالي. سنسمي كل الحدود ﺡ واحد وﺡ اثنين وﺡ ثلاثة وﺡ أربعة، وهكذا. وبعد ذلك، سنكتب صيغة بسيطة لكيفية الانتقال من حد إلى الحد التالي. حسنًا، إذا ضربنا الحد الأول في النسبة المشتركة، ﺭ، فسنحصل على الحد الثاني. وإذا ضربنا الحد الثاني في النسبة المشتركة، ﺭ، فسنحصل على الحد الثالث. وإذا ضربنا الحد الثالث في النسبة المشتركة، ﺭ، فسنحصل على الحد الرابع، وهكذا. بالنظر إلى المعادلة الأولى، إذا قسمنا طرفي المعادلة على ﺡ واحد، فسنجد أن ﺭ يساوي ﺡ اثنين على ﺡ واحد. وإذا قسمنا طرفي المعادلة الثانية على ﺡ اثنين، فسنجد أن ﺭ يساوي ﺡ ثلاثة على ﺡ اثنين، وتتكرر العملية نفسها مع المعادلة الثالثة.

إذن، لإيجاد قيمة ﺭ، فإننا نقسم قيمة الحد على قيمة الحد السابق. وتذكر أن هذه القيمة تمثل النسبة المشتركة. لذا، فلا يهم إذا اخترنا الحد الثاني والحد الأول، أو الثالث والثاني، أو الرابع والثالث. ما دمنا نتعامل مع حدين متتاليين، فسنحصل دائمًا على الإجابة نفسها لـ ﺭ. وبالنظر إلى هذه الأعداد، فسنجد أن أسهل حدين يمكن استخدامهما هما ﺡ واحد وﺡ اثنان. إذن، ﺭ يساوي ﺡ اثنين مقسومًا على ﺡ واحد. ‏ﺡ اثنان يساوي سالب خمسة وﺡ واحد يساوي ١٠. ومن ثم، فإن النسبة المشتركة تساوي سالب خمسة مقسومًا على ١٠، ويمكن تبسيط ذلك إلى سالب نصف.

إذن، للانتقال من كل حد إلى الحد التالي، علينا الضرب في سالب نصف. ١٠ في سالب نصف يساوي سالب خمسة، وسالب خمسة في سالب نصف يساوي خمسة على اثنين، وهكذا. هاتان الحقيقتان، ﺡ واحد يساوي ١٠ وﺭ يساوي سالب نصف، تعرفان هذه المتتابعة بشكل فريد. وعندما نعرفهما، فيمكننا كتابة جميع الحدود في المتتابعة إذا كنا مستعدين لتخصيص وقت كاف وإجراء عمليات الضرب اللازمة.

حسنًا، دعونا نلق نظرة على بعض المتتابعات، ونحاول معرفة إذا ما كانت هندسية أو لا.

يقول هذا السؤال: هل المتتابعة الآتية حسابية أم هندسية؟

إذا كنت تتذكر، فإن المتتابعة الحسابية هي المتتابعة التي يضاف فيها الفرق المشترك إلى كل حد للحصول على الحد التالي. وللإجابة عن هذا السؤال، علينا معرفة العدد الذي نضيفه للانتقال من حد إلى الحد التالي، ومعرفة إذا ما كان هذا العدد ثابتًا أو لا، ومعرفة العدد الذي نضرب فيه للانتقال من حد إلى الحد التالي، ومعرفة إذا ما كان هذا العدد ثابتًا أو لا. حسنًا، بالنظر إلى مجموعة الأعداد المحددة هذه، إذا أضفنا واحدًا في كل مرة، فسنحصل على هذه المتتابعة. ولكن إذا ضربنا حدًّا للحصول على الحد التالي، فستظل النسبة تتغير؛ فهي ليست نسبة مشتركة. وبما أن لدينا نسبة مشتركة، فهذا يعني أن هذه المتتابعة حسابية.

دعونا ننتقل الآن إلى هذه المتتابعة.

هل المتتابعة الآتية حسابية أم هندسية؟ ١١، ٣٣، ٩٩، ٢٩٧، وهكذا.

حسنًا، إذا استخدمنا الجمع، فعلينا إضافة أعداد مختلفة في كل مرة للحصول على العدد التالي في المتتابعة. ولكننا إذا ضربنا كل حد في ثلاثة، فسنحصل على الحد التالي. ومن ثم، فإن النسبة المشتركة هي ثلاثة. وبما أن لدينا نسبة مشتركة وليس فرقًا مشتركًا، فهذا يعني أن لدينا متتابعة هندسية.

هيا ننتقل الآن إلى هذه المتتابعة، هل المتتابعة الآتية حسابية أم هندسية؟ واحد، اثنان، أربعة، سبعة، ١١، وهكذا. نلاحظ أنه علينا إضافة عدد مختلف في كل مرة للحصول على الحد التالي. لذا، فإن هذه المتتابعة ليست حسابية. وعلينا مضاعفة الحد الأول للحصول على الحد الثاني ومضاعفة الحد الثاني للحصول على الحد الثالث. ولكن بعد ذلك، لن نضاعف؛ لأنه علينا الضرب في أعداد مختلفة. وبذلك، لا يوجد فرق مشترك ولا نسبة مشتركة. لذا، فإن هذه المتتابعة ليست حسابية أو هندسية. إنها متتابعة مثيرة للاهتمام، ولكنها ليست حسابية أو هندسية.

دعونا ننتقل الآن إلى المتتابعة الأخيرة لدينا.

هل المتتابعة الآتية حسابية أم هندسية؟ ٥٫٢، ٥٫٢، ٥٫٢، ٥٫٢، وهكذا.

حسنًا، ما رأيك؟ هل هذه المتتابعة حسابية أم هندسية؟ ما الذي علينا إضافته للانتقال من حد إلى الحد التالي؟ حسنًا، ليس علينا إضافة أي شيء في كل مرة. إننا نضيف صفرًا. إذن، الفرق المشترك هو صفر. هذا غريب بعض الشيء. ولكن هذه المتتابعة حسابية. وما العدد الذي علينا ضربه في كل حد للحصول على الحد التالي؟ في كل مرة، نحن نضرب في واحد. ومرة أخرى، هذه المتتابعة غريبة بعض الشيء. لكنها متتابعة هندسية؛ لأن النسبة المشتركة هي واحد. لا شك في أن هذا المثال غريب للغاية. لكننا نجد أن هذه المتتابعة حسابية وهندسية في الوقت نفسه إذا اتبعنا هاتين القاعدتين المحددتين. الفرق المشترك يساوي صفرًا والنسبة المشتركة تساوي واحدًا.

دعونا نلق نظرة الآن على سؤال آخر.

أوجد ثلاثة حدود تالية في المتتابعة الهندسية ١٠٠، سالب ١٠، واحد، سالب ٠٫١، ٠٫٠١، وهكذا. لدينا هنا الحدود الخمسة الأولى، وهي ﺡ واحد وﺡ اثنان وﺡ ثلاثة وﺡ أربعة وﺡ خمسة. وأول ما علينا فعله هو إيجاد النسبة المشتركة. ما العدد الذي علينا ضربه في ﺡ واحد للحصول على ﺡ اثنين، وهكذا؟ وإذا تذكرت، فإن الطريقة التي نفعل بها ذلك هي أننا نقسم الحد على الحد السابق له لإيجاد النسبة المشتركة. وبالنظر إلى هذه المتتابعة، فإننا نلاحظ أن الحدين الثاني والثالث هما أسهل حدين يمكن قسمتهما. وعلى الرغم من الحصول على الإجابة نفسها بغض النظر عن الحدين المتتاليين اللذين تقسمهما، فمن السهل قسمتهما لأنها تساوي واحدًا مقسومًا على سالب ١٠، وهو ما يساوي سالب عشر.

إذن، النسبة المشتركة تساوي سالب عشر. وعلينا ضرب كل حد في سالب عشر للحصول على الحد التالي. ولإيجاد الحدود الثلاثة التالية، علينا ضرب الحد الأخير الذي لدينا في سالب عشر، ثم ضرب ذلك في سالب عشر، ثم ضرب ذلك في سالب عشر. ومن ثم، فإن الحد السادس يساوي الحد الخامس في سالب عشر، وهذا يعطينا ٠٫٠١ في سالب عشر، وهو ما يساوي سالب ٠٫٠٠١. الضرب في سالب عشر هو نفسه القسمة على سالب ١٠. وهذا سهل نسبيًّا. بعد ذلك، نضرب الحد السادس في سالب عشر، فتلغي كل إشارة من الإشارتين السالبتين الأخرى‎، ونحصل على إشارة موجبة. و ٠٫٠٠١ مقسومًا على ١٠ يساوي ٠٫٠٠٠١. وبفعل الأمر نفسه، نجد أن الحد الثامن يساوي سالب ٠٫٠٠٠٠١. علينا فقط الآن كتابة الإجابة بشكل بسيط وواضح.

قد تحدثنا قليلًا عن إيجاد صيغة للحد العام. ولدينا هنا سؤال. دعونا نلق نظرة على ذلك.

أوجد صيغة الحد العام للمتتابعة الهندسية ثلاثة، ١٥، ٧٥، ٣٧٥، ١٨٧٥.

الحد الأول هو ثلاثة. هذا الجزء سهل نوعًا ما، وعلينا الآن إيجاد النسبة المشتركة. وتذكر أننا سنقسم حدًّا على الحد السابق له. ونلاحظ أن أسهل عددين يمكننا التعامل معهما في هذه المتتابعة هما ﺡ واحد، وهو يساوي ثلاثة؛ وﺡ اثنان، وهو يساوي ١٥. ومن ثم، فإن النسبة المشتركة تساوي ﺡ اثنين مقسومًا على ﺡ واحد، وهذا يعطينا ١٥ على ثلاثة، وهو ما يساوي خمسة. وتذكر أننا نعلم من السؤال أن هذه متتابعة هندسية. لذا، فلا يهم أي حدين متتاليين نختار؛ وذلك لأننا سنحصل على الإجابة نفسها، وهي ﺭ يساوي خمسة. ولكن باختيار أول حدين، يكون العددان أبسط.

نحن نعرف الآن أن ﺡ واحد، وهو الحد الأول، يساوي ثلاثة، والنسبة المشتركة تساوي خمسة. لذا، يمكننا التعويض بهاتين القيمتين في الصيغة التي لدينا. وتذكر أنه لإيجاد قيمة أي حد معين في المتتابعة، فإننا نستمر في ضرب الحد الأول في النسبة المشتركة. إذا كنا نريد إيجاد الحد الخامس، فكل ما علينا فعله هو ضرب الحد الأول في النسبة المشتركة أربع مرات للحصول على هذا الحد. وأيًّا كان الحد الذي نريد إيجاده، فهو يساوي النسبة المشتركة أس رقم هذا الحد ناقص واحد. ولقد عرفنا أن ﺡ واحد يساوي ثلاثة وﺭ يساوي خمسة. إذن، لإيجاد قيمة الحد ﻥ في هذه المتتابعة المحددة، فإنها تساوي ثلاثة في خمسة أس رقم هذا الحد ناقص واحد، أي ﻥ ناقص واحد.

دعونا ننتقل الآن إلى مرحلة أعلى.

علينا إيجاد صيغة الحد العام للمتتابعة الهندسية سالب ٥١٢، ١٢٨، سالب ٣٢، ثمانية، سالب اثنين، وهكذا. وعلينا استخدام هذه الصيغة لإيجاد قيمة الحد الثاني عشر في المتتابعة.

يمكننا قراءة الحد الأول هنا، وهو سالب ٥١٢. وعلينا الآن إيجاد النسبة المشتركة. لذا، سنختار أي حدين متتاليين؛ ونقسم أحدهما على الآخر؛ بحيث يكون الحد الثاني مقسومًا على الحد الأول. سنختار ﺡ أربعة وﺡ خمسة في هذا المثال؛ لأنه يبدو أنهما أسهل عددين يمكن التعامل معهما. ‏ﺡ خمسة يساوي سالب اثنين وﺡ أربعة يساوي ثمانية. إذن، فإن النسبة المشتركة تساوي سالب اثنين على ثمانية، وهو ما يساوي سالب ربع. لدينا الآن هاتان المعلومتان المهمتان. ومن ثم، أصبح من السهل جدًّا إيجاد الصيغة العامة. بتذكر أن ﺡﻥ يساوي ﺡ واحد في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد، دعونا نعوض بالقيم ﺡﻥ وﺡ واحد وﺭ.

وبذلك، فإن الصيغة العامة هي ﺡﻥ، وهو الحد النوني، يساوي سالب ٥١٢ في سالب ربع أس ﻥ ناقص واحد. وسنحاول الآن إيجاد الحد الثاني عشر. ‏ﻥ يساوي ١٢، وهو ما يعني أن الحد الثاني عشر، وهو ﺡ ١٢، يساوي سالب ٥١٢ في سالب ربع أس ١٢ ناقص واحد. ١٢ ناقص واحد يساوي ١١. وعند إيجاد قيمة المقدار بأكمله، فإننا نحصل على ﺡ ١٢ يساوي واحدًا على ٨١٩٢.

دعونا نلخص سريعًا ما تناولناه في هذا الفيديو. المتتابعة الهندسية هي المتتابعة التي تضرب كل حد فيها في النسبة المشتركة للحصول على الحد التالي. على سبيل المثال، ثلاثة، ستة، ١٢، ٢٤. إننا نضاعف كل حد للحصول على الحد التالي. وفي هذا المثال، النسبة المشتركة هي اثنان، والحد الأول هو ثلاثة. لإيجاد النسبة المشتركة، والتي أسميناها ﺭ، فإننا ببساطة نأخذ حدًّا ونقسمه على الحد السابق له. بوجه عام، الحد النوني هو ببساطة الحد الأول مضروبًا في ﺭ عدد ﻥ ناقص واحد من المرات. إذن، في هذا المثال، نجد أن الحد النوني يساوي ثلاثة في اثنين أس ﻥ ناقص واحد.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.