فيديو: نموذج تدريب امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٩ • السؤال الثامن

نموذج تدريب امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٩ • السؤال الثامن

١٠:٤٠

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد حجم المجسّم الناشئ عن دوران المنطقة المحددة بين المنحنيين ص بتساوي ستة ناقص س، وَ ص بتساوي الجذر التربيعي لِـ س، ومحور السينات، دورة كاملة حول محور السينات.

مطلوب نوجد حجم المجسّم الناشئ عن دوران منطقة محددة بين منحنيين ومحور السينات دورة كاملة حول محور السينات. فلو فرضنا إن عندنا أي دالتين، ولتكن الدالة د س والدالة ر س، فحجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بين الدالة د س والدالة ر س، هيكون بيساوي 𝜋 مضروبة في تكامل د س تربيع ناقص ر س تربيع بالنسبة س من أ إلى ب؛ حيث أ وَ ب هُما الإحداثيات السينية لنقط التقاطع بين الدالتين د س وَ ر س.

وبما إن معطى عندنا حجم مجسَّم ناشئ عن دوران منطقة محددة بين منحنيين ومحور السينات، هنرمر للمنحنى الأول بِـ ص واحد، فهيكون عندنا ص واحد بتساوي ستة ناقص س. وهنرمز للمنحنى التاني بِـ ص اتنين، فهيكون عندنا ص اتنين بتساوي الجذر التربيعي لِـ س. وهنرمز لمحور السينات بِـ ص تلاتة. وبما إن معادلة الخط المستقيم اللي بتمثِّل محور السينات هتكون ص بتساوي صفر، فهيكون عندنا ص تلاتة هتساوي صفر. فعشان نقدر نوجد حدود التكامل اللي هي الإحداثيات السينية لنقط التقاطع. أول حاجة هنوجد نقط التقاطع بين المنحنيين ص واحد وَ ص اتنين. فهنضع ص واحد بتساوي ص اتنين. ص واحد هتكون ستة ناقص س، وَ ص اتنين هتكون الجذر التربيعي لِـ س.

بتربيع الطرفين، هيكون عندنا ستة ناقص س تربيع هتساوي س. بالنسبة للطرف الأيمن هيكون عندنا الحدّ الأول تربيع اللي هو ستة وتلاتين. زائد الحدّ الأول في الحدّ التاني في اتنين؛ يعني سالب اتناشر س. زائد الحدّ التاني تربيع فهيكون س تربيع. هيساوي الطرف الأيسر س. هنطرح س مَ الطرفين، فهيكون عندنا س تربيع ناقص تلتاشر س زائد ستة وتلاتين هتساوي صفر. بالتحليل هيكون عندنا س ناقص أربعة مضروبة في س ناقص تسعة هتساوي صفر. وبالتالي عندنا قيمتين لِـ س. أول قيمة لما س ناقص أربعة تكون بتساوي صفر. هنجمع أربعة على الطرفين، فهنجد إن س هتساوي أربعة. وتاني قيمة لما س ناقص تسعة هتساوي صفر. هنجمع تسعة عَ الطرفين فهنجد إن س هتساوي تسعة. يبقى كده قدرنا نوجد س بتساوي أربعة وَ س بتساوي تسعة.

وبما إننا في أول خطوة عشان نوجد قيم س ربَّعنا الطرفين، فهنكون محتاجين نتأكد من صحة قيمتي س. فعندما س بتساوي أربعة هنجد إن ص واحد هتساوي ستة ناقص أربعة يعني هتساوي اتنين. وهنجد إن ص اتنين هتساوي الجذر التربيعي لأربعة؛ يعني هتساوي اتنين. يعني س هتساوي أربعة هتكون نقطة صحيحة. وعندما س بتساوي تسعة هيكون عندنا ص واحد هتساوي ستة ناقص تسعة؛ يعني هتساوي سالب تلاتة. وَ ص اتنين هتساوي الجذر التربيعي لتسعة يعني هتساوي تلاتة. فهنجد إن ص واحد لا تساوي ص اتنين عندما تكون س بتساوي تسعة. يعني لما س بتساوي تسعة هتكون قيمة مرفوضة. وبالتالي الإحداثي السيني لنقطة التقاطع بين المنحنى ص واحد والمنحنى ص اتنين، هيكون س بتساوي أربعة.

تاني حاجة محتاجين نوجد الإحداثيات السينية لنقط التقاطع بين المنحنى ص واحد ومحور السينات اللي هو ص تلاتة. فهنضع ص واحد بتساوي ص تلاتة. ص واحد هتكون ستة ناقص س. وَ ص تلاتة هتكون صفر. عشان نقدر نوجد قيمة س، هنجمع س عَ الطرفين، فهيكون عندنا … يبقى الإحداثي السيني لنقطة التقاطع بين المنحنى ص واحد ومحور السينات اللي هو ص تلاتة، هتكون س بتساوي ستة. محتاجين نوجد الإحداثيات السينية لنقط التقاطع بين المنحنى ص اتنين ومحور السينات اللي هو ص تلاتة. هنضع ص اتنين بتساوي ص تلاتة. ص اتنين هي الجذر التربيعي لِـ س. وَ ص تلاتة هي بصفر. فبتربيع الطرفين، هنجد إن س هتساوي صفر. ويبقى الإحداثي السيني لنقطة التقاطع بين المنحنى ص اتنين ومحور السينات اللي هو ص تلاتة، هتكون س بتساوي صفر. ويبقى كده قدرنا نوجد الإحداثيات السينية لنقط التقاطع.

فعلشان نقدر نتخيل أكتر المنطقة المحددة بين المنحيين ص واحد وَ ص اتنين، ومحور السينات اللي هو ص تلاتة؛ هنستخدم التمثيل البياني. فهيكون عندنا محاور الإحداثيات بالشكل ده. أول حاجة عشان نقدر نمثّل ص تلاتة، فَـ ص تلاتة هو محور السينات. فهيكون بالشكل ده. تاني حاجة بالنسبة للمنحنى ص واحد، فَـ ص واحد بتساوي ستة ناقص س. فهنلاحظ إنه عبارة عن خط مستقيم. وبما إن معامل س قيمة سالبة، فهيكون ميل الخط المستقيم قيمته سالبة. ولو عوَّضنا عن س بصفر، هنجد إن ص واحد هتساوي ستة. يعني الخط المستقيم بيتقاطع مع محور الصادات عند ص بتساوي ستة. وقدرنا نوجد إن الإحداثي السيني لنقطة التقاطع بين ص واحد ومحور السينات عند س بتساوي ستة. فالخط المستقيم ص واحد هيكون بالشكل ده.

تالت حاجة بالنسبة للمنحنى ص اتنين، فَـ ص اتنين بتساوي الجذر التربيعي لِـ س. وقدرنا نوجد إن الإحداثي السيني لنقطة التقاطع بين ص اتنين ومحور السينات اللي هو ص تلاتة، عند س بتساوي صفر. وقدرنا أيضًا نوجد إن الإحداثي السيني لنقطة التقاطع بين ص واحد وَ ص اتنين عند س بتساوي أربعة. فالمنحنى ص اتنين هيكون بالشكل ده. وهنلاحظ إن المنطقة المحددة بين المنحنيين ص واحد وَ ص اتنين ومحور السينات اللي بنرمز له بِـ ص تلاتة، هتكون هي المنطقة دي. وعشان نقدر نوجد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحددة بين المنحنيين ص واحد وَ ص اتنين ومحور السينات دورة كاملة حول محور السينات. فهنقسِّمها إلى منطقتين؛ أول منطقة: هي منطقة محددة بالمنحنى ص اتنين ومحور السينات اللي هو ص تلاتة. وتاني منطقة: هي المنطقة المحددة بالمنحنى ص واحد ومحور السينات اللي هو ص تلاتة.

بالنسبة لأول منطقة هتكون في الفترة المغلقة من صفر إلى أربعة. والمنطقة التانية هتكون في الفترة المغلقة من أربعة لستة. وهنلاحظ في الصيغة المستخدَمة لحساب الحجم إن عندنا د س تربيع ناقص ر س تربيع. وبما إن الحجم لازم تكون قيمته موجبة، فهتكون قيم الدالة د س أكبر من أو بتساوي قيم الدالة ر س لجميع قيم س اللي بتنتمي للفترة المغلقة من أ إلى ب. فبالنسبة للمنطقة الأولى وهي منطقة محدَّدة بين المنحنى ص اتنين ومحور السينات اللي هو ص تلاتة. فمن خلال التمثيل البياني هنلاحظ إن قيم المنحى ص اتنين هتكون أكبر من أو بتساوي قيم المنحنى ص تلاتة، لجميع قيم س اللي بتنتمي للفترة المغلقة من صفر إلى أربعة. وبالنسبة للمنطقة التانية، فهنلاحظ من خلال التمثيل البياني إن قِيَم المنحنى ص واحد هتكون أكبر من أو بتساوي قيم ص تلاتة لجميع قيم س اللي بتنتمي للفترة المغلقة من أربعة إلى ستة. فلو عايزين نوجد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة الأولى، هيكون بيساوي 𝜋 مضروب في تكامل ص اتنين اللي بتساوي الجذر التربيعي لِـ س الكل تربيع. ناقص ص تلاتة اللي بتساوي صفر الكل تربيع. والتكامل هيكون بالنسبة لـ س. وحدود التكامل هتكون من صفر إلى أربعة. زائد حجم المجسّم الناشئ عن دوران المنطقة التانية … فهيكون 𝜋 مضروب في تكامل ص واحد اللي بتساوي ستة ناقص س. فهيكون عندنا ستة ناقص س تربيع. ناقص ص تلاتة واللي بتساوي صفر. فهيكون عندنا صفر تربيع والتكامل هيكون بالنسبة لـ س، وحدود التكامل هتكون من أربعة إلى ستة.

وبالتبسيط عندنا الجذر التربيعي لِـ س تربيع يعني هتساوي س. وَ س ناقص صفر تربيع هتساوي س. يعني أول تكامل هيكون تكامل س بالنسبة لـ س من صفر إلى أربعة. وعندنا في تاني تكامل ستة ناقص س الكل تربيع ناقص صفر تربيع. يعني هتساوي ستة ناقص س الكل تربيع. فهيكون عندنا تاني تكامل هو ستة ناقص س الكل تربيع بالنسبة لـ س من أربعة إلى ستة. هنوجد ناتج التكامل. فالحجم هيكون بيساوي 𝜋 مضروبة في تكامل س بالنسبة لـ س هيساوي س تربيع مقسومة على اتنين. والتكامل هيكون من صفر إلى أربعة. زائد 𝜋 مضروبة في تكامل ستة ناقص س الكل تربيع، هيكون عبارة عن … ستة ناقص س هنكتبها زي ما هي وهنزوّد الأُس واحد فهتكون أُس تلاتة، مقسومة على الأُس الجديد، مضروب فيه مشتقّة الأساس. الأساس هو ستة ناقص س. ومشتقة ستة ناقص س بالنسبة لـ س هيساوي سالب واحد. والتكامل هيكون من أربعة إلى ستة.

يعني الحجم هيساوي 𝜋 مضروبة في … أول حاجة هنعوّض عن س بأربعة، فهيكون عندنا أربعة تربيع مقسومة على اتنين. ناقص … هنعوّض عن س بصفر فهيكون عندنا صفر تربيع مقسومة على اتنين. زائد … 𝜋 مضروبة في … أول حاجة هنعوّض عن س بستة، فهيكون عندنا ستة ناقص ستة الكل أُس تلاتة، مقسومة على سالب تلاتة. ناقص … هنعوّض عن س بأربعة فهيكون عندنا ستة ناقص أربعة الكل أُس تلاتة، مقسوم على سالب تلاتة. أربعة تربيع على اتنين هتساوي تمنية. صفر تربيع على اتنين هتساوي صفر. يعني تمنية ناقص صفر يعني هتساوي تمنية. ستة ناقص ستة الكل أُس تلاتة مقسومة على سالب تلاتة هتساوي صفر. وستة ناقص أربعة هتساوي اتنين. اتنين أُس تلاتة هتساوي تمنية، مقسومة على سالب تلاتة. يعني هيكون عندنا سالب تمنية على تلاتة. وصفر ناقص سالب تمنية على تلاتة يعني هتساوي تمنية على تلاتة. فهيكون عندنا 𝜋 مضروبة في تمنية زائد 𝜋 مضروبة في تمنية على تلاتة. يعني الحجم هيساوي اتنين وتلاتين 𝜋 مقسومة على تلاتة.

ويبقى كده قدرنا نوجد حجم المجسّم الناشئ عن دوران المنطقة المحددة بين المنحنيين ص واحد وَ ص اتنين ومحور السينات، دورة كاملة حول محور السينات. وكان بيساوي اتنين وتلاتين 𝜋 على تلاتة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.