فيديو السؤال: دراسة حركة جسم يرتكز على مستوى أفقي ويتصل بجسم يتدلى رأسيًّا بواسطة خيط يمر عبر بكرة الرياضيات

ترتكز كتلة ﻙ_١ على منضدة أفقية ملساء. ربطت الكتلة بواسطة حبل غير مرن ذي كتلة مهملة يمر عبر بكرة ملساء مثبتة على حافة المنضدة بكتلة أخرى ﻙ_٢ تتدلى رأسيًّا أسفل البكرة. أضيفت كتلة مقدارها ٦٦٩ كجم إلى الكتلة ﻙ_١ عندما بدأ هذا النظام في الحركة من السكون، كانت عجلته ٧‏/‏٢٠ﺩ أضيفت كتلة أخرى مقدارها ٦٧٥ كجم إلى الكتلة ﻙ_١ نتيجة لذلك، انخفضت عجلة النظام إلى ١٣‏/‏٥٠ﺩ أوجد ﻙ_١، ﻙ_٢ إذا علمت أن عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ = ٩٫٨ م‏/‏ث^٢‏

٠٧:١١

‏نسخة الفيديو النصية

ترتكز كتلة ﻙ_١ على منضدة أفقية ملساء. ربطت الكتلة بواسطة حبل غير مرن ذي كتلة مهملة يمر عبر بكرة ملساء مثبتة على حافة المنضدة بكتلة أخرى ﻙ اثنين تتدلى رأسيًّا أسفل البكرة. أضيفت كتلة مقدارها ٦٫٦٩ كيلوجرامات إلى ﻙ واحد. عندما بدأ هذا النظام في الحركة من السكون، كانت عجلته سبعة على ٢٠ﺩ. أضيفت كتلة أخرى مقدارها ٦٫٧٥ كيلوجرامات إلى ﻙ واحد. نتيجة لذلك، انخفضت عجلة النظام إلى ١٣ على ٥٠ﺩ. أوجد ﻙ واحد وﻙ اثنين. إذا علمت أن عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

يمكننا أن نبدأ برسم شكل توضيحي. نبدأ بالكتلتين ﻙ واحد وﻙ اثنين، المتصلتين عبر خيط يمر فوق بكرة ملساء. يرتكز ﻙ واحد على سطح لا يولد قوة احتكاك. وأثناء بقاء النظام في حالة سكون، نضيف كتلة فوق الكتلة ﻙ واحد. ويمكننا أن نسميها ﻙﺃ؛ حيث ﻙﺃ يساوي ٦٫٦٩ كيلوجرامات. بعد إضافة ﻙﺃ، يسمح للنظام أن يبدأ في الحركة؛ حيث يتحرك ﻙ اثنان لأسفل ساحبًا معه ﻙ واحد وﻙﺃ. وفي هذه الحالة، فإن عجلة النظام، التي سنطلق عليها ﺟﺃ، تساوي سبعة على ٢٠ مضروبًا في عجلة الجاذبية؛ حيث ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. وأثناء حركة النظام، نضيف كتلة ثالثة إلى مجموعة الكتل. يمكننا أن نسمي هذه الكتلة ﻙﺏ، وهي تساوي ٦٫٧٥ كيلوجرامات. وفي هذه الحالة، تقل عجلة النظام لتصل إلى قيمة يمكننا أن نسميها ﺟﺏ والتي تساوي ١٣ على ٥٠ في ﺩ.

بناء على هذه المعطيات، نريد إيجاد قيمتي الكتلتين ﻙ واحد وﻙ اثنين. للقيام بذلك، نستعين بقانون نيوتن الثاني الذي ينص على أن القوة المحصلة المؤثرة على نظام تساوي كتلة النظام مضروبة في عجلته. إذا نظرنا إلى القوى المؤثرة في هذه المسألة، فسنجد أن سطح المنضدة أملس ولا يولد أي قوة احتكاك، وأن البكرة أيضًا تدور دون مقاومة. ولكل كتلة من الكتل ﻙﺏ، ‏ ﻙﺃ، ‏ ﻙﻥ قوى وزن. وتؤثر جميع هذه القوى في الاتجاه الرأسي، لكن الحركة تحدث في الاتجاه الأفقي. إذن فإن قوى وزن تلك الكتل الثلاث لا تؤثر على حركة النظام. والقوة الوحيدة التي تؤثر على حركة النظام هي قوة وزن الكتلة ﻙ اثنين التي تساوي ﻙ اثنين في ﺩ.

إذا اعتبرنا الحركة في هذا الاتجاه حركة موجبة، وعدنا قليلًا إلى الوراء عند إضافة الكتلة ﻙﺃ فقط إلى مجموعة الكتل، وهو ما يعني أن عجلة النظام هي ﺟﺃ، فسنتمكن من كتابة أن قوة وزن الكتلة ﻙ اثنين؛ أي ﻙ اثنين ﺩ، تساوي كتلة النظام مضروبة في ﺟﺃ، وهي العجلة في هذه الحالة. وبهذا يصبح النظام، في هذا الوقت، مكونًا من الكتل الثلاث ﻙ اثنين، ﻙ واحد، ﻙﺃ. لذا نعوض عن ﻙ بمجموع الكتل. ثم نعيد ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة ﺟﺃ، فنجد أنها تساوي ﻙ اثنين في ﺩ على مجموع الكتل الثلاث. كما نعلم أنها تساوي سبعة على ٢٠ﺩ. والآن بعد أن توصلنا إلى هذه المعادلة، يمكننا أن نضعها جانبًا كي تساعدنا لاحقًا في حساب ﻙ واحد وﻙ اثنين. وهذا التساوي هو في الأساس معادلة حركة النظام عندما يتكون من ﻙ واحد، وﻙ اثنين، وﻙﺃ.

سنضيف الآن ﻙﺏ إلى النظام ونحاول التوصل إلى معادلة حركة أخرى. بوجود معادلتين للحركة ومجهولين، هما ﻙ واحد وﻙ اثنان، سنتمكن من حل المعادلتين للحصول على المجهولين اللذين نريدهما. وبالنظر إلى النظام بكتله الأربع، نجد أن القوة الوحيدة التي تسبب حركة هذا النظام مازالت قوة وزن الكتلة ﻙ اثنين. والآن، عندما نطبق قانون نيوتن الثاني على هذه الحالة، نكتب ﻙ اثنين ﺩ يساوي مجموع الكتل الأربع مضروبًا في عجلة النظام في هذه الحالة، وهي ﺟﺏ أو ١٣ على ٥٠ في ﺩ.

يمكننا إعادة ترتيب هذا التعبير لإيجاد قيمة ﺟﺏ. فنجد أنه يساوي ﻙ اثنين مضروبًا في ﺩ على مجموع الكتل الأربع الذي يساوي ١٣ على ٥٠ في عجلة الجاذبية الأرضية. هذه معادلة الحركة الثانية. بعد التوصل إلى هاتين المعادلتين والمجهولين اللذين نريد إيجادهما، يمكننا البدء في إيجاد ﻙ واحد بدلالة ﻙ اثنين، باستخدام المعادلة الأولى.

في البداية، سنعيد ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻙ واحد. ونلاحظ في هذه المعادلة أن المعامل ﺩ يحذف من الطرفين. وإذا ضربنا طرفي المعادلة في مقام الطرف الأيمن وأعدنا ترتيبها، فسنجد أن ﻙ واحد يساوي ١٣ على سبعة في ﻙ اثنين ناقص ﻙﺃ. سنأخذ الآن هذه النتيجة ونعوض بها عن ﻙ واحد في المعادلة الثانية. وعندما نفعل ذلك، سنحذف العامل ﺩ مرة أخرى، وكذلك الكتلة ﺃ، ‏ﻙﺃ، في مقام الطرف الأيمن.

أصبح لدينا الآن تعبير يتضمن ﻙ اثنين فقط، كمجهول، أما باقي القيم فمعروفة. بإعادة الترتيب، نجد أن ﻙ اثنين يساوي ﻙﺏ على ٥٠ على ١٣ ناقص ٢٠ على سبعة. بالتعويض بالقيمة المعطاة لـ ﻙﺏ، التي تساوي ٦٫٧٥ كيلوجرامات، ثم نكتب هذه القيمة على الآلة الحاسبة، نجد أن الناتج يساوي ٦٫٨٢٥ كيلوجرامات. وهذه هي قيمة الكتلة ﻙ اثنين.

يمكننا الآن استخدام المعادلة الخاصة بـ ﻙ واحد المكتوبة بدلالة ﻙﺃ وﻙ اثنين لنوجد قيمة ﻙ واحد. نعلم الآن أن ﻙ اثنين يساوي ٦٫٨٢٥ كيلوجرامات. وﻙﺃ يساوي ٦٫٦٩ كيلوجرامات. بإدخال هذه القيم على الآلة الحاسبة، نحصل على ٥٫٩٨٥ كيلوجرامات. وهذه هي قيمة الكتلة ﻙ واحد.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.