نسخة الفيديو النصية
لوح رقيق مساحته 0.25 متر مربع دفع أفقيًّا بقوة ثابتة مقدارها 150 ميكرو نيوتن على سطح الماء الذي لزوجته الديناميكية تساوي 8.9 في 10 أس سالب أربعة باسكال ثانية. ما معدل تغير سرعة الماء تحت اللوح مع المسافة الرأسية منه؟
دعونا نفترض أن هذا الرسم يوضح اللوح الرقيق الذي لدينا، وهو يدفع أفقيًّا فوق مجموعة من طبقات الماء. نتيجة لهذه القوة التي نسميها 𝐹، ومقدارها 150 ميكرو نيوتن، سيتحرك اللوح بسرعة معينة إلى اليمين كما هو موضح في الشكل. سيؤدي ذلك إلى تحرك طبقات الماء أسفل اللوح إلى اليمين أيضًا. كلما ابتعدت طبقة ماء معينة مسافة رأسية عن اللوح، وسنسمي هذه المسافة Δ𝑦، زاد الفرق بين سرعة طبقة الماء هذه وسرعة اللوح الرقيق، وسنسمي هذا الفرق Δ𝑣.
يطلب منا السؤال إيجاد معدل تغير سرعة الماء أسفل اللوح مع المسافة الرأسية منه. يمكننا أن نرمز إلى هذا المعدل بـ Δ𝑣 مقسومًا على Δ𝑦. يظهر معدل التغير، Δ𝑣 مقسومًا على Δ𝑦، في معادلة يمكننا تذكرها. تنص هذه المعادلة على أن إجهاد القص الذي يؤثر في مادة ما، ونرمز إليه بالرمز 𝜏، يساوي اللزوجة الديناميكية لهذه المادة، أو اللزوجة اختصارًا ونرمز إليها بالرمز 𝜇، مضروبة في معدل تغير سرعة هذه المادة على المسافة من موضع تأثير إجهاد القص.
إجهاد القص 𝜏 هو قوة تنتشر على مدى مساحة ما. ومن المهم ذكر أن إجهاد القص يختلف عن الضغط؛ حيث إن الضغط هو قوة تؤثر عموديًّا على مساحة ما، في حين أن إجهاد القص هو قوة تؤثر في سطح مساحة ما. في هذه الحالة لدينا إجهاد قص يؤثر في الماء؛ لأن القوة تؤثر في لوح رقيق يتحرك عبر سطح الماء.
بدمج هاتين المعادلتين اللتين تتضمنان إجهاد القص، يمكننا كتابة أن إجهاد القص، وهو قوة القص المنتشرة على مدى مساحة معينة، يساوي لزوجة المادة الموجودة مضروبة في Δ𝑣 مقسومًا على Δ𝑦. في الحالة التي لدينا لاحظنا أن Δ𝑣 مقسومًا على Δ𝑦 هو المعدل الذي نريد إيجاده. لذلك دعونا نقسم طرفي المعادلة على اللزوجة الديناميكية. ومن ثم تحذف هذه القيمة في الطرف الأيمن. بالتبديل بين طرفي المعادلة الأيسر والأيمن، يصبح لدينا Δ𝑣 مقسومًا على Δ𝑦 يساوي 𝐹 على 𝜇 في 𝐴.
القوة 𝐹 تساوي 150 ميكرو نيوتن. ونعلم من المعطيات أن اللزوجة الديناميكية للماء تساوي 8.9 في 10 أس سالب أربعة باسكال ثانية. ومساحة اللوح الرقيق تساوي 0.25 متر مربع. قبل أن نحسب قيمة هذا الكسر، علينا تحويل وحدة البسط من ميكرو نيوتن إلى نيوتن. يمكننا تذكر أن ميكرو نيوتن واحدًا يساوي 10 أس سالب ستة أو جزءًا من مليون من النيوتن. وعليه فإن 150 ميكرو نيوتن يساوي 150 مضروبًا في 10 أس سالب ستة نيوتن.
قبل أن نحسب قيمة هذا الكسر، نلاحظ أن الوحدة الموجودة في البسط هي النيوتن، في حين أن الوحدتين الموجودتين في المقام هما الباسكال ثانية والمتر المربع. إذا تذكرنا أن الباسكال يعرف بأنه نيوتن لكل متر مربع، فسنلاحظ أنه يمكننا إعادة كتابة وحدة النيوتن لكل متر مربع في صورة باسكال، بحيث تحذف وحدة الباسكال من البسط والمقام. ومن ثم فإن الوحدة الوحيدة المتبقية بعد حساب هذا التعبير هي مقلوب الثانية.
قد تبدو هذه الوحدة غريبة، لكن دعونا نفترض أننا نحسب تغيرًا في السرعة، التي يمكن أن تكون بوحدة المتر لكل ثانية، مقسومًا على تغير في الموضع، الذي يمكن أن يكون بوحدة المتر لقياس المسافة. إذا ضربنا بسط هذه الوحدة ومقامها في واحد على متر، فسنجد أن وحدة المتر تحذف تمامًا، ويتبقى لدينا وحدة واحد على الثانية أو مقلوب الثانية. إذن مع وجود وحدة مقلوب الثانية في الطرف الأيمن، يبدو أننا على المسار الصحيح.
بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن هذا الكسر يساوي 0.67 لكل ثانية. وعليه يكون هذا هو معدل تغير سرعة الماء أسفل اللوح مع المسافة الرأسية منه.
