فيديو السؤال: إيجاد مساحة متوازي أضلاع باستخدام الصيغة المثلثية لمساحة المثلث الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟﺩ متوازي أضلاع، فيه ﺃﺏ يساوي ٤١ سنتيمترًا وﺏﺟ يساوي ٢٧ سنتيمترًا وقياس الزاوية ﺏ يساوي ١٥٩ درجة. أوجد مساحة ﺃﺏﺟﺩ لأقرب سنتيمتر مربع.

لنبدأ برسم متوازي الأضلاع هذا. لقد علمنا من السؤال قياس زاوية واحدة، وهي الزاوية ﺏ، الذي يساوي ١٥٩ درجة. وعلمنا أيضًا طولي ضلعين من أضلاع متوازي الأضلاع يحصران هذه الزاوية. وعليه، فإن هذا الجزء من متوازي الأضلاع سيبدو هكذا. وبالطبع، كل ضلع من الضلعين الآخرين في متوازي الأضلاع يوازي أحد الضلعين اللذين رسمناهما بالفعل. وطول كل منهما يساوي طول الضلع المقابل له أيضًا. وبذلك، يمكننا أن نكمل رسم متوازي الأضلاع.

حسنًا، مطلوب منا الآن إيجاد مساحة متوازي الأضلاع هذا. في المعتاد، كنا سنستخدم صيغة طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع العمودي. لكننا لا نعلم الارتفاع العمودي لمتوازي الأضلاع هذا. يمكننا إيجاده باستخدام حساب المثلثات، لكن هناك طريقة أخرى يمكننا استخدامها. علينا أن نتذكر أن كل قطر من قطري متوازي الأضلاع يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين. ويمكننا إثبات ذلك باستخدام شرط التطابق بثلاثة أضلاع.

في المثلثين ﺃﺏﺟ وﺃﺩﺟ، الضلعان ﺃﺏ وﺟﺩ متساويان في الطول؛ لأنهما ضلعان متقابلان في متوازي الأضلاع الأصلي. وللسبب نفسه، الضلعان ﺃﺩ وﺟﺏ متساويان في الطول أيضًا. والضلع ﺃﺟ ضلع مشترك في المثلثين. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن المثلثين متطابقان باستخدام شرط التطابق بثلاثة أضلاع. وبما أن المثلثين متطابقان، فإن مساحتيهما متساويتان. ومن ثم، فإن مساحة متوازي الأضلاع تساوي ضعف مساحة أي مثلث من هذين المثلثين.

بعد ذلك، نتذكر الصيغة المثلثية لمساحة المثلث. في أي مثلث ﺃﺏﺟ؛ حيث تمثل ﺃ وﺏ وﺟ قياسات الزوايا الثلاث في المثلث، وتمثل ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة أطوال الأضلاع الثلاثة المقابلة لها، فإن الصيغة المثلثية لمساحة المثلث هي نصف ﺃ شرطة ﺏ شرطة جا ﺟ. يمثل هنا كل من ﺃ شرطة وﺏ شرطة طولي أي ضلعين في المثلث، ويمثل ﺟ قياس الزاوية المحصورة بينهما. إنها الزاوية الواقعة بين الضلعين اللذين سنستخدم طوليهما.

إذا نظرنا إلى المثلث ﺃﺏﺟ في الشكل لدينا، فإننا نعرف طولي الضلعين ﺃﺏ وﺏﺟ. إنهما ٤١ و٢٧ سنتيمترًا، على الترتيب. ونحن نعرف قياس الزاوية المحصورة بينهما، وهو ١٥٩ درجة. وعليه، بالتعويض بالقيمتين ٤١ و٢٧ عن طولي الضلعين في الصيغة المثلثية وبالقيمة ١٥٩ درجة عن قياس الزاوية المحصورة بينهما، نجد أن مساحة المثلث ﺃﺏﺟ تساوي نصفًا مضروبًا في ٤١ مضروبًا في ٢٧ مضروبًا في جا ١٥٩ درجة.

وكما ذكرنا من قبل، فإن مساحة متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ تساوي ضعف مساحة أي مثلث من المثلثين. إذن، لدينا اثنان مضروبًا في نصف مضروبًا في ٤١ مضروبًا في ٢٧ مضروبًا في جا ١٥٩ درجة. لكن بالطبع العامل اثنان والعامل نصف سيحذف كل منهما الآخر ليتبقى لدينا ٤١ مضروبًا في ٢٧ مضروبًا في جا ١٥٩ درجة.

يمكننا الآن إيجاد قيمة ذلك على الآلة الحاسبة، مع التأكد من أن الآلة الحاسبة على وضع الدرجات. هذا يعطينا ٣٩٦٫٧١٣، وهكذا مع توالي الأرقام. ويطلب منا السؤال تقريب الإجابة لأقرب سنتيمتر مربع. لذلك، هذه القيمة تساوي ٣٩٧، لأقرب عدد صحيح.

إذن، بتذكر أن كل قطر من قطري متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متطابقين، وبتطبيق الصيغة المثلثية لمساحة المثلث، وجدنا أن مساحة متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ تساوي ٣٩٧ سنتيمترًا مربعًا، لأقرب سنتيمتر مربع.