نسخة الفيديو النصية
مضلع ثماني منتظم طول ضلعه خمسة سنتيمترات. أوجد مساحته لأقرب منزلتين عشريتين.
في هذا السؤال، لدينا معطيات خاصة بمضلع ثماني منتظم. حسنًا، علمنا من السؤال أن طول ضلع المضلع يساوي خمسة سنتيمترات. وعلينا استخدام ذلك لإيجاد مساحة المضلع الثماني. علينا أيضًا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.
في الواقع، هناك طريقتان مختلفتان للإجابة عن هذا السؤال. الطريقة الأولى للإجابة عن هذا السؤال هي استرجاع صيغة إيجاد مساحة أي مضلع منتظم. ولعلنا نتذكر أن مساحة أي مضلع منتظم له عدد ﻥ من الأضلاع، وطول ضلعه ﺱ، تعطى بالصيغة ﻥﺱ تربيع على أربعة مضروبًا في ظتا ١٨٠ مقسومًا على ﻥ درجة. إذن، يمكننا استخدام هذه الصيغة للإجابة عن هذا السؤال. لكن سنحتاج إلى تحديد عدد أضلاع المضلع وطول الضلع فيه.
لقد علمنا من السؤال أننا نتعامل مع مضلع ثماني منتظم. ونحن نعلم أن المضلع الثماني له ثمانية أضلاع؛ لذا فإن قيمة ﻥ تساوي ثمانية. ونعلم أيضًا أن المضلع الثماني المنتظم لدينا طول الضلع فيه يساوي خمسة سنتيمترات. وعليه، ستكون قيمة ﺱ تساوي خمسة سنتيمترات. والآن، كل ما علينا فعله هو التعويض بهاتين القيمتين في صيغة المساحة. بالتعويض بـ ﻥ يساوي ثمانية، وﺱ يساوي خمسة سنتيمترات في الصيغة، نجد أن مساحة المضلع الثماني المنتظم تساوي ثمانية مضروبًا في خمسة سنتيمترات مربعة على أربعة مضروبًا في ظتا ١٨٠ مقسومًا على ثمانية درجة.
يمكننا إيجاد قيمة هذا المقدار. لدينا ثمانية مضروبًا في خمسة تربيع على أربعة يساوي ٥٠. إننا ندرك جيدًا أن ما نريده هنا هو حساب مساحة، وأن أطوال الأضلاع لدينا مقيسة بالسنتيمتر. والوحدة التي سنحصل عليها من الصيغة هي السنتيمتر المربع. وعليه، ستكون الوحدة المستخدمة لدينا هي السنتيمتر المربع. إذن، يمكننا تبسيط القياس ظتا ١٨٠ مقسومًا على ثمانية لنحصل على ٤٥ على اثنين. وبهذا يصبح الناتج لدينا هو ظتا ٤٥ على اثنين درجة.
علينا الآن إيجاد حاصل ضرب هذين الحدين. لكن تذكر أنه بدلًا من الضرب في ظل تمام الزاوية لدينا، يمكننا القسمة على ظلها. وهذا يعطينا ٥٠ مقسومًا على ظا ٤٥ على اثنين درجة سنتيمتر مربع. ويمكننا حساب هذا المقدار بسهولة. لكن تذكر أن علينا ضبط الآلة الحاسبة على وضع الدرجات. وبفعل ذلك، نجد أن الناتج هو ١٢٠٫٧١٠ سنتيمترًا مربعًا مع توالى الأرقام.
تذكر أن المطلوب في السؤال هو تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. لذا، علينا النظر إلى المنزلة العشرية الثالثة لتحديد إذا ما كان علينا التقريب لأعلى أم لأسفل. المنزلة العشرية الثالثة لدينا هي صفر. وهذا أقل من خمسة. هذا يعني أن علينا التقريب لأسفل. ونحصل بذلك على الإجابة النهائية. إذن، مساحة المضلع الثماني المنتظم الذي طول ضلعه خمسة سنتيمترات، إلى أقرب منزلتين عشريتين، هي ١٢٠٫٧١ سنتيمترًا مربعًا.
يمكننا التوقف هنا. أو يمكننا محاولة الإجابة عن هذا السؤال دون استخدام الصيغة التي لدينا مباشرة. لفعل ذلك، سنبدأ برسم المضلع الثماني. وليس من الضروري أن يكون الرسم دقيقًا؛ لأنه للتوضيح فقط. كل ما نحتاج إلى معرفته هو أن هذا مضلع ثماني منتظم. بعد ذلك، علينا توصيل جميع الرءوس الثمانية للمضلع بمركزه لنحصل على هذه المثلثات الثمانية. هناك ملاحظة مهمة علينا الالتفات إليها هنا؛ وهي أن جميع هذه المثلثات الثمانية متطابقة لأن أضلاعها لها نفس الأطوال.
إننا نعلم أن مساحة هذا المضلع الثماني تساوي ثمانية مضروبًا في مساحة أي مثلث من هذه المثلثات. لذا، علينا إيجاد مساحة أحد هذه المثلثات. وسنفعل ذلك بقسمة أحدها إلى نصفين. وبهذا، يصبح لدينا هذا المثلث القائم الزاوية. لكن هناك أمرًا مهمًّا علينا ملاحظته. المضلع الثماني الموجود لدينا هنا يتكون من ١٦ مثلثًا مثل هذا. وطول قاعدة هذا المثلث القائم الزاوية يساوي نصف طول الضلع الواحد في المضلع الثماني. إنه يساوي خمسة على اثنين سنتيمتر.
ولإيجاد مساحة هذا المثلث، علينا معرفة ارتفاعه حتى نتمكن من استخدام الصيغة التي توضح أن المساحة تساوي نصف طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع. حسنًا، لا توجد طريقة مباشرة يمكننا من خلالها إيجاد ارتفاع هذا المثلث. لذا، سنوجد قياس الزاوية الداخلية في المثلث لدينا. ويمكننا فعل ذلك مباشرة من الشكل. كما قلنا، هذا المضلع الثماني المنتظم به ١٦ مثلثًا. هذا يعني أن زوايا رءوس هذه المثلثات الـ ١٦ يلي بعضها بعضًا بحيث تكون معًا دورة كاملة. أي ٣٦٠ درجة. وعليه، فإن قياس هذه الزاوية في المثلث يساوي ٣٦٠ مقسومًا على ١٦ درجة.
إذا أردنا تبسيط ذلك، فسنحصل على ٤٥ على اثنين درجة. والآن، يمكننا إيجاد مساحة هذا المثلث القائم الزاوية، لكن علينا أولًا إيجاد ارتفاعه. إننا نعرف قياس إحدى زوايا هذا المثلث القائم الزاوية، ونعرف طول الضلع المقابل لهذه الزاوية. لذا، يمكننا إيجاد المساحة باستخدام حساب المثلثات. لعلنا نتذكر أنه إذا كانت لدينا الزاوية ﺃ في مثلث قائم الزاوية، فإن ظا ﺃ يساوي طول الضلع المقابل للزاوية ﺃ مقسومًا على طول الضلع المجاور للزاوية ﺃ.
وبتطبيق ذلك على الزاوية التي نعرفها في هذا المثلث القائم الزاوية، نحصل على ظا ٤٥ على اثنين درجة يساوي خمسة على اثنين الكل مقسوم على الارتفاع ﻉ. إننا نريد استخدام هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻉ، لذا سنحتاج إلى ضرب كلا الطرفين في قيمة ﻉ، ثم قسمتهما على ظا ٤٥ على اثنين درجة. وبتبسيط ذلك، نجد أن ﻉ يساوي خمسة مقسومًا على اثنين في ظا ٤٥ على اثنين درجة سنتيمتر.
حسنًا، نحن الآن جاهزون لإيجاد مساحة المضلع الثماني. مساحة هذا المثلث القائم الزاوية تساوي نصفًا في طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع. هذا يساوي نصفًا في خمسة على اثنين سنتيمتر مضروبًا في خمسة على اثنين ظا ٤٥ على اثنين درجة سنتيمتر. تذكر أن هذه المثلثات الـ ١٦ تكون معًا المضلع الثماني المنتظم الموجود لدينا. ومن ثم، يمكننا إيجاد مساحة المضلع بضرب هذه القيمة بالكامل في ١٦.
كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة هذا المقدار. حسنًا، لدينا ثلاثة عوامل في المقام كل منها يساوي اثنين. لذا، يمكننا حذفها مع ثلاث عوامل أخرى مشتركة بالعدد ١٦، والتي يساوي كل منها اثنين. وبهذا يتبقى لدينا العامل اثنان في البسط. والآن سنبسط البسط. ونحصل بذلك على اثنين مضروبًا في خمسة مضروبًا في خمسة. وهذا يساوي ٥٠. يمكننا أيضًا تبسيط الوحدات. نحن نعلم أن هذه مساحة. والوحدة المستخدمة لدينا هي سنتيمتر مضروب في سنتيمتر. ومن ثم، فإن المساحة ستكون بالسنتيمتر المربع.
في الواقع، يمكن تبسيط هذا المقدار بأكمله ليصبح لدينا ٥٠ مقسومًا على ظا ٤٥ على اثنين درجة سنتيمتر مربع. وهذا هو المقدار الذي حسبناه بالفعل. إنه يساوي، لأقرب منزلتين عشريتين، ١٢٠٫٧١ سنتيمترًا مربعًا. وبذلك، نكون قد استطعنا توضيح طريقتين مختلفتين لحساب مساحة مضلع ثماني منتظم، طول ضلعه خمسة سنتيمترات. وفي كلتا الحالتين، كانت الإجابة، لأقرب منزلتين عشريتين، هي ١٢٠٫٧١ سنتيمترًا مربعًا.
