فيديو: حل المعادلة النسبية

يوضح الفيديو تعريف المعادلة النسبية، وكيفية حلها باستخدام المقام المشترك الأصغر، والتحقق من صحة الحل بالتعويض في المعادلة.

١١:١١

‏نسخة الفيديو النصية

حل المعادلة النسبية.

في الفيديو ده مع بعض، هنتكلم عن إزاي نقدر نحل معادلة نسبية. والأول هنبدأ بتعريف المعادلة النسبية. بعد كده هنبدأ نحل مثال بالتفصيل، على إيجاد حل المعادلة النسبية. خلينا نشوف كده مع بعض أول حاجة. ما هي المعادلة النسبية؟ لو جينا نشوف تعريف المعادلة النسبية، هي معادلة تحتوي على عبارة نسبية، أو أكثر. ويتمّ حلها عن طريق ضرب طرفَي المعادلة، في المقام المشترك الأصغر. خلينا نشوف كده مثال مع بعض.

بنلاقي عندنا إن فيه أكتر من عبارة نسبية هنا. آدي س أول حاجة على، س زائد واحد؛ زائد تلاتة على، س ناقص اتنين؛ تساوي صفر. دي معادلة نسبية. بنلاقي عندنا إنها تحتوي على عبارتين نسبيتان. خلّينا مع بعض نشوف مثال كده في صفحة جديدة، ونحل معادلة نسبية.

المثال بيقول حل: أربعة على، س تربيع ناقص ستة س زائد تمنية. يساوي تلاتة س على، س ناقص اتنين؛ زائد اتنين على، س ناقص أربعة.

زي ما إحنا شايفين كده، المعادلة اللي قدامنا تحتوي على أكثر من عبارة نسبية. وبالتالي بنقول إنها معادلة نسبية. عشان نبدأ نحل المعادلة النسبية دي، لازم أول حاجة نوجد المقام المشترك الأصغر. خلينا نشوف كده المقام المشترك الأصغر هيكون إيه. بنلاقي عندنا إن أول مقام، عبارة عن س تربيع ناقص ستة س زائد تمنية. ويمكن تحليله إلى قوسين. القوس الأول س ناقص اتنين، في س ناقص أربعة.

لو جينا نشوف المقام التاني، اللي هو س ناقص اتنين، هو أصلًا متحلّل، ودي أبسط صورة ليه؛ اللي هي س ناقص اتنين. بالمثل برضو لو شُفنا س ناقص أربعة، اللي هو المقام الأخير. بنلاقي إن أبسط صورة ليه هي س ناقص أربعة. وبكده بنلاقي إن م م أ، أو المقام المشترك الأصغر، هيكون عندنا عبارة عن س ناقص اتنين، في س ناقص أربعة.

بعد كده هنبدأ نضرب الطرفين في المقام المشترك الأصغر ده؛ عشان نقدر نحل هذه المعادلة النسبية. خلّينا نشوف كده مع بعض في صفحة جديدة. بنكمّل مع بعض المعادلة النسبية بتاعتنا، زيّ ما إحنا شايفين كده. وبعد ما عرفنا المقام المشترك الأصغر، هنبدأ نضرب الطرفين في المقام المشترك الأصغر ده. وهو عبارة عن س ناقص اتنين، في س ناقص أربعة. خلّينا نشوف شكل المعادلة النسبية هيكون عامل إيه، بعد ما نضرب الطرفين في الـ م م أ، أو المقام المشترك الأصغر.

بعد ما ضربنا الطرفين في المقام المشترك الأصغر، خلينا نشوف إيه الاختصارات اللي ممكن تتمّ. بنلاقي عندنا إن في الطرف اليمين، المقام عبارة عن س تربيع ناقص ستة س زائد تمنية. وهو نفسه اللي تمّ تحليله إلى س ناقص اتنين، في س ناقص أربعة. وبالتالي ممكن يتمّ الاختصار زيّ ما إحنا شايفين كده. وبالتالي بنلاقي إن س ناقص اتنين، في س ناقص أربعة، يتم اختصارها مع المقام بتاعنا. اللي هو س تربيع ناقص ستة س زائد تمنية.

لو جينا نشوف الطرف الشمال عندنا. بنلاقي إن البسط فيه س ناقص اتنين، والمقام برضو فيه س ناقص اتنين، يتمّ اختصارهم. وبنلاقي برضو في الحدّ التاني للطرف الشمال، بنلاقي إن البسط فيه س ناقص أربعة، والمقام فيه س ناقص أربعة. خلّينا نشوف شكل المعادلة النسبية، هيبقى شكله إيه بعد ما عملنا هذه الاختصارات. بنلاقي عندنا إن الطرف اليمين هيتبقّى فيه أربعة بس. وبنلاقي عندنا إن الطرف الشمال هيبقى عبارة عن تلاتة س في، س ناقص أربعة؛ زائد اتنين في، س ناقص اتنين.

هنبدأ نوزّع التلاتة س على الطرح، داخل القوس اللي إحنا شايفينه ده. ونوزّع الاتنين برضو على الطرح، باستخدام خاصية التوزيع. وبالتالي شكل المعادلة هيكون كالتالي. بنلاقي إن المعادلة أصبح شكلها عبارة عن: أربعة يساوي تلاتة س تربيع، ناقص اتناشر س، زائد اتنين س، ناقص أربعة. وبعد كده هيتمّ طرح أربعة من الطرفين، زيّ ما إحنا شايفين كده. فبنلاقي إن شكل المعادلة أصبح كالتالي: صفر في الطرف اليمين، يساوي تلاتة س تربيع ناقص عشرة س ناقص تمنية.

بنلاقي عندنا إن ناقص اتناشر س، زائد اتنين س، بيكون الناتج بتاعهم عبارة عن ناقص عشرة س. خلّونا نكمّل كده مع بعض في صفحة جديدة. بنكمّل مع بعض. وآخِر حاجة وصلنا لها، إن إحنا بعد ما ضربنا طرفَي المعادلة النسبية في المقام المشترك الأصغر. لقينا إن شكل المعادلة اتحوّل، وبقي كالتالي: تلاتة س تربيع ناقص عشرة س ناقص تمنية يساوي صفر. يبقى بكده المعادلة النسبية بتاعتنا اتحوّلت إلى معادلة تربيعية من الدرجة التانية، زيّ ما إحنا شايفين كده. عشان نحلها، لازم نوجد قيم س المختلفة اللي بتحقّق هذه المعادلة. وده بيتمّ عن طريق إن إحنا هنحلّل هذه المعادلة التربيعية؛ عشان نوجد قيم س اللي بتحقّقها.

خلينا نشوف كده مع بعض التحليل هيكون شكله إيه. بنلاقي عندنا إن المعادلة التربيعية تمّ تحليلها إلى قوسين. تلاتة س زائد اتنين، مضروبة في س ناقص أربعة. وطبعًا إن الطرف الشمال عبارة عن صفر. وبكده بنلاقي إن قيم س اللي بتحقّق هذه المعادلة، هي: س تساوي سالب اتنين عَ التلاتة، وَ س تساوي أربعة.

لو جينا نشوف المعادلة النسبية اللي كانت عندنا أصلًا في المثال، وهي المعادلة الأصلية، بنلاقي إن شكلها كالتالي. والحل عندنا إن س تساوي سالب اتنين عَ التلاتة، وَ س تساوي أربعة. بس ما ينفعش هنا نعوّض عن س بأربعة؛ لأن زيّ ما إحنا شايفين، الدالة النسبية بتاعتنا غير معرّفة عند س تساوي أربعة. وبالتالي ما ينفعش الحل ده نقبله.

وبكده هنلاقي إن الحل الوحيد اللي مقبول عندنا، وهي إن س تساوي سالب اتنين عَ التلاتة. يبقى لازم نتأكد، بعد ما نحل المعادلة النسبية بتاعتنا، ونوجد الحلول بالطريقة اللي إحنا قلنا عليها. لازم في الآخر نتأكد مِ الحلول دي؛ هل تنفع كحلّ للمعادلة النسبية الأصلية بتاعتنا، ولّا لأ. وبكده بنقول إن حل هذه المعادلة هو س تساوي سالب اتنين عَ التلاتة.

خلينا نكمّل مع بعض كده في صفحة جديدة، ونشوف مثال آخَر. المثال بيقول: الشكل التالي يوضّح دائرة كهربية، يوجد بها تلات مقاومات موصَّلة على التوازي. زيّ ما إحنا شايفين كده: م واحد، م اتنين، م تلاتة. وواصِل معاهم على التوازي مصدر جهد. فبيقول: إذا كانت المقاومة المكافئة لهذه المقاومات، هي: م ك. فإن واحد على م ك، اللي هي المقاومة المكافئة؛ يساوي واحد على م واحد، زائد واحد على م اتنين، زائد واحد على م تلاتة. وكانت م واحد، يعني المقاومة الأولى، ضِعف م اتنين. وَ م تلاتة تساوي عشرين أوم. والمقاومة المكافئة تساوي عشرة أوم. اوجد قيمة م واحد، وَ م اتنين.

زيّ ما إحنا شايفين كده. العلاقة بين م واحد، وَ م اتنين، وَ م تلاتة، والمقاومة المكافئة ليهم؛ بيعبَّر عنها بمعادلة نسبية. زي ما إحنا شايفين كده. لو جينا نشوف المعطيات اللي عندنا في المثال بتاعنا، بنلاقي عندنا إن … بنلاقي إن م واحد يساوي اتنين م اتنين. وبنلاقي إن م تلاتة بعشرين أوم. وبنلاقي إن م ك عبارة عن عشرة أوم. بالتالي لو عوّضنا عن المعطيات دي، في المعادلة النسبية اللي عندنا، بنلاقي إن المعادلة هيصبح شكلها كالتالي. بنلاقي عندنا إن م ك بعشرة، فعوّضنا عنها بعشرة. بنلاقي إن م واحد باتنين م اتنين. م اتنين مش عارفين بكام. بنلاقي إن م تلاتة بعشرين أوم. كتبناها عشرين، زيّ ما إحنا شايفين كده.

خلّونا نكمّل مع بعض في صفحة جديدة. آخِر حاجة وصلنا لها، إن المعادلة النسبية بتاعتنا، بعد ما عوّضنا عن قيم المقاومات. أصبحت واحد على عشرة، يساوي واحد على اتنين م اتنين، زائد واحد على م اتنين، زائد واحد على عشرين. خلينا نضرب كده الطرفين في عشرين م اتنين. وهو عبارة عن المقام المشترك الأصغر، بين المقامات بتاعتنا. بعد ما ضربنا الطرفين عندنا في عشرين م اتنين. بنشوف هل فيه اختصارات ممكن تتمّ ولّا لأ.

خلينا نشوف كده الطرف اليمين. بنلاقي عندنا عشرين م اتنين في، واحد على عشرة. يمكن اختصار البسط مع المقام. عشرين على العشرة، بيكون الناتج اتنين. نيجي نشوف الطرف الشمال. بنلاقي عندنا عشرين م اتنين في، واحد على اتنين م اتنين. يمكن اختصار م اتنين في البسط، مع م اتنين في المقام. وبنلاقي إن عشرين على الاتنين، بيكون الناتج عبارة عن عشرة. بعد كده بنلاقي عشرين م اتنين في، واحد على م اتنين. يتم اختصار م اتنين في البسط، مع م اتنين في المقام. زائد عشرين م اتنين في، واحد على عشرين. يتم اختصار عشرين في البسط، مع عشرين في المقام. وبكده بنلاقي إن شكل المعادلة هيصبح شكله كالتالي.

بنلاقي إن شكل المعادلة هيصبح اتنين م اتنين يساوي عشرة زائد عشرين زائد م اتنين. هنطرح من الطرفين م اتنين، ونجمع كمان عشرة زائد عشرين. خلّينا نشوف شكل المعادلة هيكون إيه. وبكده بعد ما طرحنا م اتنين من الطرفين، بنلاقي إن م اتنين تساوي تلاتين. وبكده بنلاقي إن م اتنين عبارة عن تلاتين أوم. وكمان كان عندنا إن م واحد تساوي اتنين م اتنين، فبنقول اتنين في تلاتين. فبنلاقي عندنا إن م واحد تساوي ستين أوم.

يبقى إحنا في الفيديو ده مع بعض، اتعلّمنا يعني إيه معادلة نسبية. وإزاي نقدر نحلّها بإيجاد المقام المشترك الأصغر. وحلّينا مثالين، زيّ ما شوفنا، على معادلات نسبية. ناخد بالنا، لازم نشوف الحل بتاعنا، فعلًا بيحقّق المعادلة النسبية الأصلية اللي في المثال، ولّا لأ. وبكده أيّ معادلة نسبية، سهل إن إحنا نقدر نحلّها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.