فيديو السؤال: إيجاد المتتابعة الحسابية بشرط معين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

حدد المتتابعة الحسابية التي فيها ﺡ٥٠ زائد ﺡ٢٨ يساوي ٥٠٠ وﺡ ثلاثة زائد ﺡ١١ زائد ﺡ٣٥ يساوي ١٣٨.

نبدأ بتذكر أن المتتابعة الحسابية هي متتابعة ذات فرق مشترك (أساس المتتابعة الحسابية) بين أي حدين متتاليين. يمكن إيجاد الحد العام أو الحد النوني في متتابعة حسابية باستخدام الصيغة ﺡﻥ يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ، حيث ﺃ هو الحد الأول في المتتابعة، وﺩ هو الفرق المشترك. هذا يعني أنه يمكن كتابة ﺡ٥٠، أي الحد الـ ٥٠ من المتتابعة، على الصورة ﺃ زائد ٥٠ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ﺃ زائد ٤٩ﺩ. ويمكن كتابة الحد الـ ٢٨، أي ﺡ٢٨، على الصورة ﺃ زائد ٢٧ﺩ. بما أن مجموع الحدين الـ ٥٠ والـ ٢٨ يساوي ٥٠٠، نحصل على ﺃ زائد ٤٩ﺩ زائد ﺃ زائد ٢٧ﺩ يساوي ٥٠٠. يمكن تبسيط ذلك إلى اثنين ﺃ زائد ٧٦ﺩ يساوي ٥٠٠. بقسمة كلا الطرفين على اثنين، نحصل على ﺃ زائد ٣٨ﺩ يساوي ٢٥٠. وبطرح ٣٨ﺩ من كلا الطرفين، يكون لدينا ﺃ يساوي ٢٥٠ ناقص ٣٨ﺩ. سنسمي هذه بالمعادلة الأولى.

نعلم من المعادلة الثانية أن مجموع الحدود: الثالث، والـ ١١، والـ ٣٥ في المتتابعة يساوي ١٣٨. يمكن كتابة الحد الثالث على الصورة ﺃ زائد اثنين ﺩ، والحد الـ ١١ على الصورة ﺃ زائد ١٠ﺩ، والحد الـ ٣٥ على الصورة ﺃ زائد ٣٤ﺩ. مجموع هذه المقادير الثلاثة يساوي ١٣٨. بجمع الحدود المتشابهة على الطرف الأيمن، نحصل على ثلاثة ﺃ زائد ٤٦ﺩ يساوي ١٣٨. إذا سمينا هذه بالمعادلة الثانية، فيمكننا التعويض عن المقدار ﺃ في هذه المعادلة. هذا يعطينا ثلاثة مضروبًا في ٢٥٠ ناقص ٣٨ﺩ زائد ٤٦ﺩ يساوي ١٣٨. وبتوزيع الأقواس أو فك القوسين، نحصل على ٧٥٠ ناقص ١١٤ﺩ.

لدينا الآن معادلة يمكننا حلها لإيجاد الفرق المشترك ﺩ. بجمع الحدود المتشابهة وتحريك الحدود التي تحتوي على ﺩ إلى الطرف الأيسر، يصبح لدينا ٧٥٠ ناقص ١٣٨ يساوي ١١٤ﺩ ناقص ٤٦ﺩ. يبسط الطرف الأيمن إلى ٦١٢، ويبسط الطرف الأيسر إلى ٦٨ﺩ. يمكننا بعد ذلك قسمة كلا الطرفين على ٦٨، فنحصل على ﺩ يساوي تسعة. إذن، الفرق المشترك في المتتابعة الحسابية هو تسعة.

يمكننا الآن التعويض بقيمة ﺩ هذه في المعادلة الأولى لإيجاد قيمة الحد الأول. ‏ﺃ يساوي ٢٥٠ ناقص ٣٨ مضروبًا في تسعة. وهذا يساوي سالب ٩٢. وبذلك، يكون الحد الأول في المتتابعة الحسابية هو سالب ٩٢.

إذن، المتتابعة الحسابية التي يكون فيها مجموع الحد الـ ٥٠ والحد الـ ٢٨ يساوي ٥٠٠، ومجموع الحد الثالث، والحد الـ ١١، والحد الـ ٣٥ يساوي ١٣٨ هي: سالب ٩٢، سالب ٨٣، سالب ٧٤، وهكذا. وبذلك يكون الحد الأول لهذه المتتابعة هو سالب ٩٢، والفرق المشترك لها يساوي تسعة.