فيديو السؤال: إيجاد جميع القيم المجهولة في المثلث القائم الزاوية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

بمعلومية الشكل التالي، أوجد طول ﺃﺟ و ﺏﺟ وقياس الزاوية ﺃﺏﺟ بالدرجات. قرب إجابتك لأقرب رقمين عشريين.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا التفكير في النسب المثلثية جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية وظل الزاوية. ‏‏جا 𝜃 يساوي الضلع المقابل مقسومًا على وتر المثلث القائم الزاوية. ‏‏جتا 𝜃 يساوي الضلع المجاور مقسومًا على وتر المثلث القائم الزاوية. وظا 𝜃 يساوي المقابل على المجاور. تخبرنا تسمية الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية أن ﺏﺟ هو الوتر، أي الضلع الأطول، وﺃﺏ هو الضلع المقابل؛ إذ إنه يقابل الزاوية ٢١ درجة، بينما ﺃﺟ هو الضلع المجاور بما أنه يجاور الزاوية ٩٠ والزاوية ٢١ درجة.

الجزء الأول من السؤال هو إيجاد طول الضلع ﺃﺟ، المسمى ﺱ على الشكل. ‏‏ﺃﺟ هو الضلع المجاور. وﺃﺏ هو الضلع المقابل. لذا، سنستخدم نسبة ظل الزاوية. وعند التعويض بهذه القيم، سنجد أن ظا ٢١ يساوي ثلاثة على ﺱ. عند ضرب طرفي المعادلة في ﺱ ثم قسمتهما على ظا ٢١، سنحصل على ﺱ يساوي ثلاثة على ظا ٢١. بكتابة هذا على الآلة الحاسبة، سنحصل على قيمة ﺱ، وهي - ٧٫٨٢ مقربة إلى أقرب رقمين عشريين. هذا يعني أن طول الضلع ﺃﺟ يساوي ٧٫٨٢.

والمطلوب في الجزء الثاني من السؤال هو إيجاد طول الضلع ﺏﺟ. كما نعلم، ﺃﺟ يساوي ٧٫٨٢ وﺃﺏ يساوي ثلاثة، فيمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع ﺏﺟ. ومع ذلك، سنستمر في هذه الحالة في استخدام النسب المثلثية والمقابل والمجاور لإيجاد طول الضلع ﺏﺟ. عند التعويض عن هذه القيم بنسبة جيب الزاوية، سنحصل على جا ٢١ يساوي ثلاثة على ﺹ. ومرة أخرى، يتيح لنا استخدام طريقة الموازنة إمكانية التبديل بين مكان ﺹ ومكان جا ٢١. لذا، ﺹ يساوي ثلاثة على جا ٢١. وعند كتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على الناتج ٨٫٣٧ مقربًا إلى أقرب رقمين عشريين. وهو ما يعني أن طول ﺏﺟ في المثلث يساوي ٨٫٣٧.‏

طلب منا في الجزء الأخير من السؤال إيجاد قيمة الزاوية ﺃﺏﺟ، المسماة 𝜃 على الشكل. والآن يمكننا أن نستخدم نسبنا المثلثية مرة أخرى لحساب قيمة 𝜃. لكننا نعلم أن مجموع قياسات زوايا المثلث تساوي ١٨٠ درجة. وبالتالي، ٩٠ درجة زائد ٢١ درجة زائد 𝜃 يساوي ١٨٠ درجة. إذا كتبنا هذا في صورة معادلة، يمكننا حلها لإيجاد قياس الزاوية ﺃﺏﺟ. ‏‏٩٠ زائد ٢١ يساوي ١١١. وهكذا، فإن ١١١ زائد 𝜃 يساوي ١٨٠. وبطرح ١١١ من طرفي هذه المعادلة، نجد أن 𝜃 تساوي ٦٩ درجة. وهو ما يعني أن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ في المثلث يساوي ٦٩ درجة.

يبين هذا السؤال أننا يمكننا استخدام مزيج من النسب المثلثية ونظرية فيثاغورس وخصائص الزاوية لإيجاد جميع قيم الأطوال وقياسات الزوايا في المثلث القائم الزاوية.