فيديو: إيجاد احتمال الأحداث المستقلة وغير المستقلة

سارة سليمان

يوضِّح الفيديو مفهوم الأحداث المستقلة وغير المستقلة وإيجاد احتمال حدوث كلٍّ منهما.

١١:٠٦

‏نسخة الفيديو النصية

هنتعلّم في الدرس ده إيجاد احتمال الأحداث المستقلة وغير المستقلة.

عشان نعرف نجيب الاحتمال، محتاجين نعرف إيه هي الحوادث المستقلة. إيه هي الحوادث غير المستقلة. وإيه هي الحادثة المركّبة.

أعلن محلّ الملابس الرجالية عن إمكانية الحصول على جوارب مجانية عند شراء الزبون لإحدى القطع من الجدول التالي. رقم واحد: ما هو احتمال شراء ثوب؟ وما احتمال الحصول على جوارب زرقاء؟

بما إنه الاحتمال بيساوي عدد النواتج في الحادثة على العدد الكلّي للنواتج الممكِنة، هنلاحظ من الجدول إن الثوب بيمثّل قطعة واحدة، وإنه العدد الكلّي للقطع هو ستة. يعني أقدر أقول: إنه احتمال شراء ثوب … أمَّا احتمال الحصول على جوارب زرقاء … بالرجوع للجدول، هنلاحظ إنه فيه قطعة واحدة بس لونها أزرق، وهمّ كلهم تلات قطع. يعني أقدر أقول: إنه احتمال الحصول على جوارب زرقاء هيساوي واحد على تلاتة.

هنلاحظ في المثال ده إنه عملية شراء القطعة واستلام الجوارب المجانية حادثة مركَّبة. وبكده نقدر نقول: إنه الحادثة المركّبة بتتكوّن من حادثتين بسيطتين أو أكثر. وبما إنه لون الجوارب لا يعتمد على نوع القطعة اللي بنشتريها؛ لذا بنعتبر إن الحوادث دي حوادث مستقلة. وفي الحوادث المستقلة لا يؤثّر ناتج إحدى الحوادث في الحوادث الأخرى.

تاني سؤال: ما ناتج ضرب الاحتمالين في السؤال الأول؟

الاحتمال الأولاني واحد على ستة أو سدس، في … الاحتمال التاني تلت. ناتج الضرب هيساوي واحد على تمنتاشر. وبالتالي نقدر نعرّف الحادثة المركّبة: تتكوّن من حادثتين بسيطتين أو أكثر. والحوادث المستقلة لايؤثّر ناتج إحدى الحوادث في الحوادث الأخرى. وبالتالي نقدر نعرّف احتمال الحوادث المستقلة كالتالي: ممكن نجيب احتمال حادثتين مستقلتين بضرب احتمال الحادثة الأولى في احتمال الحادثة التانية. يعني ح أ وَ ب هيساوي ح أ في ح ب. زيّ في المثال اللي فات لمَّا جِبنا حاصل ضرب احتمال شراء ثوب في احتمال الحصول على جوارب زرقاء. بكده نكون جِبنا احتمال شراء ثوب والحصول على جوارب زرقاء.

للتوضيح أكتر، هناخد مثال. إذا تمّ اختيار إحدى بطاقات الأحرف وتدوير مؤشّر القرص الدوّار، فما احتمال أن يكون الناتج على كل منهما حرف من الحروف التالية: و، أ، ي؟

هنلاحظ في السؤال ده إن فيه حادثتين بسيطتين؛ الحادثة الأولى: اختيار إحدى البطاقات. والحادثة التانية: تدوير مؤشّر القرص. وبكده أقدر أقول: إنه اختيار إحدى بطاقات الأحرف وتدوير مؤشّر القرص حادثة مركّبة. وكمان بما إنه اختيار إحدى بطاقات الأحرف لا يعتمد على تدوير مؤشّر القرص، فهنعتبر إن دي حوادث مستقلة. أول حاجة: هنجيب احتمال اختيار بطاقة تحمل حرف من الحروف التلاتة. بما إنه العدد الكلّي للبطاقات ستة، وموجود بطاقتين تحمل حرفين من الحروف التلاتة، وهي أ وَ و. أقدر أقول: إنه احتمال اختيار بطاقة تحمل حرف من الحروف التلاتة هيساوي اتنين على ستة. يعني هيساوي تلت.

أمَّا احتمال توقُّف القرص على حرف من الحروف التلاتة، هنلاحظ إن القرص متقسّم لست أجزاء. يعني العدد الكلّي للنواتج ستة. وموجود برضو حرفين من الحروف التلاتة، وهمّ أ وَ و. إذن الاحتمال هيساوي اتنين على ستة. ودايمًا الاحتمال بيكون في أبسط صورة. يعني هيساوي واحد على تلاتة، لمَّا نقسم البسط والمقام على اتنين. وبالتالي بما إنه الحادثتين مستقلتين؛ عشان نجيب احتمال حدوث كلاهما هجيب حاصل ضرب الاحتمال الأولاني في الاحتمال التاني. يعني هضرب تُلت في تُلت. يعني هيساوي واحد على تسعة. هنلاحظ إنه ممكن استعمال فضاء العيّنة أو الرسم الشجري عشان نتأكّد من الإجابة.

وبعد ما اتكلّمنا عن معنى الحوادث المستقلة، هنتكلّم دلوقتي عن الحوادث غير المستقلة. إذا تأثَّر ناتج إحدى الحادثتين بناتج الحادثة الأخرى، فإن الحادثتين تكونان غير مستقلتين. يعني أقدر أقول: إنه عشان نحسب احتمال الحوادث غير المستقلة، هنقول: إذا كانت الحادثتان أ وَ ب غير مستقلتين، فإن احتمال حدوثهما معًا هو حاصل ضرب احتمال الحادثة أ في احتمال الحادثة ب بعد حصول الحادثة أ. يعني بالرموز: ح أ وَ ب هيساوي ح أ في ح ب بعد أ.

يعني مثلًا يوجد في سلة الفواكه: أربع برتقالات، سبع موزات، خمس تفاحات. اختار مازن حبة فاكهة عشوائيًّا، واختار محمد أيضًا حبة فاكهة عشوائيًّا. أوجد احتمال أن تكون الحبتان تفاحة.

بما إنه اختار مازن حبة فاكهة بطريقة عشوائية، وما رجّعهاش تاني لسلة الفواكه، فهنلاحظ إنه الحادثة الأولى هتؤثّر في الحادثة التانية. وهتكون الحادثتان غير مستقلتين. أول حاجة هنعرّف الاحتمال. الاحتمال هيساوي عدد النواتج في الحادثة على العدد الكلّي للنواتج. بعد كده هنجيب احتمال إن الحبة الأولى تفاحة. هيساوي عدد التفاحات، وهو خمسة، على عدد حبات الفاكهة الكلّي. لمَّا هنجمع أربعة زائد سبعة زائد خمسة هيساوي ستاشر.

بعد كده هنجيب احتمال إن الحبة التانية تكون تفاحة. عدد التفاحات اللي هتتبقّى بعد سحب الحبة الأولى، يعني هيساوي أربعة؛ لأن همّ كانوا أصلًا خمسة. والعدد الكلّي لحبات الفاكهة اللي هيتبقّى بعد أخد الحبة الأولى همّ برضو خمستاشر؛ لأن همّ كانوا ستاشر. وعشان نجيب احتمال إن تكون الحبتان تفاحًا، هجيب حاصل ضرب الاحتمالين اللي فاتوا. هنضرب خمسة على ستاشر، في أربعة على خمستاشر. للاختصار، هنقسم البسط والمقام على خمسة. خمسة على خمسة هيساوي واحد. وخمستاشر على خمسة هيساوي تلاتة. وهنقسم تاني البسط والمقام على أربعة. أربعة على أربعة هيساوي واحد. وستاشر على أربعة هيساوي أربعة. يعني احتمال إن تكون الحبتان تفاحتان هيساوي واحد على اتناشر.

أحيانًا الحادثتان لا يمكن أن يحدثوا مع بعض في نفس الوقت. يعني مثلًا لمَّا نرمي قطعة نقود معدنية، الحصول على الوجهين في الوقت نفسه مستحيل يحصل. وبكده هنعتبر إن الحصول على وجه الصورة والحصول على وجه الكتابة حادثان منفصلان. الأحداث المنفصلة هي الأحداث التي لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت.

يعني مثلًا تمّ إلقاء مكعب الأرقام. أوجد احتمالية الحصول على رقم فردي أو على الرقم ستة.

هنلاحظ إنه الحدثان اللي هنا في السؤال ده حدثان منفصلان. لأنه ما ينفعش نحصل على الرقم ستة، في نفس الوقت نحصل على رقم فردي؛ لأنه رقم ستة رقم زوجي. الاحتمال يساوي عدد النواتج في الحادثة على العدد الكلّي للنواتج. هنلاحظ إنه نواتج الحادثة هي الأرقام الفردية: واحد، وتلاتة، وخمسة، وكمان الحصول على الرقم ستة. يعني أقدر أقول: إنه احتمالية الحصول على رقم فردي أو الرقم ستة هيساوي أربعة على ستة. عشان يكون الاحتمال في أبسط صورة، هقسم البسط والمقام على اتنين. يعني هيساوي اتنين على تلاتة.

من المثال ده، هنلاحظ إنه عند الحصول على احتمالية الأحداث المنفصلة، بنستخدم كلمة «أو». يعني أقدر أقول: إن احتمالية حادثان منفصلان هي مجموع احتمالية كلٍّ من الحادثان. يعني بالرموز: ح أ أو ب هيساوي ح أ زائد ح ب.

وبكده هنكون اتعلّمنا إزَّاي نجيب احتمال الحوادث المستقلة وغير المستقلة. وعرفنا إنه الحادثة المركّبة هي الحادثة التي تتكوّن من حادثتين بسيطتين أو أكتر. وعرفنا كمان إنه في الحوادث المستقلة لا يؤثّر ناتج إحدى الحوادث في الحوادث الأخرى. واحتمال حادثتين مستقلتين هيساوي حاصل ضرب احتمال الحادثة الأولى في احتمال الحادثة الثانية. أمَّا إذا تأثّر ناتج إحدى الحادثتين بناتج الحادثة الأخرى، فإن الحادثتين تكونان حادثتين غير مستقلتين. واحتمال الحوادث الغير مستقلة هو حاصل ضرب احتمال الحادثة الأولى في احتمال الحادثة الثانية بعد حصول الحادثة الأولى. وعرفنا كمان إنه الأحداث المنفصلة هي التي لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت. واحتمالية حادثان منفصلان هي مجموع احتمالية كلٍّ من الحادثان.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.