فيديو السؤال: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مستويين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد، لأقرب درجة، قياس الزاوية المحصورة بين المستويين اثنين في ﺱ ناقص واحد زائد ثلاثة في ﺹ ناقص أربعة زائد أربعة في ﻉ زائد خمسة يساوي صفرًا وﺭ مضروبًا ضربًا قياسيًّا في واحد، سالب اثنين، خمسة يساوي ١٦.

لدينا مستويان معطيان على صورتين مختلفتين من المعادلات. المعادلة التي تتضمن المتجه ﺭ هذا، وسنسميها المستوى اثنين، معطاة على الصورة المتجهة، في حين أن المستوى الآخر، الذي سنسميه المستوى واحدًا، معطى على ما يسمى بالصورة العامة. بما أننا نحاول إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين هذين المستويين، سنبدأ بإيجاد متجه عمودي على المستوى واحد، ومتجه عمودي على المستوى اثنين. نفعل ذلك لأن جيب تمام الزاوية المحصورة بين مستويين يعطى بهذه الصيغة؛ حيث ﻥ واحد وﻥ اثنان متجهان عموديان على هذين المستويين.

نبدأ بمعادلة المستوى واحد، إذا ضربنا جميع الأقواس ثم جمعنا كل القيم، ما عدا القيم التي تحتوي على متغيرات، فسنجد أن اثنين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد أربعة ﻉ زائد ستة يساوي صفرًا. نلاحظ أن المستوى معطى على ما يسمى بالصورة العامة. نحصل في هذه الصورة، على مركبات المتجه العمودي على هذا المستوى من القيم المضروبة في ﺱ وﺹ وﻉ. إذا أطلقنا على هذا المتجه العمودي على المستوى ﻥ واحد، فهذا يعني أن مركباته اثنان، وثلاثة، وأربعة.

ننتقل إلى المستوى اثنين، وهو كما رأينا، معطى على ما يسمى بالصورة المتجهة. بكتابته بهذه الطريقة، لدينا المتجه ﺭ الذي يشير إلى نقطة اختيارية في المستوى، مضروبًا ضربًا قياسيًّا في المتجه العمودي عليه. هذا يعني أنه يمكننا على الفور أن نقرأ مركبات المتجه العمودي على هذا المستوى، ويمكننا تسميته ﻥ اثنين. بعد أن عرفنا مركبات المتجهين المتعامدين على كلا المستويين، يمكننا التعويض بهما في هذه الصيغة. جيب تمام الزاوية المحصورة بين المستويين، المستوى واحد والمستوى اثنين، يساوي مقدار حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين مقسومًا على حاصل ضرب مقدار كل منهما.

إذا بدأنا بإيجاد قيمة حاصل الضرب القياسي في هذا البسط، وربعنا المركبات المختلفة في المقام، فسنحصل على هذا التعبير الذي يمكن تبسيطه إلى ١٦ على الجذر التربيعي لـ ٣٠ في الجذر التربيعي لـ ٢٩. نتذكر أن هذا يساوي جيب تمام الزاوية بين المستويين. وهذا يعني أن الزاوية 𝜃 نفسها تساوي الدالة العكسية لـ جتا ١٦ على جذر ٣٠ في جذر ٢٩. بإدخال هذا المقدار على الآلة الحاسبة، لأقرب درجة، فإنه يساوي ٥٧ درجة. وهذا هو قياس الزاوية المحصورة بين المستويين.