فيديو: متسلسلة تايلور

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد متسلسلة تايلور لدالة ونحدد نصف قطر التقارب للمتسلسلة.

١٦:٤١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد تمثيل تايلور لدالة افتراضية باستخدام مفكوك متسلسلة تايلور. وسنتناول كيفية إيجاد نصف قطر التقارب لهذه المتسلسلات بالإضافة إلى فترات التقارب، وذلك باستخدام اختبار النسبة للتقارب بصورة أساسية. نبدأ بافتراض أن ‪𝑓‬‏ دالة يمكن تمثيلها بمتسلسلة القوى ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑐‬‏ صفر زائد ‪𝑐‬‏ واحد ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑐‬‏ اثنين ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ الكل تربيع وهكذا، حيث القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ أقل من قيمة ما يشار إليها بحرف ‪𝑅‬‏. يمكننا أن نبدأ بإيجاد ما تساويه ‪𝑐𝑛‬‏، أي المعاملات، بدلالة ‪𝑓‬‏. على سبيل المثال، إذا جعلنا ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏، فسنرى أن ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ يصبح ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏، أي صفر. ونجد بعد ذلك أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ تساوي ‪𝑐‬‏ صفر.

حسنًا، هذا رائع. لكن ما من شيء آخر يمكننا فعله لهذه الدالة في صورتها الحالية لمساعدتنا في إيجاد قيم المعاملات الأخرى بدلالة ‪𝑓‬‏. لذا نشتق، بدلًا من ذلك، الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، مع تذكر أنه يمكننا فعل ذلك للحدود واحدًا تلو الآخر. و‪𝑐‬‏ صفر هو ثابت، ومن ثم فإن مشتقته تساوي صفرًا. إذن مشتقة ‪𝑐‬‏ واحد في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ تساوي ‪𝑐‬‏ واحد فقط. ويمكننا تحقيق هذه النتيجة باستخدام قاعدة حاصل الضرب أو بتوزيع الأقواس والاشتقاق كالمعتاد. بالمثل، نجد أن مشتقة ‪𝑐‬‏ اثنين في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ الكل تربيع تساوي اثنين في ‪𝑐‬‏ اثنين في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏. ومشتقة ‪𝑐‬‏ ثلاثة في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ الكل تكعيب تساوي ثلاثة ‪𝑐‬‏ ثلاثة في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ الكل تربيع وهكذا.

مرة أخرى، نجعل ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏. وهذه المرة نحصل على ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ تساوي ‪𝑐‬‏ واحد. وباتباع ذلك يمكننا تكرار هذه العملية. نشتق الدالة مرة أخرى بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. و‪𝑓‬‏ شرطتان لـ ‪𝑥‬‏ تساوي اثنين ‪𝑐‬‏ اثنين زائد اثنين في ثلاثة ‪𝑐‬‏ ثلاثة في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ زائد حد آخر، وهو ثلاثة في أربعة ‪𝑐‬‏ أربعة في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ الكل تربيع وهكذا. وهذه المرة عندما نجعل ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ نجد أن ‪𝑓‬‏ شرطتين لـ ‪𝑎‬‏ تساوي اثنين ‪𝑐‬‏ اثنين. نكرر ذلك مرة أخرى لمساعدتنا في تحديد نمط. المشتقة الثالثة هي اثنين في ثلاثة ‪𝑐‬‏ ثلاثة زائد اثنين في ثلاثة في أربعة ‪𝑐‬‏ أربعة في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ زائد ثلاثة في أربعة في خمسة ‪𝑐‬‏ خمسة في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ الكل تربيع وهكذا. وبجعل ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ الآن، نلاحظ أن ‪𝑓‬‏ ثلاث شرط لـ ‪𝑎‬‏، وهي قيمة المشتقة الثالثة للدالة بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏، عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ تساوي اثنين في ثلاثة في ‪𝑐‬‏ ثلاثة، والتي يمكننا كتابتها بدلًا من ذلك في صورة مضروب ثلاثة ‪𝑐‬‏ ثلاثة.

إذا واصلنا الاشتقاق والتعويض بـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏، فسنجد أن قيمة المشتقة ذات الرتبة ‪𝑛‬‏ للدالة عند ‪𝑎‬‏ تساوي اثنين في ثلاثة في أربعة في خمسة، حتى نصل إلى ‪𝑛‬‏ في ‪𝑐𝑛‬‏. بعبارة أخري، تساوي قيمتها مضروب ‪𝑛‬‏ في ‪𝑐𝑛‬‏. والآن سنحل معادلة قيمة المشتقة ذات الرتبة ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑎‬‏ تساوي مضروب ‪𝑛𝑐𝑛‬‏ لإيجاد ‪𝑐𝑛‬‏. عندما نفعل ذلك، نجد أن ‪𝑐𝑛‬‏ تساوي قيمة المشتقة ذات الرتبة ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑎‬‏ على مضروب ‪𝑛‬‏. من المفيد تذكر أن هذه الصيغة تبقى صحيحة حتى إذا كان ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا، لأن مضروب صفر هو واحد والمشتقة الصفرية لـ ‪𝑓‬‏ هي ‪𝑓‬‏. بذلك نحصل على النظرية الأولى. وهي تتعلق بالحالة التي يكون فيها لـ ‪𝑓‬‏ تمثيل متسلسلة قوى عند ‪𝑎‬‏، أي عندما تكون ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي المجموع لـ ‪𝑐𝑛‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ أس ‪𝑛‬‏ لقيم ‪𝑛‬‏ من صفر إلى ما لانهاية، حيث مقياس ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ أقل من ‪𝑅‬‏. في هذه الحالة، تعطى معاملاتها بالصيغة ‪𝑐𝑛‬‏ تساوي قيمة المشتقة ذات الرتبة ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑎‬‏ على مضروب ‪𝑛‬‏.

سنعوض بذلك في المتسلسلة الأصلية. نجد أنه إذا كان لـ ‪𝑓‬‏ مفكوك متسلسلة قوى عند ‪𝑎‬‏، فإن متسلسلة تايلور للدالة ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑎‬‏ أو حول ‪𝑎‬‏ هي المجموع لقيمة المشتقة ذات الرتبة ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑎‬‏ على مضروب ‪𝑛‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ أس ‪𝑛‬‏ لقيم ‪𝑛‬‏ من صفر إلى ما لانهاية. ويمكن كتابة ذلك بصورة بديلة على هيئة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ على مضروب واحد في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑓‬‏ شرطتين لـ ‪𝑎‬‏ على مضروب اثنين في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ الكل تربيع وهكذا. من المفيد معرفة أنه إذا كان ‪𝑎‬‏ يساوي صفرًا، يكون لدينا حالة خاصة لها اسم يميزها. وهو متسلسلة ماكلورين. لكننا لن ندرس خصائصها في هذا الفيديو. لنستعرض الآن بعض الأمثلة عن كيفية تطبيق صيغة متسلسلة القوى لتايلور.

ما الحدود الأربعة الأولى لمتسلسلة تايلور للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ حول ‪𝑥‬‏ يساوي أربعة؟

نتذكر أن متسلسلة تايلور للدالة ‪𝑓‬‏ حول ‪𝑎‬‏ تعطى بالمجموع لقيمة المشتقة ذات الرتبة ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑎‬‏ على مضروب ‪𝑛‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ أس ‪𝑛‬‏ لقيم ‪𝑛‬‏ من صفر إلى ما لانهاية. إذن ما الذي نعرفه عن هذه الدالة؟ هذه الدالة معطاة على الصورة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏، ويمكننا بدلًا من ذلك أن نقول إنها تساوي ‪𝑥‬‏ أس نصف. نريد إيجاد متسلسلة تايلور حول ‪𝑥‬‏ يساوي أربعة، لذلك سنجعل ‪𝑎‬‏ يساوي أربعة. باستخدام الصيغة الثانية لمتسلسلة تايلور، نجد أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑓‬‏ لأربعة زائد ‪𝑓‬‏ شرطة لأربعة على مضروب واحد في ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة زائد ‪𝑓‬‏ شرطتين لأربعة على مضروب اثنين في ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة تربيع زائد ‪𝑓‬‏ ثلاث شرط لأربعة على مضروب ثلاثة في ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة تكعيب.

يمكننا حساب قيمة ‪𝑓‬‏ لأربعة بسهولة إلى حد ما. فنعوض بأربعة في الدالة الأصلية. لكن لنتمكن من حساب قيم ‪𝑓‬‏ شرطة لأربعة، و‪𝑓‬‏ شرطتين لأربعة، و‪𝑓‬‏ ثلاث شرط لأربعة، سنحتاج إلى اشتقاق الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ ثلاث مرات. لقد ذكرنا أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ أس نصف، ونتذكر أيضًا أنه لاشتقاق دالة وحيدة حد، نضرب الحد بالكامل في الأس ثم نطرح واحد من ذلك الأس. هذا يعني أن ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، أي المشتقة الأولى لـ ‪𝑓‬‏، تساوي نصف ‪𝑥‬‏ أس سالب نصف. و‪𝑓‬‏ شرطتين لـ ‪𝑥‬‏ تساوي سالب نصف في نصف ‪𝑥‬‏ أس سالب ثلاثة على اثنين، وهو ما يبسط إلى سالب ربع ‪𝑥‬‏ أس سالب ثلاثة على اثنين. وأخيرًا، ‪𝑓‬‏ ثلاث شرط لـ ‪𝑥‬‏ تساوي سالب ثلاثة على اثنين في سالب ربع ‪𝑥‬‏ أس سالب خمسة على اثنين، أي ثلاثة أثمان ‪𝑥‬‏ أس سالب خمسة على اثنين.

سنعوض الآن بـ ‪𝑥‬‏ يساوي أربعة في الدوال ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، و‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، و‪𝑓‬‏ شرطتين لـ ‪𝑥‬‏، و‪𝑓‬‏ ثلاث شرط لـ ‪𝑥‬‏. و‪𝑓‬‏ لأربعة هي الجذر التربيعي لأربعة، وهو ما يساوي اثنين. و‪𝑓‬‏ شرطة لأربعة هي نصف في أربعة أس سالب نصف، وهو ما يساوي ربعًا. و‪𝑓‬‏ شرطتين لأربعة هي سالب ربع في أربعة أس سالب ثلاثة على اثنين، وهو ما يساوي سالب واحد على ‪32‬‏. و‪𝑓‬‏ ثلاث شرط لأربعة هي ثلاثة أثمان في أربعة أس سالب خمسة على اثنين، وهو ما يساوي ثلاثة على ‪256‬‏. وبذلك، لا يتبق علينا سوى التعويض بكل هذا في المفكوك. عندما نفعل ذلك، نجد أن الحدود الأربعة الأولى لمتسلسلة تايلور للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ حول ‪𝑥‬‏ يساوي أربعة هي اثنين زائد ربع في ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة ناقص واحد على ‪64‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة تربيع زائد واحد على ‪512‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة تكعيب.

سنلقي نظرة الآن على مثال آخر لهذا النوع.

افترض أن الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪cos 𝑥‬‏. أوجد مفكوك متسلسلة تايلور للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪cos 𝑥‬‏ عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝜋‬‏، واكتب مفكوك متسلسلة تايلور للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ باستخدام رمز التجميع.

نتذكر أن مفكوك متسلسلة تايلور لدالة حول ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ يعطى بـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑎‬‏ على مضروب واحد في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑓‬‏ شرطتين لـ ‪𝑎‬‏ على مضروب اثنين في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ الكل تربيع وهكذا. في هذه المسألة، الدالة هي ‪cos 𝑥‬‏. ونريد إيجاد مفكوك متسلسلة تايلور عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝜋‬‏. إذن سنجعل ‪𝑎‬‏ يساوي ‪𝜋‬‏. وبذلك نجد أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ هنا تساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝜋‬‏ زائد ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝜋‬‏ على مضروب واحد في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝜋‬‏ وهكذا. الآن يمكننا حساب قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝜋‬‏ على نحو سهل للغاية. نعوض بـ ‪𝜋‬‏ في الدالة ‪cos 𝑥‬‏. لكن ماذا عن ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝜋‬‏ و‪𝑓‬‏ شرطتين لـ ‪𝜋‬‏ وهكذا؟

حسنًا، سنشتق الدالة بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. يمكننا تذكر أن المشتقة الأولى لـ ‪cos 𝑥‬‏ تساوي سالب ‪sin 𝑥‬‏. بعد ذلك، للحصول على المشتقة الثانية، نشتق سالب ‪sin 𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ ونحصل على سالب ‪cos 𝑥‬‏. بالاشتقاق مرة أخرى، نجد أن ‪𝑓‬‏ ثلاث شرط لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪sin 𝑥‬‏. في الحقيقة، سنكرر هذه العملية مرة أخرى لأننا عندما نشتق ‪sin 𝑥‬‏، نحصل على ‪cos 𝑥‬‏ مرة أخرى. يمكنك أن تلاحظ هنا أن لدينا دورة مغلقة. فالمشتقة الخامسة لـ ‪𝑓‬‏ ستكون سالب ‪sin 𝑥‬‏، والمشتقة السادسة ستكون سالب ‪cos 𝑥‬‏ وهكذا. دعونا نستخدم كل هذا لحساب قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝜋‬‏، و‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝜋‬‏، و‪𝑓‬‏ شرطتين لـ ‪𝜋‬‏ وهكذا، وتحديد نمط. ‏‏‪𝑓‬‏ لـ ‪𝜋‬‏ هي ‪cos 𝜋‬‏، وتساوي سالب واحد. ‏‏‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝜋‬‏ هي سالب ‪sin 𝜋‬‏، وتساوي صفرًا. ‏‏‪𝑓‬‏ شرطتان لـ ‪𝜋‬‏ هي سالب ‪cos 𝜋‬‏، وتساوي واحدًا. و‪𝑓‬‏ ثلاث شرط لـ ‪𝜋‬‏ هي ‪sin 𝜋‬‏، وتساوي صفرًا مرة أخرى.

ومن ثم، بالطبع، المشتقة الرابعة لـ ‪𝜋‬‏ ستكون ‪cos 𝜋‬‏ مرة أخرى، وتساوي سالب واحد. دعونا نعوض بكل هذا في مفكوك متسلسلة تايلور. وبالطبع كل الحدود الأخرى غير الموجودة ستساوي صفرًا كما رأينا. نجد بذلك أن مفكوك متسلسلة تايلور يساوي سالب واحد زائد نصف في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝜋‬‏ الكل تربيع ناقص واحد على ‪24‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝜋‬‏ أس أربعة زائد واحد على ‪720‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝜋‬‏ أس ستة وهكذا. الجزء الثاني من هذه المسألة يطلب منا كتابة مفكوك متسلسلة تايلور للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ باستخدام رمز التجميع. لذا، دعونا نرى إذا ما كانت هناك طريقة تمكننا من إيجاد نمط. رأينا أن ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝜋‬‏ تساوي صفرًا، و‪𝑓‬‏ ثلاث شرط لـ ‪𝜋‬‏ تساوي صفرًا. وبتوسيع النمط سنلاحظ أن قيمة المشتقة الخامسة، وقيمة المشتقة السابعة، إلى آخره، ستساوي أيضًا صفرًا. ومن ثم، فإن المشتقة تتناوب بين سالب واحد، وواحد، وسالب واحد، وهكذا.

بالمثل، المقامات هي مضروب لأعداد زوجية وتتصاعد قيمتها؛ وفي كل مرة يكون هذا العدد الزوجي مساويًا للأس. لذلك دعونا نعرف هذا العدد الزوجي باثنين ‪𝑚‬‏. فيكون المقام هو مضروب اثنين ‪𝑚‬‏ وأس ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝜋‬‏ هو اثنين ‪𝑚‬‏. لتحقيق قوى متناوبة للعدد سالب واحد، نكتب سالب واحد أس ‪𝑚‬‏ زائد واحد. يعني ذلك أنه عندما يكون ‪𝑚‬‏ يساوي صفرًا، فإن سالب واحد أس واحد يساوي سالب واحد، وعندما يكون ‪𝑚‬‏ يساوي واحدًا، فإن سالب واحد أس اثنين يعطينا واحدًا، وهكذا. وبذلك نجد أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي المجموع لسالب واحد أس ‪𝑚‬‏ زائد واحد في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝜋‬‏ أس اثنين ‪𝑚‬‏ على مضروب اثنين ‪𝑚‬‏ لقيم ‪𝑚‬‏ من صفر إلى ما لا نهاية.

ويمكننا أيضًا إيجاد نصف قطر التقارب لمتسلسلة تايلور. نفترض أنه يوجد عدد ‪𝑅‬‏ حيث تكون متسلسلة القوى متقاربة عندما تكون القيم المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ أقل من ‪𝑅‬‏ وتكون متباعدة عندما تكون القيم المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ أكبر من ‪𝑅‬‏. وهذا العدد ‪𝑅‬‏ يسمى نصف قطر التقارب للمتسلسلة. ولاحظ أن المتسلسلة قد تكون متقاربة أو لا، إذا كانت القيمة المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ تساوي ‪𝑅‬‏. لذا نقول إن فترة التقارب هي فترة تحتوي على جميع قيم ‪𝑥‬‏، التي تكون المتسلسلة عندها متقاربة. وقد يتضمن ذلك أو لا يتضمن حدي الفترة، ويمكن أن يكون مجموعة الأعداد الحقيقية جميعها. وإذا كنا نعلم أن نصف قطر التقارب لمتسلسلة قوى هو ‪𝑅‬‏، إذن عندما تكون قيم ‪𝑥‬‏ أكبر من ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑅‬‏ وأقل من ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑅‬‏، تكون المتسلسلة متقاربة. وعندما تكون قيم ‪𝑥‬‏ أقل من ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑅‬‏ وأكبر من ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑅‬‏، تكون متسلسلة القوى متباعدة. ومن ثم أيضًا تكون متسلسلة القوى متقاربة دائمًا عندما يكون ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏. لنلق نظرة الآن على تطبيق على هذه النظرية.

افترض أن الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس اثنين ‪𝑥‬‏. أوجد تمثيل متسلسلة تايلور للدالة ‪𝑓‬‏ حول ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة. في الحقيقة، يوجد جزآن إضافيان لهذه المسألة سنوضحهما خلال لحظات.

نبدأ بتذكر أن متسلسلة تايلور للدالة ‪𝑓‬‏ حول ‪𝑎‬‏ تعطى بالمجموع لقيمة المشتقة ذات الرتبة ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑎‬‏ على مضروب ‪𝑛‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ أس ‪𝑛‬‏ لقيم ‪𝑛‬‏ من صفر إلى ما لانهاية. إذن ما الذي نعرفه عن هذه الدالة؟ حسنًا، الدالة المعطاة هي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس اثنين ‪𝑥‬‏. نريد إيجاد متسلسلة تايلور حول ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة. لذلك نجعل ‪𝑎‬‏ يساوي ثلاثة. نرى بعد ذلك أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي المجموع لقيمة المشتقة ذات الرتبة ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ عند ثلاثة على مضروب ‪𝑛‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة أس ‪𝑛‬‏ لقيم ‪𝑛‬‏ من صفر إلى ما لا نهاية. هذا، بالطبع، يساوي ‪𝑓‬‏ لثلاثة زائد ‪𝑓‬‏ شرطة لثلاثة على مضروب واحد في ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة زائد ‪𝑓‬‏ شرطتين لثلاثة على مضروب اثنين في ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة الكل تربيع وهكذا.

من الواضح أننا سنحتاج لحساب قيم ‪𝑓‬‏ لثلاثة، و‪𝑓‬‏ شرطة لثلاثة، و‪𝑓‬‏ شرطتين لثلاثة، وربما البحث عن نمط. قيمة ‪𝑓‬‏ لثلاثة واضحة تمامًا. فهي تساوي ‪𝑒‬‏ أس اثنين في ثلاثة، وهو ما يساوي بالطبع ‪𝑒‬‏ أس ستة. دعونا الآن نوجد مشتقة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. مشتقة ‪𝑒‬‏ أس اثنين ‪𝑥‬‏ هي اثنين ‪𝑒‬‏ أس اثنين ‪𝑥‬‏. ولذلك ‪𝑓‬‏ شرطة لثلاثة لا بد أن تساوي اثنين ‪𝑒‬‏ أس اثنين في ثلاثة، وهو ما يساوي اثنين ‪𝑒‬‏ أس ستة. سنقوم بالاشتقاق مرة أخرى. هذه المرة نحصل على أربعة ‪𝑒‬‏ أس اثنين ‪𝑥‬‏. و‪𝑓‬‏ شرطتين لثلاثة تساوي أربعة ‪𝑒‬‏ أس اثنين في ثلاثة، وهو ما يساوي أربعة ‪𝑒‬‏ أس ستة.

الآن، يمكننا في الواقع ملاحظة أن المشتقة ذات الرتبة ‪𝑛‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي اثنين أس ‪𝑛‬‏ في ‪𝑒‬‏ أس اثنين ‪𝑥‬‏. وهذا يعني أن قيمة المشتقة ذات الرتبة ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ عند ثلاثة تساوي اثنين أس ‪𝑛‬‏ في ‪𝑒‬‏ أس ستة. بذلك يكون مفكوك متسلسلة تايلور باستخدام رمز التجميع يساوي المجموع لاثنين أس ‪𝑛‬‏ في ‪𝑒‬‏ أس ستة في ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة أس ‪𝑛‬‏ الكل على مضروب ‪𝑛‬‏ لقيم ‪𝑛‬‏ من صفر إلى ما لا نهاية.

الجزء الثاني من المسألة يطلب منا إيجاد فترة التقارب لتمثيل متسلسلة تايلور لـ ‪𝑓‬‏ حول ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة.

الفترة التي تتضمن جميع قيم ‪𝑥‬‏ التي تكون عندها متسلسلة القوى متقاربة يطلق عليها فترة تقارب المتسلسلة. ونعرف في الواقع أن متسلسلة القوى تكون متقاربة عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏. وهنا ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة. لكن هذا هو كل ما نعرفه حتى الآن. سنستخدم اختبار النسبة لتحديد باقي قيم ‪𝑥‬‏ التي تكون عندها متسلسلة القوى متقاربة. يتعلق هذا الاختبار بافتراض وجود متسلسلة ما، وهي المجموع لـ ‪𝑎𝑛‬‏، واعتبار ‪𝑙‬‏ قيمة النهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من القيمة المطلقة لـ ‪𝑎𝑛‬‏ زائد واحد على ‪𝑎𝑛‬‏. في هذه الحالة، إذا كان ‪𝑙‬‏ أقل من واحد، تكون المتسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا ومن ثم فهي متسلسلة متقاربة. هذه هي الحالة التي تهمنا. لذلك لا بد أن يكون ‪𝑙‬‏ هو النهاية عندما يقترب ‪𝑛‬‏ من ما لانهاية للقيمة المطلقة لاثنين أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد في ‪𝑒‬‏ أس ستة في ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة أس ‪𝑛‬‏ زائد واحد على مضروب ‪𝑛‬‏ زائد واحد على اثنين أس ‪𝑛‬‏ في ‪𝑒‬‏ أس ستة في ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة أس ‪𝑛‬‏ على مضروب ‪𝑛‬‏.

وبالطبع القسمة على كسر هي نفسها الضرب في مقلوب هذا الكسر. لذلك يمكننا إعادة كتابة النهاية كما هو موضح. ونلاحظ بعد ذلك أنه يمكننا إجراء بعض التبسيط. فيمكننا إلغاء ‪𝑒‬‏ أس ستة واثنين أس ‪𝑛‬‏. وبالمثل، يمكننا إلغاء ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة أس ‪𝑛‬‏. وأخيرًا، إذا تذكرنا أن مضروب ‪𝑛‬‏ زائد واحد هو نفسه ‪𝑛‬‏ زائد واحد في مضروب ‪𝑛‬‏، نرى أنه يمكننا إلغاؤهما بالقسمة على مضروب ‪𝑛‬‏. ويبسط كل هذا بسهولة. فنجد أن ‪𝑙‬‏ يساوي النهاية عندما يقترب ‪𝑛‬‏ من ما لانهاية للقيمة المطلقة لاثنين في ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة على ‪𝑛‬‏ زائد واحد.

وفي الحقيقة التعبير اثنان في ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة لا يعتمد على ‪𝑛‬‏. لذلك يمكننا إخراج هذا العامل، مع تذكر أننا لا بد أن نكتب القيمة المطلقة لاثنين في ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة. وبذلك يساوي ‪𝑙‬‏ القيمة المطلقة لاثنين في ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة في النهاية عندما يقترب ‪𝑛‬‏ من ما لانهاية للقيمة المطلقة لواحد على ‪𝑛‬‏ زائد واحد. الآن، كلما زادت قيمة ‪𝑛‬‏، تقل قيمة واحد على ‪𝑛‬‏ زائد واحد. وبذلك تقترب قيمة النهاية من صفر. هذا يعني أن ‪𝑙‬‏ يساوي صفرًا. وهذا بالطبع أقل من واحد. ولا يتغير مهما كانت قيمة ‪𝑥‬‏. ومن ثم، نقول إن المتسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا لكل قيم ‪𝑥‬‏. وفترة تقاربها هي الفترة المفتوحة من سالب ما لانهاية إلى ما لا نهاية.

الجزء الثالث من المسألة هو: ما نصف قطر التقارب لتمثيل متسلسلة تايلور لـ ‪𝑓‬‏ حول ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة؟

تذكر أن هناك العدد ‪𝑅‬‏، الذي نطلق عليه نصف قطر التقارب، حيث تكون متسلسلة القوى متقاربة عندما تكون القيم المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ أقل من ‪𝑅‬‏ وتكون المتسلسلة متباعدة عندما تكون القيم المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ أكبر من ‪𝑅‬‏. ورأينا هنا أن متسلسلة القوى هذه متقاربة تقاربًا مطلقًا. وهذه حالة خاصة لنصف قطر التقارب. في مثل هذه الحالات، نقول إن نصف قطر التقارب يساوي ما لانهاية. ومن ثم، ‪𝑅‬‏ يساوي ما لا نهاية.

في هذا الفيديو، رأينا أنه إذا كان لـ ‪𝑓‬‏ مفكوك متسلسلة قوى عند ‪𝑎‬‏، فإن متسلسلة تايلور للدالة ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑎‬‏ أو حول ‪𝑎‬‏ هي المجموع لقيمة المشتقة ذات الرتبة ‪𝑛‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ عند ‪𝑎‬‏ على مضروب ‪𝑛‬‏ في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ أس ‪𝑛‬‏ لقيم ‪𝑛‬‏ من صفر إلى ما لانهاية. ورأينا أن ‪𝑅‬‏ تمثل نصف قطر التقارب بحيث تكون متسلسلة القوى متقاربة عندما تكون القيم المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ أقل من ‪𝑅‬‏ ومتباعدة عندما تكون القيم المطلقة لـ ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ أكبر من ‪𝑅‬‏. وأخيرًا، تعلمنا أنه يمكننا استخدام اختبار النسبة أو أي اختبارات أخرى مناسبة لإيجاد فترات التقارب. تكون متسلسلة القوى متقاربة عند قيم ‪𝑥‬‏ الأكبر من ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑅‬‏ والأقل من ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑅‬‏. وبالتالي تكون متسلسلة القوى متقاربة دائمًا عندما يكون ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.